1.5.1 平面上两点间的距离-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

1.5 平面上的距离 1.5.1 平面上两点间的距离 白题 基础过关 限时：25min 题组1平面上两点间的距离公式及应用 7.(2025·江苏扬州高二期中)已知△ABC的顶 1.(2025·江苏常州高二期中)已知A点坐标为 点为A(0,4),B(3,-2),C(5,4),则BC边上 (-2,1),B点坐标为(3,4)，以线段AB为直 的中线长为 （) 径的圆的半径是 A.4 B.5 C.32 D.42 A.4 B.√34 8.（2025·江苏徐州高二月考)直线1分别交 C.34 x轴和y轴于A,B两点，若M(2,1)是线段AB D.2 的中点，则直线的方程为 2.（多选)直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距 A.2x-y-3=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-4=0 D.x-2y+3=0 离等于2的点的坐标是 ( 9.(2025·广东广州高二期中)已知两点A(0,4), A.(-4,5) B.(-3,4) B(2,-2),直线L1为线段AB的垂直平分线， C.(-1,2) D.(0,1) 则直线1的方程为 ;直线1与 3.(2025·广东汕头高二期中)点A(2,-4)到直 坐标轴新所围成的三角形的面积为 线l:mx-y-4m-8=0(m为任意实数)的距离 重难聚焦 的最大值是 题组3平面上的对称问题 A.5 B.25 10.(2025·江苏盐城高二 C.4 D.5 知直线l:2x-y-6= 4.（多选)(2025·山西朔州高二月考)已知点 M(1,1)关于直线1的对称点N的坐标为 A(-2,-1),B(2,2),直线1：ax+y+3a-3=0上 存在点P满足IPAI+IPB1=5,则a的值可 A.(-1,5) B.(5,-1) 能为 C.(-5,1) D.(1,-5) A.-2 B.0 11. 已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1) C.1 D.3 关于点(3,4)对称，则ab= 5.(2025·江苏常州高二月考)若直线1：2x+ A.-5 B.14 3y-1=0与l2:x+ay+2=0在第二象限相交于 C.-14 D.5 点A,且点A到原点的距离为√2，则a的 12.(2025·山东淄博高二期中 值为 知点P(1,4),Q(6,3),直 题组2中点公式及应用 x+y-3=0,M为直线 6.在平面直角坐标系0y中，设点A(3,-2), 则IMPI+IMQ1的最小值为 B(-1,4),则线段AB的中点坐标为( 13.(2025·江苏南通海门中学高二月考)直线 A.(1,1) B.(-2,3) l1:3x-y-3=0关于直线l2:x+y-1=0的对 C.(2,2) D.(2,-3) 称直线方程为 选择性必修第一册·SJ黑白题010 黑题应用提优 限时：35min 1.直线1与直线y=√3x关于直线y=x+1对称，6.（多选)(2025·河南周口高二月考)已知点 则直线1的倾斜角是 ( A(3,3)和B(4,-2),P是直线1：x+y+2=0上 T 的动点，则 A.12 B. 6 A.存在P(1,-3),使1PAI+IPBI最小 C. D B.存在P(-1,-1),使IIPA1-IPB1I最小 C.存在P(5,-7),使IIPA1-IPB1I最大 2.(2025·广东东莞高二月考)已知A(x1,y1), B(x2,y2)是直线y=2x+m上的两点，若 D存在P(分，)，使IPAI+1PaI最小 1AB1=5,则1x2-x11= ( 7.(2025·江苏南京高二月考)已知A(0,2), A.5 B.25 B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点， C.10 D.5 若AD≤√3BD恒成立，则正整数t的最小 3.(2025·山东青岛高二月考)过点P(3,0)作 值是 一条直线l,它夹在两条直线L1:2x-y-2=0和8.（2025·山西阳泉高二月考)在△ABC中， 2:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直 A(-1,2),边AC上的高BE所在的直线方程 线l的方程为 ( 为7x+4y-46=0,边AB上中线CM所在的直 A.8x+y-24=0 线方程为2x-11y+54=0. B.8x-y-24=0 (1)求点C的坐标. C.8x+y+24=0 (2)求直线BC的方程. D.x+8y+24=0 (3)在线段AC上是否存在一点F(点F不与 4.(2025·河北石家庄高二期中)若第一象限内 点A,C重合)，使得BC=BF?若存在，写 的点(a,b)关于直线x+y-4=0的对称点在直 出点F的坐标；若不存在，请说明理由， 线+3=0上，则的最小值为( A.1B.4 C.10 D.16 5.(2025·江苏无锡高二月考)数学家欧拉于 1765年在他的著作《三角形的几何学》中首 次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次 位于同一直线上，且重心到外心的距离是重 心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之 为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为 A(0,0),B(5,0),C(2,4),则该三角形的欧 拉线方程为 分号 11 B.y=2x+6 C.y=-2x+10 D.y=2x-10 第1章黑白题011m×2+4×(-5)=0, m=10, 5.B解析：由题意可知m+4p-2=0, 解得{n=-12,故n-m- 2-5p+n=0, p=-2, p=-20.故选B. 6.BD解析：根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一 个点；当l1,l3平行时可得a=-1,此时不合题意，因此a≠-1；当l2, 3平行时可得a=2,此时不合题意，因此a≠2；联立11,2，即 2x-y+1=0,解得交点坐标为(0,1)，因此(0,1)不在：2x+y+ (x+y-1=0, a-2=0上，即可得a+a-2≠0，因此a≠1；所以若三条直线围成一个 三角形，只需a≠-1且a≠1且a≠2即可.故选BD. 四易错提醒 三条直线能围成一个三角形应满足：三条直线两两不平行且不交于 一点解决此类问题时，需要考虑全面，必要时可借助图形帮助理解。 7.AC解析：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行.直线x y+1=0和直线2x+y-4=0不平行，.直线x-y+1=0和直线ax- y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ax-y+2=0平行.，'x-y+1=0 的斜率为1,2x+y-4=0的斜率为-2，ax-y+2=0的斜率为a,∴.a=1 或a=-2时，两直线分别平行且不重合，符合题意.故选AC. 息-42=0解折：联立直线80解得6则其交点 为(4,0).因为直线1与直线y=子+1平行，所以设直线1的方程为 3 x+b(b≠1)，将点(4,0)坐标代人，得b=-3,直线1的方程为 3 x-3,即3x-4y-12=0,故答案为3x-4y-12=0. 9.解：(1)由题图知∠OAB=120°，则直线AB的倾斜角为60°，直线AB 的斜率B=√3，点A的坐标为(4,0)，所以直线AB的方程为y= √3(x-4),即3x-y-4V3=0. (2)因为OC∥AB,所以直线OC的方程为y=√3x,而IOA|=IAB1= 4,则直线0B的倾斜角为30，斜率6= 3,直线OB的方程为y= 3 3,曲3， 解得=6，即点B(6,25).又BC10B, (y=2√3， (3x-y-4w3=0, 则有直线BC的斜率kC=-√3，因此直线BC的方程为y-2W3= -3(x-6),即y=-3x+8w,由y=3， 解得=4，所以 (y=-√3x+85, (y=4W5, 点C的坐标是(4,45) 1.5平面上的距离 1.5.1平面上两点间的距离 白题 基础过关 1.C解析：由题意知，IAB1=√(-2-3)2+(1-4)2=√34，以线段AB 为直径的圆的半径是1hB1=牙， 2,故选C 2.BC解析：设所求点的坐标为(a,1-a),则√(a+2)2+(1-a-3)2= √2，解得a=-3或a=-1,所以所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).故 选BC. 3.B解析：将直线方程mx-y-4m-8=0变形为y+8=m(x-4),令 0解得。，由此可得直线1恒过点(4，-8)，不纺设为 B(4,-8),所以点A到直线1的最远距离为1AB1,此时直线1垂直 于AB.又1AB1=√/(2-4)2+(-4+8)2=2W5,所以点A到直线1的距 离的最大值为25.故选B. 4.CD解析：如图，l:ax+y+3a-3=0变形为y-3=-a(x+3),故直线l 过定点C(-3,3),且斜率为-a,又14B1=√(-2-2)2+(-1-2)2=5， 要想直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足IPA1+|PBI=5,即l:ax+ 选择性必修第一册·SJ y+3a-3=0与线段AB有交点，因为kc= 3-2 -3-2 5,= 2-4,故e【4,] 3-(-2) 解得ae[行4]，故C.D满足要求，A.B错误 故选CD 5.-1解析：由题意知两直线不平行，故a≠ 2.联立41：2x+3y-1=0 a+6 与l2:x+ay+2=0,解得 x2a-3 a+6 -5 因为点A在第二象限，故2a3<0, y-2a-3' 2 2a30,解得-6<a< -5 3 ,由题意得 /a+6 -5 2 2a-3 =√2 2a-3 .43 解得a=-1或气（含去），故a=-1.故答案为-1 6.A解析：由题可知中点的坐标为(1,1).故选A. 7.B解析：设BC的中点为D,因为B(3,-2),C(5,4),所以D(4,1), 所以BC边上的中线长IAD1=/(4-0)2+(1-4)2=5.故选B. 8.C解析：由题意，设A(a,0),B(0,b),因为M(2,1)是线段AB的中 （a*0-2, 点，则 解得a=4所以A(4,0),B(0,2),则直线1的方程 06=L b=2, 2 为4+号-1，即x+2-4=0,故选C 9.x-3y+2=03 解析：4B的中点坐标为(0生2号2）=(1.).6如 合子-3，放直线的斜率为}，放直线的方程为)-1(x 4+2 ),即-+2=0-+2=0中，令x=0,得y=子令y=0,得 =-2,故与丙坐标轴的交点坐标分别为(0，子）和(-2,0)，故直 线与坐标轴所周成的三角形的面积为×子×1-21一子放答案 为x-3y+2=0:3 2 重难聚焦 10B舞折：设a6,周w中点P(告)且kx 由M,N两点关于直线：2x-y-6=0对称，且k=2,则 2x0+16+1-6=0, 得化31.即5，-)，故选B 22 四方法总结 已知点P(xoyo)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q(a,b),则： (xo+a yo+b ①PQ的中点 (2,2 在直线l:Ax+By+C=0上； ②PQ所在直线与直线l:Ax+By+C=0垂直. 11.C解析：因为两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1)关于点(3,4)对称，可得 (a+bt1-3 2 即a+6=5,解得a-=7,所以b=7x(-2）=-14故选C a-b1=4, a-b=9, (b=-2, 2 四重难点拨 点关于点的对称问题本质上是对中点坐标公式的考查， 黑白题006 12.52解析：设P关于1的对称点为P（x,%),则 (xo+1 yo+4 2+2-3=0 20- 解得o1即P,（-1,2).因为1MP1+ 671, （y0=2, 1MQI=IMPo I+IMQI≥IPoQ1,所以IMPI+IMQI的最小值为 1PQ1=√(6+1)2+(3-2)2=52.故答案为52. 13.x-3y-1=0解析：设直线11关于直线l2对称的直线为13，由 3x-y3=0,得{=则点(1,0)在直线，上； lx+y-1=0,(y=0, 在直线1上取一点A(0,-3),设其关于直线2对称的点为 A'(m,n), n+3 则/m-01, m+0-3-1=0, 解得m=4即'(4,1)，.直线，的方程为 (n=1, 22 香即1=0放填31=0 黑题 应用提优 1.B解析：直线y=3x的倾斜角为写，直线y=x+1的倾斜角为平 则直线)=5x与直线y=1的夹角为写子号设直线1与直 线y=x41的夹角为a,则。=，所以直线1的倾斜角为牙日 名故选B 2.D解析：由题意得：A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=2x+m上的两点， 则y1=2x1+m,2=2x2+m,若1AB1=5,则(x2-x1)2+(y2-y1)2= 1AB12,即(x2-1)2+[(2x2+m)-(2x1+m)]2=52,则5(x2-x1)2= 52,则(x2-x1)2=5,故1x2-x11=√5.故选D. 3.B解析：直线1的斜率不存在时，直线l的方程为x=3,不符合题 意：所以直线1的斜率存在，设为k,则直线1的方程为y=k(x-3),联 「3k-2 x= 立直线1，得 y=k(x-3), k-21 (2x-y-2=0 4k 联立直线1,2得 y=k-2 3k-3 x= ∫y=k(x-3), k+1 所以直线↓与直线1,2的交点为 (x+y+3=0 -6k y=k+I' (偿受气)，（供）又直线1夹在两条直线马和之间 3k-3-6k 4k,-6k 的线段恰被点P平分，所以233-6,20，麝得=8， 所以直线1的方程为8x-y-24=0,故选B. 4.A解析：设点(x0,y0)是点(a,b)关于直线x+y-4=0的对称点，则 两点的中点在对称直线上且经过两点的直线与对称直线垂直，则 w 解得o4b点(0,0)在直线x+3y=0上， xo+a yo+b （y0=4-a, 2 4=0, 2 4b34o)=0,即3a6=162+-8(2+）月 6(o1边2）户治1，当且仅当的即a64时，取等 号故选A. 5A解标：由重心金标公式可得：重心G(52,0g）,即 c(了，号)）由A(0.0),B(5,0),可知外心M在AB的垂直平分线 上，所以设外心（三，a）,因为111=1wc1,所以 参考答案 √(0+a-02-√(32a-解得= 4 45 即w(子)则a 34 1 4 2,故欧拉线方程为y 32 6.ACD解析：如图，在平面直角坐标系中作出点A,B和直线1：x+ y+2=0,由图可知，点A(3,3)和B(4,-2)在直线1：x+y+2=0同侧， 设点B(4,-2)关于直线l:x+y+2=0的对称点为B'(x,y),则有 x+4y+(-2）+2=0, 2 2 y-(-2)」 解得=0得B(0,-6),1PA1+1PB1= ly=-6, =1, x-4 IPAI+IPBI≥|AB'I,当且仅当P为直线AB与直线L的交点时， PA+PB有最小值AB1,直线AB'的斜率为k-3-二6)=3，方 3-0 程为y=3x-6,由36，解得{=；存在P(1,-3),即图中 (x+y+2=0, （y=-3, P1,使IPAI+IPBI最小，A选项正确；IIPA1-IPBII的最小值为0，当 且仅当1PAI=IPB1,即P为线段AB的垂直平分线与直线1的交 点，船的中点整标为c(仔，}），直线B的斜率为如 3（-2)=-5,则线段AB的垂直平分线方程为y2=方 3-4 1上（x- 3 x=- 子），即--1=0，由{20解得 2 (x+y+2=0, 1 存在 =-2’ P(三，)，即图中P,使1PA-IPB最小，B选项结误 IIPAI-IPBII≤|AB1,当且仅当P为直线AB与直线L的交点时， 1IPA|-PB1I有最大值IAB1,直线AB的方程为y-3=-5(x-3),即 518-0,由20g得{化仁3，存在Ps,-7刀.即图中 ly=-7, P3,使1IPAI-IPB1I最大，C选项正确；设P(x,-x-2),IPA2+ 8-22-344(24y4( 9,当=时，P12+1PB2有最小值，此时y=-三，所以存在 P(分，)，即图中R,使1PM12+1Pg2最小，D选项正确故 选ACD. 四方法总结 ①定直线1上的一点P到定点A,B距离之和的最小值：作定点A关 于直线1的对称点A',使A',B在直线1异侧，A',P,B三点共线时取 最小值： ②定直线l上的一点P到定点A,B距离之差的最大值：作定点A关 于直线1的对称点A',使A',B在直线1同侧，A',P,B三点共线时取 最大值. 2 7.4解析：由题意知直线AC的方程为y=-二x+2因为点D是直 线AC上的动点，所以可设D(,子+2)因为AD≤5m,所以 黑白题007 (64)+15≥0对任意：恒限立，所以4=(6+) t -4×15× (2+）≤0，化简得4=+ =8+24-7≤0，解得≥12+102或≤ 7 12-10巨，结合t为正整数，得：的最小值为4故答案为4 8.解：(1)因为AC边上的高BE所在的直线方程为7x+4y-46=0,所 以s=子→c=号又直线4C经过点A(-1,2),所以直线AC的 4 方程为y-2=7(x+1),即4-7+18=0. 联立80￥6即点c66。 (y=6, (2)设B(a,b),由CM为AB上的中线，且A(-1,2),所以AB的中点 坐标为N(生2）又点M在直线2-1+54=0上，所以2x gu22s=0, 又点B在直线BE上，所以7a+4b-46=0②， 联立①②解得a=2,b=8,即点B(2,8),又C(6,6),所以kC= 8-61 2-62,所以直线BC的方程为y-6=-2(x-6),即+2y-18=0. (3)存在.假设在线段AC上存在一点F(xoy0)(-1<xo<6), 使得BC=BF,则有4x0-7yo+18=0③， 由BC=BF得√(6-2)2+(6-8)2=√(x0-2)2+(0-8)2④， 又-1<x0<6⑤， 22 联立③④⑤解得 x0=13’ 46 0=13' 所议存在点F满足驱意，比时点F的华标为（侣治）】 1.5.2点到直线的距离 白题基础过关 B新d出经放透 2.A解析：由题意，MP的最小值是点M(0,2)到直线2x+y-1=0的距 离，即d=10x2+2-1山15 2+1F55故选A 3.BC解析：由点P是x轴上的点，设点P(a,O),由点到直线的距离 公式可得3a+61-3a+61=6,13a+61=30,解得a=8或a=-12, √/32+425 所以点P坐标为(-12,0)或(8,0).故选BC. 3-1 4.C解析：由题意可知：k仙=3-1,1MB1=√-3)+(3-1= 22,可知直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0,可得点 G(-1,-1)到直线AB的距离d=-1--41=32,所以△ABC的面 √2 积5r=41hB1=x32x22=6放选C 5.AC解析：由题意知，“切割型直线”需满足点M(5,0)到直线的距 离小于或等于4点M(5,0)到直线xy-1=0的距离为15-1=22< 4,故A符合题意；点M(5,0)到直线y=5的距离为5>4，故B不符合 题意；点M(5,0)到直线4-3y=0的距离为20 =4,故C符合题意； 点M(5,0)到直线2x-y+1=0的距离为d=10+1山_115 5>4,故D 选择性必修第一册·SJ 不符合题意故选AC. 6.±了解析：由题意可知直线1的斜率存在，设其为太，则方程为c 4 y=0,由题意可得150=4，解得k=±子放答案为± 4 4 √2+1 7,A解析：平行直线l1:x+y-1=0和l2:x+y-3=0之间的距离d= 1-1+31 =√2故选A /12+12 8.B解析：依题意可得3m-4×6=0,解得m=8,则直线方程为6x+8y 1=0,而方程3x+4y-3=0,即6x+8y-6=0,所以两条平行线间的距离 为d=1-6+1山=故选B √62+8221 9.D解析：由题意可知，直线3x-4y+6=0与直线3x-4y+m=0平行 所以m≠6.因为直线3x-4y+6=0与直线3x-4y+m=0间的距离 16-ml 为2，所以d= =2,解得m=-4或m=16.故选D. √32+(-4)7 10.2x+y+2=0解析：依题意设直线l的方程为2x+y+m=0(1<m<3), 则m-1-1m-31,即(m-1)2=(m-3)2,解得m=2,所以直线1的 5 5 方程为2x+y+2=0.故答案为2x+y+2=0. 11.解：(1)根据题意联立直线1，方程4y5=0解得：=3，不妨 2x+y-8=0,1 ly=2, 取交点为A(3,2); 同理联立l3,2可得B(2,4),联立l3,4可得C(-2,3),联立l1,4 可得D(-1,1): 对角线交点坐标即为AC中点坐标，即 (22）-(分) 即口ABCD对角线交点的坐标为 (15) 2’2 (2)易知1AD1=√(3+1)2+(2-1)7=√17，点B到AD边的高即为 114-51 两平行线l1,l3之间的距离，即d= 9917 +(-4)行7，所 以口ABCD的面积为1AD1·d=√x9Y =9. 17 黑题 应用提优 1.ABD解析：由题意，得=2， 1+b+a=0, 解得a=3故A,B正确， b=2, ∴.（1,2)到直线-3x+2y+3=0的距离d= 1-3+4+31=4W13 √/(-3)2+22 13,故 C错误，D正确.故选ABD. 34-1 2.A解析：由6=8≠5 ,可得两条直线相互平行，所以IMNI最小 值为平行线之间的距离，6x-8y+5=0可化为3x-4y+2 =0,所以两 -122 29 平行线之间的距离为 /32+42 0故选A 四易错提醒 运用两条平行直线间的距离公式时，要把两直线方程中x,y的系数 化为相等， 3.B解析：设A(x1,hx1+1),B(x2,x2+1),则|x1-2|=2,IAB1= √(x1-x2)2+(c1-x2)7=2V1+2,显然点C(0,3)不在直线kx- y+1=0上，则△ABC的边AB上的高=I-3+1 2 ，所以 k2+1√2+1 △ABC的面积SAc=子hB1·h=2故选B 4.B解析：由题意可知，当A,B在直线的同一侧时，可作两条直线，所 以若这样的直线有4条，则当A,B两点分别在直线的两侧时，还应 该有两条，所以2a小于A,B两点间的距离.因为IABI= /(1-0)2+(6√3-5√3)2=2，所以0<2a<2,所以0<a<1,故选B. 黑白题008