4.2 等差数列 4.2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本高中数学讲义聚焦等差数列前n项和的性质及应用，承接前n项和公式学习，从函数角度将公式转化为二次函数形式，系统梳理最值求法（邻项变号法、二次函数法），搭建从理论深化到实际应用的学习支架。 资料通过诊断分析（判断正误、问题）夯实基础，探究点结合实例（如流感新增患者、奖金发放）引导学生用数学眼光抽象模型，用数学思维分析最值，培养推理能力与模型意识。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用能力。

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 【课前预习】 知识点一 n2+n　二次 知识点二 (1)最大　　最小　　(2)最小　最大 诊断分析 1.(1)×　(2)√　(3)√ 2.解:若等差数列的公差d>0,则该数列的前n项和有最小值,没有最大值;若等差数列的公差d<0,则该数列的前n项和有最大值,没有最小值.所以等差数列的前n项和不是都有最大值与最小值. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)169　(2)33　[解析] (1)方法一:设等差数列{an}的公差为d,则由a1=25,S17=S9,得25×17+d=25×9+d,解得d=-2.∴Sn=25n+×(-2)=-(n-13)2+169,由二次函数的性质得,当n=13时,Sn取得最大值169. 方法二:先求出{an}的公差d=-2(同方法一),则an=25+(n-1)×(-2)=27-2n.由 得即12.5≤n≤13.5,又n∈N*,∴当n=13时,Sn取得最大值,且最大值为S13=13×25+×(-2)=169. 方法三:∵a1=25,S17=S9,∴{an}的公差d<0,∴{an}的前n项和公式为关于n的二次表达式,借助相应的定义在R上的二次函数图象,如图所示,则当n==13时,Sn取得最大值S13.求出公差d=-2(同方法一),∴S13=13×25+×(-2)=169. 方法四:∵a1=25,S17=S9,∴{an}的公差d<0,S17-S9=a10+a11+a12+a13+a14+a15+a16+a17=4(a13+a14)=0,即a13+a14=0,则a13>0,a14<0,∴Sn的最大值为S13.求出公差d=-2(同方法一),∴S13=13×25+×(-2)=169. (2)因为a17+a18<0,所以S34==17(a17+a18)<0,因为a17>0,且a17+a18<0,所以a18<0,S33==33a17>0,故使Sn>0的正整数n的最大值为33. 变式　解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-14. (2)方法一:由公差d=3知{an}是递增数列,当1≤n≤4时,an<0;当n≥5时,an>0. 所以S1>S2>S3>S4<S5<…, 所以当n=4时,Sn最小,最小值为S4=4a1+×d=-26. 方法二:因为Sn=na1+d=n2-n=-, 又n∈N*,所以当n=4时,Sn最小,最小值为-26. 探究点二 例2　解:(1)12月1~n日,每天新增患者人数构成等差数列,其首项为20,公差为50,故第n天的新增患者人数为an=50n-30(n∈N+且1≤n≤30). (2)前n天的新增患者总人数为Sn=20n+×50=25n2-5n(1≤n≤30且n∈N+). (3)由(1)(2)知,当n=30时,Sn=S30=22 350≠8670,不合题意. 当n=29时,S29+a29-30=22 270≠8670,不合题意. 当n=28时,S28+a28-30+a28-30-30=22 110≠8670,不合题意. 当1≤n≤27时,12月n+1~30日,每日新增患者人数构成一个等差数列,其首项为20+(n-1)·50-30=50n-60,公差为-30,项数为(30-n), ∴第n+1~30日新增患者总人数为T30-n=(50n-60)(30-n)+·(-30)=-65n2+2445n-14 850. 由题意得Sn+T30-n=8670,整理得n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍去).综上可得n=12. 变式　B　[解析] 设等差数列的前n项和为Sn(1≤n≤30),则S10=2000,S20=3500,因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),所以2×(3500-2000)=2000+(S30-3500),解得S30=4500,故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 【学习目标】 　　1.进一步理解等差数列前n项和的公式与性质. 　　2.会求等差数列前n项和的最值. 　　3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系,抽象出等差数列模型,并应用该模型解决相关问题. ◆ 知识点一　从函数的角度理解等差数列的 前n项和公式 公式Sn=na1+可化成关于n的表达式:Sn=　　　　　　.当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次表达式,即点(n,Sn)在其相应的　　　　函数的图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的一群孤立的点.   ◆ 知识点二　等差数列前n项和的最值 (1)利用邻项变号法: 当a1>0,d<0时,Sn有　　　　值,使Sn取到最值的n可由不等式组　　　　　　确定;  当a1<0,d>0时,Sn有　　　　值,使Sn取到最值的n可由不等式组　　　　　　确定.  (2)利用二次函数的最值: Sn=n2+n,n∈N*,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有　　　　值;当d<0时,Sn有　　　　值.当n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)等差数列{an}中,若a1>0,公差d<0,则前n项和Sn有最大值,且最大值就是所有正数项之和. (　 ) (2)在数列{an}中,若a1=32,an+1=an-4,则前n项和Sn取得最大值时n的可能取值有两个.(　 ) (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a5=20,则S7=70. (　 ) 2.等差数列的前n项和都有最大值与最小值吗? ◆ 探究点一　 与等差数列前n项和有关的最值问题 例1 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=25,S17=S9,则Sn的最大值为　　　　.  (2)[2025·江苏金陵中学高二月考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a17>0,且a17+a18<0,则满足Sn>0的正整数n的最大值为　　　　.  变式 [2025·江苏新海中学高二月考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值. [素养小结] 求等差数列前n项和最值的常用思路: (1)利用等差数列的单调性,求出其正、负转折项,便可求得前n项和的最值; (2)利用性质求出其正、负转折项,便可求得前n项和的最值; (3)利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数,且A≠0)为关于正整数n的二次函数,结合二次函数的性质求最值. ◆ 探究点二　等差数列前n项和的实际应用 例2 [2025·安徽安庆一中高二月考] 流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病,冬春季节是其高发期,其所引起的并发症和死亡现象非常严重.我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感,据资料统计,12月1日该市新增患者有20人,此后12月的某一段时间内,每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.为此,该市医疗部门紧急采取措施,有效控制了病毒传播.从12月的某天起,每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.设12月第n天,该市新增患者人数最多. (1)求第n天的新增患者人数(结果用n表示); (2)求前n天的新增患者的总人数(结果用n表示); (3)若截至12月30日,该市30天内新增患者总共有8670人,求n的值. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 [2025·广东惠州中学高二月考] 某公司技术部为了激发员工的工作积极性,准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”,投票产生“幸运奖”,按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次,发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2000元,前20名共发放3500元,则前30名共发放 (　 ) A.4000元 B.4500元 C.4800元 D.5000元 [素养小结] 1.解决与等差数列前n项和有关的应用题的关键是构造合适的等差数列. 2.遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,抽象出数列的模型,并用有关知识解决相关的问题,是数学建模的核心素养的体现. 学科网（北京）股份有限公司 $