1.3 两条直线的平行与垂直 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线的平行与垂直”核心知识点，前承直线倾斜角与斜率概念，后续为直线交点及距离等内容。通过表格梳理斜率存在与不存在时的平行垂直条件，结合诊断分析强化前提认知，构建从概念到应用的学习支架。 该资料以诊断分析培养推理意识，如判断正误辨析充要条件，探究点例题覆盖点坐标、倾斜角、一般式等情境提升数学眼光，证明一般式平行垂直条件发展数学语言表达。课中助力分层教学，课后诊断与小结帮助学生查漏补缺。

1.3　两条直线的平行与垂直 【课前预习】 知识点一 k1=k2 知识点二 k1k2=-1　l1⊥l2 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.解: l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合.l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由题意知,直线l1的斜率k1==-,直线l2的斜率k2==-,所以k1=k2, 又kAC==-4,kBD==-,所以A,B,C,D四点不共线,所以l1∥l2. (2)由题意知,直线l1的斜率为tan 60°=,直线l2的斜率为=, 所以l1∥l2或l1与l2重合. (3)由题意知,l1的斜率不存在,且l1不与y轴重合,l2的斜率不存在,且与y轴重合,所以l1∥l2. (4)l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=-=-,根据k1=k2且l1与l2在y轴上的截距不相等,可知l1与l2平行. 探究点二 例2　解:(1)因为l1的倾斜角为,所以l1的斜率为tan=-. 因为l2经过M(-4,-),N(5,2)两点, 所以l2的斜率为=. 因为-×=-1,所以l1⊥l2. (2)因为l2经过P(3,-2),Q(-6,4)两点,所以l2的斜率为=-.因为l1的斜率为-,且-×≠-1,所以l1与l2不垂直. (3)记l2的斜率为k,则k=tan α, 因为tan 2α=-,所以=-,解得k=3或k=-. 因为α为锐角,所以k=3. 因为l1的斜率为-,且3×=-1,所以l1⊥l2. (4)l1的斜率k1=,l2的斜率k2=-=-, 因为k1k2=-1,所以l1与l2垂直. 变式　解:四边形OPQR为矩形.证明如下:由斜率公式,得kOP==t,kQR===t, kOR==-,kPQ===-,kOQ=,kPR=, ∴kOP=kQR,kOR=kPQ, ∴OP∥QR,OR∥PQ, ∴四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR. 又kOQ·kPR≠-1,∴OQ与PR不垂直, ∴四边形OPQR为矩形. 探究点三 例3　证明:(1)对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0. ①当B1≠0,B2≠0,即两直线斜率都存在时,可得l1:y=-x-,l2:y=-x-. 若l1∥l2,则-=-且-≠-,即A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0. ②当B1=0,A1≠0时,直线l1的斜率不存在,因为l1∥l2,所以B2=0,所以两条直线的斜率都不存在. 所以A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0. 综上,当l1∥l2时,A1B2-A2B1=0.当斜率存在时,B1C2-B2C1≠0,当斜率不存在时, A1C2-A2C1≠0. (2) 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0. ①当B1≠0,B2≠0,即两直线斜率都存在时,可得y=-x-和y=-x-. 因为l1⊥l2,所以-·=-1,即A1A2+B1B2=0. ②当B1=0,A1≠0时,直线l1的斜率不存在, 因为l1⊥l2,所以A2=0且B2≠0,即直线l2斜率为0,所以A1A2+B1B2=0. 当B2=0,A2≠0时,直线l2的斜率不存在,因为l1⊥l2,所以A1=0且B1≠0,即直线l1斜率为0,所以A1A2+B1B2=0.因此当l1⊥l2时,A1A2+B1B2=0. 变式　解:(1)当l1,l2相交时,1×3-(m-2)m≠0. 当1×3-(m-2)m=0,即m2-2m-3=0时,解得m=-1或m=3. 所以当m≠-1,且m≠3时,l1和l2相交. (2)当l1⊥l2时,1×(m-2)+m×3=0,解得m=. 所以当m=时,l1⊥l2. (3)因为当m=0时,l1不平行于l2, 所以m≠0,所以=,且≠m,解得m=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　两条直线的平行与垂直 【学习目标】 　　1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. 　　2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 　　3.运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程,解决相应的几何问题. ◆ 知识点一　两条直线平行 类型 斜率k1,k2存在 斜率不存在 前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90° 对应关系 l1∥l2⇔　　　  l1∥l2⇔两条直线的 斜率都不存在 图示 ◆ 知识点二　两条直线垂直 类型 斜率k1,k2存在 斜率不存在 前提条件 α1≠90°,α2≠90° α1=90°,α2=0° 图示 对应关系 对于斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,l1⊥l2⇔　　　  若l1的斜率不存在,l2的斜率为0,则　　　  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的充要条件. (　 ) (2)“直线l1,l2的斜率之积为-1”是“直线l1,l2互相垂直”的充要条件. (　 ) (3)如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等. (　 ) (4)已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°. (　 ) 2.l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是什么? l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的前提条件是什么? ◆ 探究点一　两条直线平行的判定 例1 根据下列条件,判断直线l1与直线l2是否平行或重合: (1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7); (2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(3,2),N(-2,-3); (3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5); (4)l1:3x+5y-4=0,l2:6x+10y+7=0. [素养小结] 利用两条直线的斜率判断两条直线是否平行的方法如下: ◆ 探究点二　两条直线垂直的判定 例2 根据下列条件,判断直线l1与l2是否垂直: (1)l1的倾斜角为,l2经过M(-4,-),N(5,2)两点; (2)l1的斜率为-,l2经过P(3,-2),Q(-6,4)两点; (3)l1的斜率为-,l2的倾斜角为α,α为锐角,且tan 2α=-; (4)l1:5x-11y+2=0,l2:33x+15y-7=0. 变式 在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的四个顶点为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状并证明. [素养小结] 判断两直线是否垂直的依据:在这两条直线的斜率都存在(所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在)的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行(或重合)时,两直线也垂直. ◆ 探究点三　利用一般式解决直线的平行和垂直问题 例3 求证:(1)若直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,且l1∥l2,则A1B2-A2B1=0,且当斜率存在时,B1C2-B2C1≠0,当斜率不存在时,A1C2-A2C1≠0. (2)若直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,且l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0. 变式 已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求实数m的值,使得: (1)l1,l2相交;(2)l1⊥l2;(3)l1∥l2. [素养小结] 利用一般式解决直线的平行和垂直问题时,要对参数进行分类讨论,关注直线斜率是否存在、斜率是否为零等特殊情况. 学科网（北京）股份有限公司 $