3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质 第2课时 直线与抛物线的综合应用 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“直线与抛物线的综合应用”核心知识点，先系统梳理直线与抛物线位置关系（联立方程、判别式判断相交相切相离及斜率为0时情况），再延伸至弦长公式（一般弦长、焦点弦不同形式），通过焦点弦、中点弦等综合问题构建递进学习支架。 该资料亮点在于诊断分析辨析概念（如“只有一个交点是否相切”）培养推理意识，探究点例题结合具体情境（如过焦点直线与抛物线相交）引导用数学眼光发现规律，素养小结提炼方法（如焦半径、中点弦技巧）提升数学语言表达能力。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

第2课时　直线与抛物线的综合应用 【课前预习】 知识点一 (1)相交　两个交点　相切　一个交点　相离　没有交点 (2)一个　平行或重合 知识点二 (1)·=· (2)x1+x2+p　　-p2　(3)2p　(4) 诊断分析 1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.解:不是.当直线与抛物线只有一个交点时,直线与抛物线相切或相交(直线与抛物线的对称轴平行或重合);当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点.因此“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要且不充分条件. 【课中探究】 探究点一 例1　AC　[解析] 由直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,可得=1,所以p=2,所以A正确;抛物线方程为y2=4x,将直线y=-(x-1)的方程代入抛物线方程可得3x2-10x+3=0,可得xM+xN=,所以MN=xM+xN+p=,所以B不正确;MN的中点的横坐标为,则MN的中点到抛物线的准线的距离为1+=,所以以MN为直径的圆与l相切,所以C正确;不妨设N在第一象限,则由对B的分析可得xM=3,xN=,yM=-2,yN=,所以OM==,ON==,又MN=,所以△OMN不是等腰三角形,所以D不正确.故选AC. 变式　　[解析] 如图所示,不妨设点P在第一象限,由解得 则点P(1,),易知PH⊥y轴,则PH∥x轴,则∠xFP=∠HPF=60°,所以直线PF的倾斜角为60°,易知点F,所以kPF==,整理可得2=(2-p),且2-p>0,故0<p<2.等式2=(2-p)两边平方可得3p2-20p+12=0,即(3p-2)(p-6)=0,解得p=或p=6(舍去). 例2　解:(1)设直线l的方程为x=my+n,联立x=my+n与y2=x, 可得y2-my-n=0,需满足Δ=m2+4n>0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=m,y1y2=-n, 由题知y1y2<0,∴n>0. 由·=6可得x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2=n2-n=6, 解得n=3或n=-2(舍去), 则直线x=my+3过x轴正半轴上一点(3,0),即点M的坐标为(3,0). (2)由题意知F,结合(1)知y1y2=-3, 不妨设y1>0,∴y2=-<0, 则S△OAB=OM·|y1-y2|=(y1-y2)=, 由于C,F关于直线OB对称,故S△OBC=S△OBF=OF·|y2|=, 故S四边形OABC=S△OAB+S△OBC=y1+=≥×2=,当且仅当4y1=,即y1=时,等号成立, 故四边形OABC面积的最小值为. 变式　C　[解析] 由题意可知,直线l不可能与x轴平行,设直线l的方程为x=my+n(n≠0),由消去x得y2-4my-4n=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2×(-4n)+mn×4m+n2=n2,因为·=0,所以x1x2+y1y2=n2-4n=0,解得n=4或n=0(舍),则AB== = = 4=4≥8,当且仅当m2=0,即m=0时,AB取得最小值8,所以AB的最小值为8,故选C. 探究点二 例3　D　[解析] 抛物线C的焦点为F(2,0),p=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,2),∴=2,=8x1,=8x2,∴-=8x1-8x2,即(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),则y1-y2=2(x1-x2),由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则k==2,故l:y=2(x-2),∴x0=3,∴AB=x1+x2+p=2x0+p=6+4=10.故选D. 变式　C　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=4x1,=4x2,所以-=4x1-4x2,由于线段AB的中点坐标为(3,2),所以由抛物线对称性可知直线l的斜率存在,即x1≠x2,且y1+y2=2×2=4,则=4,即==1,所以直线l的斜率为1.故选C. 探究点三 例4　解:由题可知抛物线的焦点为F(1,0),显然直线l的斜率不为0, 设直线l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 由消去x整理得y2-4my-4=0, 所以Δ=16m2+16>0,则y1+y2=4m,y1y2=-4, 所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1. 因为B(-1,2),所以=(x1+1,y1-2),=(x2+1,y2-2). 因为∠MBN=90°,所以·=(x1+1)(x2+1)+(y1-2)(y2-2)=0, 即x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=0, 即1+4m2+2+1-4-8m+4=0,解得m=1, 所以直线l的方程为x=y+1, 即x-y-1=0. 变式　解:(1)因为点A(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上, 所以42=4p,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x,焦点F的坐标为(2,0). (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由得x2+(2m-8)x+m2=0,所以Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,所以m<2, 所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2. 如图,因为OP⊥OQ,所以·=0, 则x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0, 所以2m2+m(8-2m)+m2=0,即m2+8m=0,解得m=0或m=-8, 又当m=0时,直线l与抛物线的交点中有一点与原点O重合,不符合题意,故舍去,所以实数m的值为-8. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线与抛物线的综合应用 【学习目标】 　　1.由直线与抛物线的方程,利用代数方法解决与直线和抛物线位置关系有关的问题. 　　2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题. ◆ 知识点一　直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,则有 判别式 位置关系 交点情况 Δ>0 直线与抛物线　　　  　　　　　  Δ=0 直线与抛物线　　　  　　　　　  Δ<0 直线与抛物线　　　  　　　　　  (2)若k=0,则直线与抛物线有　　　　交点,此时直线与抛物线的对称轴　　　　　　.  ◆ 知识点二　弦长公式 设直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. (1)若直线l的斜率为k,且k≠0,则AB=　　　　　　　　　　　　　　.  (2)若直线l过抛物线的焦点F,则AB=　　　　,x1x2=　　　　,y1y2=　　　　.  (3)若直线l过抛物线的焦点F且垂直于x轴,则AB=　　　　.  (4)若直线l过抛物线的焦点F且直线l的倾斜角为α,则AB=　　　　.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切. (　 ) (2)抛物线y2=2px(p>0)过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (　 ) (3)直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为相交. (　 ) (4)已知抛物线y2=16x与直线y=kx+1有且仅有一个交点,则k=4. (　 ) 2.“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的充要条件吗? ◆ 探究点一　直线与抛物线相交问题 角度1　焦点弦问题 例1 (多选题)[2025·江苏常州中学高二质检] 设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.p=2 B.MN= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 变式 [2025·江苏淮阴中学高二月考] 已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于P,Q两点,过P作C的准线的垂线,垂足为H.若∠HPF=60°,点P的横坐标为1,则p=　　　　.  [素养小结] 看到准线想到焦点,看到焦点想到准线,许多抛物线焦点弦问题均可根据焦半径获得简捷、直观的求解. 角度2　不过焦点的弦问题 例2 已知抛物线E:y2=x的焦点为F,过x轴正半轴上一点M的直线l与抛物线E交于A,B两点,O为坐标原点,且·=6. (1)求点M的坐标; (2)设点F关于直线OB的对称点为C,求四边形OABC面积的最小值. 变式 [2025·江苏镇江中学高二质检] 已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,O为坐标原点,且A,B两点与O不重合,若·=0,则AB的最小值为 (　 ) A.4 B.4 C.8 D.16 [素养小结] 有关直线与抛物线相交所得弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式;若不过焦点,则用一般的弦长公式,弦长AB= ==|x1-x2|==(其中A(x1,y1),B(x2,y2),k为弦AB所在直线的斜率). ◆ 探究点二　中点弦问题 例3 已知点F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F的直线l与C交于A,B两点.若AB中点的纵坐标为2,则AB= (　 ) A.6 B.7 C.9 D.10 变式 [2025·湖北黄冈中学高二月考] 抛物线G:y2=4x,直线l交该抛物线于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(3,2),则直线l的斜率为(　 ) A. B. C.1 D.2 [素养小结] 中点弦问题解题方法 ◆ 探究点三　抛物线的综合问题 例4 [2025·湖南长郡中学高二月考] 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线l与抛物线C交于M,N两点,若点B(-1,2)满足∠MBN=90°,求直线l的方程. 变式 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,4)为抛物线上一点. (1)求抛物线的方程与焦点坐标; (2)不过原点O的直线l:y=x+m与抛物线交于两点P,Q,若OP⊥OQ,求m的值. [素养小结] 与抛物线有关的综合问题,体现在最值、定点和定值方面,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这些问题的关键是代换和转化. 学科网（北京）股份有限公司 $