2.2 直线与圆的位置关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

2.2 直线与圆的位置关系 新课导入 在海天交于一线的天际,一轮红日先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,再跃出海面,展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中,把太阳看作一个圆,海天交线看作一条直线,日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系. 学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切与相离. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系. 3.会求与圆有关的弦长问题. 4.掌握与圆有关的最值问题的求法. 5.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用. 新知学习 探究 一 直线与圆的位置关系的判断 思考1．如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线，观察太阳落山的图片，你认为直线与圆有哪些位置关系? 提示 相离、相切与相交. 思考2．在平面直角坐标系中,如何利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系？ 提示 可以研究直线方程和圆的方程组成的方程组的解的个数或者研究圆心到直线的距离与半径长度的关系. ［知识梳理］ 直线：，不同时为0)，圆：. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ①_ _ 个 ②_ _ 个 ③_ _ 个 判定方法 几何法 设圆心到直线的距离 ④_ _ ⑤_ _ ⑥_ _ 代数法 由 消元得到一元二次方程根的判别式 ⑦_ _ _ _ 0 ⑧_ _ 0 ⑨_ _ 0 图示 【答案】2； 1； 0； ； =； ； ； =； ［例1］ 已知与圆,当为何值时，直线与圆 （1） 有两个公共点； （2） 只有一个公共点； （3） 没有公共点? 【答案】 ［例1］ 【解】 方法一（代数法）:由方程组 消去 得, 所以, （1） 当,即 时，直线与圆有两个公共点. 方法二（几何法） 设圆心到直线 的距离为，则. （1）由,得 时，直线与圆有两个公共点. （2） 当，即 时，直线与圆只有一个公共点. 方法二（几何法）: 设圆心到直线 的距离为，则. （2）由，得 时，直线与圆只有一个公共点. （3） 当，即 时，直线与圆没有公共点. 方法二（几何法） 设圆心到直线 的距离为，则. （3）由，得 时，直线与圆没有公共点. 母题探究．已知曲线，直线．若直线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围． 解：由， 得，则， 由， 得， 所以曲线 是以 为圆心，2为半径的半圆，如图所示． 由题意知，直线 恒过定点,当直线 与半圆相切，为切点时，圆心到直线 的距离， 所以，解得． 当直线 过点 时，直线 的斜率， 则直线 与曲线 有两个不同的交点时，实数 的取值范围为． ［跟踪训练1］． （1） 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交且直线过圆心 B. 相切 C. 相离 D. 相交且直线不过圆心 （2） “直线与圆相交”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】（1） D （2） A 【解析】 （1） 选.圆 的圆心为，半径，则圆心到直线 的距离，因为，且直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心.故选. （2） 选.若直线 与圆 相交，则圆心 到直线的距离满足，故，由于 能推出，但 不能推出，故“直线 与圆 相交”是“”的充分不必要条件. 二 切线问题 ［例2］ （对接教材例2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程. 【解】 方法一（几何法） 因为，所以点 在圆外. ①若直线 的斜率存在，设直线，即，因为直线 与圆 相切，所以，所以. 所以直线 的方程为， 即. ②若直线 的斜率不存在，则直线 也符合要求. 所以直线 的方程为 或. 方法二（代数法） 若直线 的斜率存在，设直线，即，与圆的方程联立消去 得，整理得，所以，解得. 此时直线 的方程为， 即. ②若直线 的斜率不存在，则直线 也符合要求. 所以直线 的方程为 或. 母题探究．在本例条件下，此切线长为_ _ _ _ . 【答案】5 【解析】点 到圆心 的距离为, 所以切线长为. （1）求过已知点的圆的切线的方法 ①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程. ②如果已知点在圆外,过这点的切线有两条,但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. （2）圆的切线长的求法 过圆外一点的圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质.设切线长为，点到圆心的距离为,半径为，运用勾股定理可得. ［跟踪训练2］． （1） 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. （2） 已知圆及圆外一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的面积为_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 6 【解析】 （1） 选.圆，即，圆心为，半径，又，所以点 在圆上，且，所以切线的斜率，所以切线方程为，即. （2） 因为圆 的圆心为，半径， 由题意得，，所以，所以 的面积为. 三 弦长问题 ［例3］ （对接教材例3）求直线被圆截得的弦长. 【解】 方法一:联立直线 与圆 的方程， 得 消去,整理得. 设两交点分别为,, 由根与系数的关系得,, ， 所以弦长为. 方法二：圆 可化为. 其圆心坐标为，半径,点 到直线 的距离, 所以， 所以弦长为. 母题探究．如果一条直线经过点且被圆所截得的弦长为8，求这条直线的方程. 解：圆 的半径为,直线被圆所截得的弦长，所以弦心距. 当直线的斜率不存在时，满足题意.当直线的斜率存在时,设直线方程为,则圆心到直线 的距离等于3，即,解得. 故直线的方程为. 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为 或. 求弦长的两种方法 求解直线被圆截得的弦长问题时，方法有以下两种. （1）几何法：因为半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，所以常利用求解. （2）代数法：当直线斜率为时，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于的一元二次方程，运用根与系数的关系即可求得弦的长为. ［跟踪训练3］．过点,且倾斜角为的直线交圆于,两点，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.过点 且倾斜角为 的直线 的方程为, 即, 又圆 即，所以圆心，半径, 则圆心 到直线 的距离, 所以直线被圆截得的弦. 故选. 课堂巩固 自测 1．圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.易知该切线斜率存在，不妨设切线， 易知圆心，半径，所以圆心 到切线 的距离为， 解得，即切线. 2．（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交 C. 直线与圆不可能相离 D. 直线与圆可以相切 【答案】AC 【解析】选.易知直线 过定点，又，所以点 在圆内，所以直线与圆必相交，所以，正确，，错误. 3．若直线与圆相交，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】依题意，由圆 的圆心 到直线 的距离，解得. 4．已知圆，直线. （1） 求证：无论实数取何值，直线与圆都相交； （2） 当时，求直线被圆截得的弦长. 【答案】（1） 证明：因为直线方程可化为，由 可得 所以直线恒过定点，把 代入圆 方程得，所以定点 始终在圆 内，所以无论实数 取何值，直线 与圆 都相交. （2） 解：方法一:圆 化为，圆心，半径. 当 时，直线. 圆心 到直线 的距离. 所以直线 被圆 截得的弦长为. 方法二：当 时，直线. 联立 整理得，得 或 设直线 与圆 相交于，，所以弦长. 方法三：在方法二中，也可以不求交点坐标，设，，由 可得，，，由弦长公式. 1.已学习：（1）直线与圆的三种位置关系. （2）圆的切线方程. （3）圆的弦长. 2.须贯通：（1）直线与圆位置关系的判断方法. （2）求圆的切线方程的方法. （3）求直线与圆相交时弦长的方法. 3.应注意：解决直线与圆的位置关系问题时，易漏掉直线斜率不存在的情况. 课后达标 检测 A 基础达标 1．[（2025·汉中期中）]直线被圆：截得的弦长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为圆心 到直线 的距离，所以所截弦长为. 2．若直线与圆只有一个公共点，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】选.依题意，直线 与圆 相切，而圆 的圆心，半径为1，因此，解得. 3．设,为实数，若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】C 【解析】选.点 在圆 外,故，圆心 到直线的距离为，故直线与圆相交. 4．[（2025·扬州期中）]已知圆与直线相切于点，且圆过点，则圆的半径是（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】选.与直线 垂直且过点 的直线为, 即,所以圆心在 上, 又因为圆心在点 和 的垂直平分线上， 且 和 的垂直平分线为, 所以联立 解得 所以所求圆的圆心为，半径. 5．（多选）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.直线 过定点，显然点 在圆 内，因此直线 与圆 必相交，错误；而直线 表示平面内过点 的除直线 外的任意直线，因此选项，，都可能. 6．（多选）有一组圆且，下列四个命题中正确的是（ ） A. 所有的圆都不经过 B. 存在一条直线与所有的圆都相交 C. 存在一条直线与所有的圆均不相交 D. 存在，使圆与轴相切 【答案】ABD 【解析】选.对于，圆 且 的圆心为，故所有的圆都不经过，正确；对于，圆心 恒在直线 上，则直线 与所有的圆都相交，正确；对于，当 取无穷大的正数时，圆的半径 也无穷大，故可以认为所有直线都与圆相交，错误；对于，当 时，圆为 与 轴相切，正确. 7．[（2025·青岛期中）]若直线与圆相交于,两点，且为坐标原点)，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可知,圆心 到直线 的距离，即，解得，所以. 8．已知圆与两坐标轴及直线都相切，且圆心在第二象限，则圆的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 由圆 与两坐标轴都相切，且圆心在第二象限，设,，圆 的半径为，又圆 与直线 相切，则，解得，即，所以圆 的方程为. 9．已知直线，圆，则满足对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得的的一个值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】1（答案不唯一） 【解析】圆 的方程可化为，所以，对于直线 上的任意一点，在圆 上总存在点 使得，即对于直线 任意一点，都能向圆 引切线，即直线 与圆 相离，所以点 到直线 的距离， 解得,， 故 的值可以为1. 10．（13分）已知直线，圆. （1） 若，求直线截圆所得的弦长;（5分） （2） 已知直线过定点，若过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程.（8分） 【答案】（1） 解：当 时，直线，圆 的圆心为，半径为3，则圆心 到直线 的距离为，则直线 截圆 所得的弦长为. （2） 由 得，所以定点 的坐标为，由题意得切线的斜率存在且不为0，设切线的方程为，即，所以，解得，故所求切线方程为，即 或. B 能力提升 11．（多选）已知圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心在定直线上 B. 圆的面积的最大值为 C. 圆的半径的最小值为1 D. 满足条件的所有圆的半径之积为8 【答案】AB 【解析】选.因为圆 与直线 相切于点,所以直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为1，则圆心 在直线，即 上，故 正确； 设点,所以圆 的半径,因为圆 被 轴所截得的弦长为2，所以，解得 或.当 时，圆 的面积最大，为 ,故 正确； 当 时，圆 的半径最小，为，故 错误； 满足条件的所有圆 的半径之积为,故 错误. 12．（多选）已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 当或时，圆上没有点到直线的距离等于1 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 D. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 【答案】CD 【解析】选.由题得，圆的半径为2，圆心 到直线 的距离为. 对于，当 或 时,， 则，当 时，由图1知，圆 上有一点到直线 的距离等于1，故 错误； 对于，，当 时，，由图2知，圆 上恰有四个点到直线 的距离等于1，故 错误，正确； 对于，当 时，，由图3知，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于1，故 正确. 13．若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】{ 【解析】 圆 的圆心为坐标原点，图象关于 轴对称，因为 为偶函数，函数图象关于 轴对称，所以曲线 的图象也关于 轴对称，所以只需研究 与圆 只有一个交点即可，当 与圆 相切时，；当 与圆 相交时（只有一个交点），则，综上可得 的取值范围为{. 14．（15分）在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆的圆心，直线与圆相切. （1） 求圆的标准方程；（6分） （2） 若过点的直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程.（9分） 【答案】 （1） 解：联立 解得 所以圆 的圆心坐标为， 又由圆 与直线 相切，可得圆 的半径为，可得圆 的标准方程为. （2） 由直线 与圆 有且只有一个公共点，可得直线 与圆 相切，①当直线 斜率不存在时，此时直线 方程为，与圆 相切，符合题意；②当直线 斜率存在时，设，即，根据圆心到切线距离等于半径可得，得，所以此时直线 的方程为.综上，直线 的方程为 或. C 素养拓展 15．[（2025·南充期中）]（15分）已知点为线段的中点，，点为圆上的动点. （1） 求点的轨迹曲线的方程；（5分） （2） 过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，(异于坐标原点，直线，的斜率分别为，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（10分） 【答案】（1） 解：设，，由中点坐标公式得 因为点 为圆 上的动点，则，可得，整理得曲线 的方程为. （2） 由题意可知，曲线 是以 为圆心，半径 的圆，且直线 的斜率存在，设直线 的方程为，，，,联立 消去 得， 因为直线 与曲线 交于异于坐标原点的两点，，则 解得,,， 又因为 ， 所以 是定值，定值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $