第1章 直线与方程 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了直线与方程的知识体系，将斜率与倾斜角、直线方程、平行垂直关系、距离问题四个核心题型按“概念理解-公式应用-综合拓展”的逻辑组织，清晰呈现各知识点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-例题-变式”的三阶练习设计，如题型三通过直线平行垂直的参数问题例题，培养学生推理意识与运算能力，变式题分层设置基础选择与综合解答题，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)-5　(2)- [解析] (1)由直线的倾斜角为135°,得斜率k=tan 135°=-1,即=-1,解得m=-5. (2)设直线l,l'的倾斜角分别为α,β,则tan α=2,因为直线l绕点A按逆时针方向旋转60°得到直线l',所以β=α+60°,所以直线l'的斜率k=tan(α+60°)===-. 变式　(1)C　(2)4　[解析] (1)根据倾斜角的定义,并结合图形知,所求直线的倾斜角为180°-α. (2)依题意知直线AC的斜率存在,则m≠-1.由kAC=3kBC,得=3·,解得m=4. 题型二 例2　解:(1)由点斜式,得直线方程为y-3=(x-5),即x-y-5+3=0. (2)由题可得直线方程为y=4x-2,即4x-y-2=0. (3)由两点式,得直线方程为=,即2x+y-3=0. (4)由截距式,得直线方程为+=1,即x+3y+3=0. 变式　解:因为kl==2,所以直线的点斜式方程为y-1=2(x-2),斜截式方程为y=2x-3,一般式方程为2x-y-3=0,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为-3. 题型三 例3　(1)C　(2)D　[解析] (1)若直线l1:mx+4y-6=0与直线l2:x+my-3=0平行,则m2=4,可得m=±2.当m=2时,直线l1:2x+4y-6=0,直线l2:x+2y-3=0,此时两直线重合,不符合题意.所以“直线l1:mx+4y-6=0与直线l2:x+my-3=0平行”等价于“m=-2”.所以“m=-2”是“直线l1:mx+4y-6=0与直线l2:x+my-3=0平行”的充要条件.故选C. (2)由两直线垂直得m·2+4×(-5)=0,解得m=10,所以直线l1的方程为10x+4y-2=0,又因为两直线的交点为(1,p),所以解得所以m+n-p=10-12+2=0,故选D. 例4　解:(1)方法一:∵l的方程可化为y=-x+3,∴l的斜率为-. ∵l'与l平行,∴l'的斜率为-. 又∵l'过点(-1,3),∴直线l'的方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0. 方法二:由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12).将点(-1,3)的坐标代入上式得m=-9. ∴直线l'的方程为3x+4y-9=0. (2)由题意可设所求直线方程为3x+4y+b=0. 令x=0,得y=-,即A;令y=0,得x=-,即B. 又∵△AOB的周长为10,即OA+OB+AB=10,∴++=10,解得b=±10,故所求直线方程为3x+4y+10=0或3x+4y-10=0. 变式　(1)D　(2)D　[解析] (1)当b=-2a时,两直线重合,当b≠-2a时,两直线平行,所以两直线的位置关系为重合或平行.故选D. (2)因为l1⊥l2,所以a·1+(-2)·(a-1)=0,解得a=2,故选D. 题型四 例5　(1)3x+4y-11=0或x=1　(2)x-y+2=0　[解析] (1)由解得所以l1,l2的交点为(1,2).显然,直线x=1满足条件;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,依题意有=1,解得k=-,则此时直线l的方程为3x+4y-11=0,综上,所求直线方程为3x+4y-11=0或x=1. (2)∵直线l1不过原点且与l2平行,∴可设直线l1的方程为x-y+a=0(a≠0且a≠),∴l1与l2之间的距离d==1,解得a=2或a=0(舍),∴直线l1的一般式方程为x-y+2=0. 变式　(1)B　(2)　[解析] (1)表示P(x0,y0)到原点的距离,易知点P(x0,y0)到原点距离的最小值为=2,则的最小值为2,故选B. (2)l2:6x-8y+9=0,即3x-4y+=0,则平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:6x-8y+9=0之间的距离为=. (3)解:(i)当m=1时,直线l的方程为x+3y+7=0, 所以点H(3,4)到直线l的距离d===. (ii)当m=-3时,直线l的方程为x-y-1=0, 设点A关于直线l的对称点A'(x,y), 则解得即A'(5,0), 所以PA+PB=PA'+PB≥A'B==, 故PA+PB的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 　　　　　 　　　　　 　　　　　 ◆ 题型一　斜率与倾斜角 [类型总述] (1)直线的斜率;(2)直线的倾斜角;(3)直线的倾斜角与斜率的关系. 例1 (1)若过点A(4,m),B(2,-3)的直线的倾斜角是135°,则m=　　　　.  (2)已知斜率为2的直线l与x轴交于点A,直线l绕点A按逆时针旋方向旋转60°得到直线l',则直线l'的斜率为　　　　.  变式 (1)已知直线l的倾斜角为α,则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为 (　 ) A.α B.90°-α C.180°-α D.90°+α (2)设A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,则实数m的值为　　　　.  ◆ 题型二　直线方程 [类型总述] (1)直线方程的几种形式;(2)求直线方程. 例2 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式: (1)斜率是,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别为-3,-1. 变式 已知直线l经过点A(2,1),B(3,3),求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程,并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距. ◆ 题型三　直线的平行与垂直 [类型总述] (1)两直线平行与垂直的条件;(2)由两直线平行与垂直求参数的值. 例3 (1)“m=-2”是“直线l1:mx+4y-6=0与直线l2:x+my-3=0平行”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)已知直线l1:mx+4y-2=0与直线l2:2x-5y+n=0互相垂直,且两直线的交点为(1,p),则m+n-p等于 (　 ) A.24 B.20 C.4 D.0 例4 (1)求过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0平行的直线l'的方程; (2)求与直线4x-3y+5=0垂直,且与两坐标轴围成的△AOB(其中O为坐标原点,A在y轴上,B在x轴上)的周长为10的直线方程. 变式 (1)直线3x+2y+a=0与直线6x+4y-b=0的位置关系是 (　 ) A.相交但不垂直 B.平行 C.垂直 D.平行或重合 (2)已知直线l1:ax-2y+1=0与直线l2:x+(a-1)y-1=0垂直,则实数a的值为 (　 ) A.1 B. C.- D.2 ◆ 题型四　平面上的距离问题 [类型总述] (1)点点距离;(2)点线距离;(3)线线距离;(4)与距离有关的最值问题. 例5 (1)直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到l的距离为1,则直线l的方程为　　　　　　　　　.  (2)已知不过原点的直线l1与直线l2:x-y+=0平行,且直线l1与l2的距离为1,则直线l1的一般式方程为　　　　　　.  变式 (1)已知点P(x0,y0)在直线3x-4y-10=0上,则的最小值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:6x-8y+9=0之间的距离为　　　　.  (3)[2025·石家庄一中高二期中] 已知直线l的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0. (i)当m=1时,求点H(3,4)到直线l的距离; (ii)当m=-3时,P为直线l上一动点,若A(1,4),B(3,5),求PA+PB的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $