2.1 圆的方程 第2课时 圆的一般方程 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“圆的一般方程”核心知识点，前承圆的标准方程，系统梳理其定义（x²+y²+Dx+Ey+F=0及D²+E²-4F>0条件）、结构特点（x²和y²系数相等且不为0、无xy项）及标准与一般方程互化方法，通过知识点填空、诊断分析判断正误构建学习支架。 该资料以“数学思维”“数学眼光”“数学语言”为特色，设计探究点（如圆拱桥问题）培养模型意识与应用意识，诊断分析与例题变式提升推理能力和运算能力，素养小结归纳方法，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

第2课时　圆的一般方程 【课前预习】 知识点一 (1)D2+E2-4F>0　　 (2)①1　②xy　③>　圆　点 诊断分析 1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.解:所有圆的方程都能表示为方程①的形式.类似于方程①的方程不一定都表示圆,比如方程x2+y2+2x+4y+8=0就不表示任何图形. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)根据题意知(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为. (2)由x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0,得(x+m)2+(y-1)2=1-5m,m<, 故圆心坐标为(-m,1),半径r=. 变式　B　[解析] 方法一:由x2+y2-2x+y+k=0,得(x-1)2+=-k,若该方程表示圆,则需满足-k>0,解得k<,所以实数k的取值范围是.故选B. 方法二:若方程表示圆,则需满足(-2)2+12-4k>0,解得k<,所以实数k的取值范围是.故选B. 探究点二 例2　解:(1)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 其中D2+E2-4F>0,将A,B,C三点的坐标代入方程,整理可得解得 故所求△ABC外接圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0. (2)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,则圆心为C, 由题意得解得所以圆C的一般方程为x2+y2-4x-4y-12=0. 变式　解:(1)由题可得,圆C的标准方程为+=-3, 则圆心为, 半径为, 所以解得 或又圆心在第二象限,所以D=2,E=-4, 故圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. (2)由(1)知圆C的圆心为C(-1,2), 设它关于直线x-y=0对称的点为C'(m,n), 则解得 所以圆C关于直线x-y=0对称的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=2, 即所求圆的一般方程为x2+y2-4x+2y+3=0. 探究点三 例3　解:(1)设这座圆拱桥所在圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0, 因为该圆过点A(-8,0),B(8,0),C(0,4),所以解得 所以这座圆拱桥所在圆的一般方程为x2+y2+12y-64=0, 标准方程为x2+(y+6)2=100, (2)不能.理由如下:当x=5时,可得52+(y+6)2=100, 可得y=5-6≈2.66<3, 所以该游船不可以从桥下通过. 变式　解:(1)设EF∩MN=O,以O为原点,EF所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则E(-3,0),F(3,0),M(0,3), 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0, 因为E,F,M在圆上,所以解得 所以圆的一般方程为x2+y2+6y-27=0,标准方程为x2+(y+3)2=36, 所以圆弧所在圆的半径为6米. (2)设限制高度为h米,如图,过C作CP⊥AD,交圆弧于P,则CP=h+0.5, 由(1)知,圆的方程为x2+(y+3)2=36, 将x=代入圆的方程, 得()2+(y+3)2=36,解得y=2或y=-8(舍), 所以h=CP-0.5=(y+DF)-0.5=(2+2)-0.5=3.5, 故隧道规定的车辆限制高度应为3.5米. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　圆的一般方程 【学习目标】 　　1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义. 　　2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化. 　　3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程. ◆ 知识点一　圆的一般方程 (1)定义:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(　　　　　　)叫作圆的一般方程,圆心为　　　　　　　　,半径为　　　　　　.  (2)圆的一般方程的特点是: ①x2和y2的系数都是　　　　;  ②没有　　　　这样的二次项;  ③D2+E2-4F　　　　0.  注意:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0并不一定表示圆,当其系数满足D2+E2-4F>0时,它表示　　　　;当D2+E2-4F=0时,它表示一个　　　　;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形.  ◆ 知识点二　 轨迹方程 满足条件的点M所构成的曲线即为动点M的轨迹,对应的方程即为动点M的轨迹方程. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　 ) (2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. (　 ) (3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. (　 ) (4)当D=0时,圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的圆心在x轴上. (　 ) 2.我们知道,方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0①,那么所有圆的方程是否都能表示为方程①的形式呢?类似于方程①的方程是否都表示圆呢? ◆ 探究点一　圆的一般方程的理解 例1 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; (2)该圆的圆心坐标和半径. 变式 若方程x2+y2-2x+y+k=0表示圆,则实数k的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-∞,5) B. C. D. [素养小结] 判断方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0是否表示圆要“两看”. 一看方程是否具备圆的一般方程的特征:①A=C≠0;②B=0. 二看它能否表示圆.此时需要判断D2+E2-4F是否大于0,或直接配方变形,判断等号右边是否为大于零的常数. ◆ 探究点二　求圆的一般方程 例2 (1)已知△ABC的三个顶点为A(4,-2),B(1,-1),C(1,4),求△ABC外接圆的方程. (2)已知圆C经过点A(-2,0),B(6,0),且圆心C在直线y=x上,求圆C的一般方程. 变式 已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为.求: (1)圆C的一般方程; (2)圆C关于直线x-y=0对称的圆的一般方程. [素养小结] 求圆的一般方程主要有两种方法:(1)定义法;(2)待定系数法.定义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径,写出标准方程,进而得到一般方程;待定系数法是列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F,从而求得圆的一般方程. ◆ 探究点三　圆的一般方程的实际应用 例3 某地建了一座圆拱桥,该圆拱桥的圆拱跨度为16 m,拱高为4 m,在该圆拱桥的示意图中建立了如图所示的平面直角坐标系. (1)求这座圆拱桥所在圆的方程; (2)若该景区某游船宽10 m,水面以上高3 m,试判断该游船能否从桥下通过,并说明理由.(≈1.732) 变式 某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成,如图所示,已知隧道总宽度AD=EF=6米,行车道总宽度BC=2米,BN和NC为相对的两个车道,侧端面EA=FD=2米,弧顶高MN=5米. (1)求圆弧所在圆的半径. (2)为进一步保证安全,要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.5米,则该隧道规定的车辆限制高度应为多少米? [素养小结] 解决与圆有关的实际问题的一般方法: (1)建立适当的平面直角坐标系(一般以圆心作为原点),用坐标和方程表示实际问题中的点、直线与圆. (2)利用与圆有关的知识,结合所求问题,求解圆的相关问题. (3)根据运算结果解释其实际含义,进而解决实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $