1.5 平面上的距离 1.5.2 点到直线的距离 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本高中数学讲义聚焦“点到直线的距离”核心知识点，先通过多种方法推导点到直线距离公式并明确使用条件，再将平行线间距离转化为点到直线距离导出公式，构建“推导-应用-转化”的知识脉络，辅以学习目标、诊断分析、探究点及素养小结等学习支架。 资料亮点在于注重数学思维与眼光培养，通过多种推导方法（如课本外证明）发展推理能力，结合诊断分析和探究实例（如点到直线距离计算、平行线距离应用）提升抽象能力与几何直观，素养小结强化数形结合思想，课中助力教师高效教学，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

1.5.2　点到直线的距离 【课前预习】 知识点一 　 知识点二 2. 诊断分析 1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.解:在运用点到直线的距离公式时,要求直线的方程应化为一般式;在应用两条平行线间的距离公式时,要求两条平行直线的方程都是一般式,且x, y对应的系数应分别相等. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)-2或- [解析] (1)由点到直线的距离公式可得点A到直线l的距离为=2.故选B. (2)因为A(-3,-4),B(5,6)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,所以=,即|3a+3|=|5a+7|,解得a=-2或-. 变式　解:(1)①当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意; ②当直线的斜率存在时,设斜率为k,则直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0. 根据题意,得=2,解得k=,所以直线方程为3x-4y-10=0. 故符合题意的直线方程为x-2=0或3x-4y-10=0. (2)不存在.理由如下:过点P且与原点的距离最大的直线为过点P且与OP垂直的直线(其中O为坐标原点),最大距离为OP==,而6>,故不存在这样的直线. 探究点二 例2　(1)D　(2)3　[解析] (1)由平行线间的距离公式可知,所求距离为=.故选D. (2)因为直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0平行,所以=≠,解得n=-4且m≠-3,所以直线l2的方程为2x-4y-6=0,即x-2y-3=0.因为两平行线间的距离为2,所以=2,得|m+3|=10,因为m>0,所以m+3=10,得m=7,所以m+n=7-4=3. 变式　A　[解析] 因为直线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0平行,所以1×2=(a-1)×a,且1×1≠2a,解得a=2或a=-1.当a=2时,l1:x+y+2=0,即2x+2y+4=0,l2:2x+2y+1=0,两平行线间的距离为=,符合题意;当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即x-2y-1=0,两平行线间的距离为=,不符合题意,舍去.故选A. 探究点三 例3　　[解析] 由题意知,直线l1:ax+y+1=0恒过定点P(0,-1),直线l2:y=k(x+1)恒过定点Q(-1,0),如图所示,过P(0,-1)作l2的垂线段PH,垂足为H,那么必有PH≤PQ,当且仅当Q与H重合时取等号,从而PH的最大值为PQ==,即点P到直线l2:y=k(x+1)距离的最大值是. 变式　5　[解析] 由题可得,l1:λ(x-y+2)+2x+y-5=0,由解得故l1恒过定点A(1,3).l2:k(x-2y+1)+x+y-5=0,由解得故l2恒过定点B(3,2),故l1,l2距离的最大值为AB=.此时,-=-=-=2,则λ=4,k=1,故λ+k=5. 探究点四 例4　解: (1)l2的方程可化为2x-y-=0,∴l1和l2之间的距离d==, ∴=,∵a>0,∴a=3. (2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②,则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且=×,可得c=或c=.∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0. 若点P满足条件③,则由点到直线的距离公式得=·, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵P在第一象限,∴3x0+2=0不合题意.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=,应舍去. 联立方程2x0-y0+=0与x0-2y0+4=0,解得x0=,y0=. 所以P为同时满足三个条件的点. 变式　　[解析] 因为4x-2y+5=0,即y=2x+,所以直线y=2x+1与4x-2y+5=0互相平行,这两条平行线间的距离为=.又y=-x+1,x+y-4=0互相平行,所以这四条直线围成的四边形为平行四边形.记y=2x+1与直线y=-x+1,x+y-4=0分别交于点A,B,则由解得则A(0,1),由 解得则B(1,3),因为AB==,所以四边形的面积为×=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.2　点到直线的距离 【学习目标】 　　1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件. 　　2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离. 　　3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距离公式导出两条平行直线间的距离公式. 　　4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离. ◆ 知识点一　点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=　　　　　　.  除了课本上的证明方法之外,我们还可以用下面的方法证明. 证明:根据定义,点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段的长度.如图,过点P(x0,y0)作直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的垂线l',垂足为Q,由l'⊥l可知l'的斜率为　　　　,∴l'的方程为y-y0=(x-x0),与l的方程联立,得交点Q的坐标为,则PQ=.   可以验证,当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立. ◆ 知识点二　两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 1.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离为d=　　　　　　.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)点(x,y)到直线x+y-2=0的距离是. (　 ) (2) 点(-5,4)到直线y-1=0的距离为3. (　 ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值. (　 ) (4)已知两平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为. (　 ) 2.在运用点到直线的距离公式时,对直线方程有什么要求?在应用两条平行线间的距离公式时,对直线方程有什么要求? ◆ 探究点一　点到直线的距离 例1 (1)已知点A(3,0),直线l:3x-4y+1=0,则点A到直线l的距离为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.2 C.1 D. (2)[2025·江苏苏州高二期中] 已知A(-3,-4),B(5,6)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为　　　　.  变式 已知点P(2,-1). (1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程. (2)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由. [素养小结] 点到直线的距离的求解方法: (1)求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点到直线的距离公式求解即可; (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离d时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接根据d=|x0-a|或d=|y0-b|求解; (3)已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. ◆ 探究点二　平行线间距离公式的应用 例2 (1)两条平行直线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0间的距离为 (　 ) A. B.2 C.14 D. (2)[2025·江苏扬州中学高二月考] 若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n=　　　　.  变式 [2025·山东莱芜一中高二质检] 若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a的值为 (　 ) A.2 B.-2或1 C.-1 D.-1或2 [素养小结] 求两平行线间距离的两种常用方法. (1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算. (2)公式法:直接利用公式d=,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等. ◆ 探究点三　利用距离公式解决最值问题 例3 已知直线l1:ax+y+1=0过定点P,则点P到直线l2:y=k(x+1)距离的最大值是　　　　.  变式 已知直线l1:(λ+2)x+(1-λ)y+2λ-5=0,l2:(k+1)x+(1-2k)y+k-5=0,且l1∥l2,则当两平行线l1与l2间的距离最大时,λ+k=　　　　.  [素养小结] (1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义,可将“数”转化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可求出这些量的取值范围. ◆ 探究点四　距离公式的综合应用 例4 已知直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2之间的距离是. (1)求a的值. (2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 变式 [2025·沈阳二十中高二月考] 平面上有四条直线,它们的方程分别是y=2x+1,4x-2y+5=0,y=-x+1,x+y-4=0.则由这四条直线围成四边形的面积是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $