微突破(一) 直线中的对称问题 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦高中数学直线中的对称问题，系统梳理点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线的对称方法，及对称在光线反射、距离最值中的运用，构建从基础到应用的递进学习支架。 资料以“方法讲解+例题+变式”设计，通过建立方程组、距离公式等培养推理能力（数学思维），结合光线反射实例引导用数学眼光观察现实，课中助教师引导探究，课后供学生回顾强化，弥补知识盲点。

微突破(一)　直线中的对称问题 一、点关于点对称问题 求点P(x1,y1)关于点A(x0,y0)的对称点Q(a,b),由得　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 已知点A(3,2)关于点B(2,a)的对称点为C(1,1),则实数a=　　　　.  变式 点A(2,4)关于点B(3,5)的对称点C的坐标为　　　　.  二、点关于直线对称问题 求点P(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点Q(a,b). ①设线段PQ的中点为M,利用中点坐标公式得M,将M的坐标代入直线方程Ax+By+C=0中. ②kPQ·kl=-1. 由①②得解方程组即可求得a,b的值. 例2 已知点A与点B(2,1)关于直线x+y+2=0对称,则点A的坐标为 (　 ) A.(-1,4) B.(4,5) C.(-3,-4) D.(-4,-3) 变式 若原点O(0,0)与点A(-4,2)关于直线l对称,则直线l的方程是 (　 ) A.x+2y=0 B.2x-y+5=0 C.2x+y+3=0 D.x-2y+4=0 三、直线关于点对称问题 求直线l1关于点P(P不在l1上)对称的直线l2的方程. 方法一:如图,在直线l1上找一点A,求点A关于点P对称的点B,根据l1∥l2,得k1=k2,再由点斜式求解. 方法二:由l1∥l2,设出直线l2的方程,由点P到两直线的距离相等,即d1=d2求参数. 方法三:找直线l2上任意一点(x,y),求该点关于点P的对称点,由对称点在直线l1上可得关于x,y的方程,即直线l2的方程. 例3 求直线3x-y-4=0关于点(2,-1)对称的直线l的方程. 变式 直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为 (　 ) A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0 四、直线关于直线对称问题 1.直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0)和l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)相交,求l1关于直线l对称的直线l2. ①如图,求出l1与l的交点P; ②在l1上任意取一点M(非P点),求出M关于直线l的对称点N; ③根据P,N两点求出直线l2. 2.直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0)和l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行,求l1关于直线l对称的直线l2. ①易知k2=k1; ②如图,在直线l1上任取一点M,求点M关于直线l的对称点N,利用点斜式求直线l2. 例4 已知直线l:2x-3y+1=0, 求直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程. 变式 设直线l1:x-2y-2=0与l2关于直线l:2x-y-4=0对称,则直线l2的方程是 (　 ) A.11x+2y-22=0 B.11x+y+22=0 C.5x+y-11=0 D.10x+y-22=0 五、对称的运用 1.根据平面几何知识和光学知识可知,入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. 2.利用对称性求距离的最值问题. 由平面几何知识(三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差的绝对值小于第三边)可知,要解决在直线l上求一点,使这点到两定点A,B的距离之差的绝对值最大的问题,若这两点A,B位于直线l的同侧,则只需求出直线AB的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求点的坐标;若A,B两点位于直线l的异侧,则先求A,B两点中某一点,如A关于直线l的对称点A',得直线A'B的方程,再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P,使P到平面上两点A,B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 例5 一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. 例6 已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小; (2)在直线l上求一点P,使|PB-PA|的值最大. 变式 (1)如图所示,已知点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB(O为坐标原点)上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是 (　 ) A.2 B.6 C.3 D.2 (2)在直线l:x-y-1=0上求两点P,Q,使得: ①P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大; ②Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破(一)　直线中的对称问题 例1　　[解析] 由中点坐标公式得a==. 变式　(4,6)　[解析] 设点C(x,y),由中点坐标公式得解得故C(4,6). 例2　C　[解析] 设A(x,y),因为点A与点B关于直线x+y+2=0对称,所以线段AB的中点在直线x+y+2=0上,且直线AB与直线x+y+2=0垂直,则解得即点A的坐标为(-3,-4).故选C. 变式　B　[解析] 因为点O(0,0)关于直线l的对称点为A(-4,2),所以直线l为线段OA的中垂线.由题可知,线段OA的中点为(-2,1),直线OA的斜率为=-,故直线l的斜率为2,故直线l的方程为 y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.故选B. 例3　解:方法一:设直线l上任意一点M的坐标为(x,y),则此点关于点(2,-1)的对称点为M1(4-x,-2-y), 因为M1在直线3x-y-4=0上, 所以3(4-x)-(-2-y)-4=0, 即3x-y-10=0,所以直线l的方程为3x-y-10=0. 方法二:在直线3x-y-4=0上取两点A(0,-4),B(1,-1), 则点A(0,-4)关于点(2,-1)的对称点为A1(4,2),点B(1,-1)关于点(2,-1)的对称点为B1(3,-1). 可得直线A1B1的斜率为=3,所以直线A1B1的方程为y-2=3(x-4),即3x-y-10=0,即直线l的方程为3x-y-10=0. 方法三:易知所求直线l与直线3x-y-4=0平行,故可设l的方程为3x-y+C=0(C≠-4). 在直线3x-y-4=0上取一点(0,-4), 因为点(0,-4)关于点(2,-1)的对称点(4,2)在直线3x-y+C=0上, 所以3×4-2+C=0,所以C=-10. 所以直线l的方程为3x-y-10=0. 变式　B　[解析] 设直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x,y),则P(x,y)关于A(1,1)对称的点为(2-x,2-y),因为(2-x,2-y)在直线4x+3y-2=0上,所以4(2-x)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0.故选B. 例4　解: 在直线m上任取一点M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上. 设M'的坐标为(a,b), 则解得 即M'. 设直线m与直线l的交点为N,则由得N(4,3). 又直线m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0. 变式　A　[解析] 由得 则直线l1与直线l的交点为N(2,0).在直线l1:x-2y-2=0上取一点(0,-1),设点(0,-1)关于直线l:2x-y-4=0的对称点为M(a,b),则解得 即M,故直线l2的斜率k=-,所以直线l2的方程为y=-(x-2),即11x+2y-22=0.故选A. 例5　解:设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a,b),连接OA,如图所示, 由直线OA与l垂直,及线段AO的中点在l上,得解得所以点A的坐标为(4,3). 因为反射光线的反向延长线过A(4,3),且反射光线过P(-4,3),A,P两点纵坐标相等, 所以反射光线所在直线的方程为y=3. 由解得由于反射光线为射线, 故反射光线的方程为y=3. 由光的性质可知,光线从O到P所走过的路程即为AP的长度, 由A(4,3),P(-4,3)知,AP=4-(-4)=8,即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 例6　解:(1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),则 解得故A'(-2,8).连接A'B,则A'B所在直线方程为x=-2. ∵P为直线l上的一点,∴PA+PB=PA'+PB≥A'B, 当且仅当B,P,A'三点共线时等号成立,此时PA+PB取得最小值,点P是直线A'B与直线l的交点. 由解得 ∴所求的点P的坐标为(-2,3). (2)由题意知,A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点, 则|PB-PA|≤AB,当且仅当A,B,P三点共线时等号成立, 此时|PB-PA|取得最大值,点P是直线AB与直线l的交点. ∵A(2,0),B(-2,-4),∴直线AB的方程为y=×(x-2),即y=x-2, 由解得∴所求的点P的坐标为(12,10). 变式　(1)A　[解析] 由题意知,AB所在直线的方程为x+y-4=0.如图,易知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程为CD=2. (2)解:①设点B关于l的对称点B'的坐标为(a,b), 则kBB'·kl=-1,即×1=-1, ∴a+b-4=0①. ∵线段BB'的中点在直线l上, ∴--1=0,即a-b-6=0②. 由①②得∴点B'的坐标为(5,-1).∴AB'所在直线的方程为=,即2x+y-9=0. 易知|PB-PA|=|PB'-PA|≤AB',当且仅当P,B',A三点共线时,|PB'-PA|取得最大值. 联立直线l与AB'的方程,解得x=,y=,即l与AB'的交点坐标为,故点P的坐标为. ②设点C关于l的对称点为C'(x,y),由题意得解得 则C'的坐标为(1,2),可得AC'所在直线的方程为x+3y-7=0. 易知QA+QC=QA+QC'≥AC',当且仅当Q,A,C'三点共线时,QA+QC'取得最小值. 联立直线AC'与l的方程,解得x=,y=,即AC'与l的交点坐标为.故点Q的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $