1.2 直线的方程 1.2.3 直线的一般式方程 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“直线的一般式方程”核心知识点，衔接直线特殊形式方程，通过归纳建立直线与二元一次方程的关系，明确一般式定义及特殊形式与一般式的互化，构建从特殊到一般的知识支架。 资料设计亮点突出，诊断分析辨析概念，探究点结合实例（如求过两点、垂直x轴的直线方程）培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），含参数问题提升应用意识。课中辅助教师引导探究，课后助力学生查漏补缺。

1.2.3　直线的一般式方程 【课前预习】 知识点一 (1)Ax+By+C=0(A,B不全为0)　(2)一条直线 知识点二 Ax+By+C=0(A,B不全为0) 诊断分析 　 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由题可得kAB==5,所以该直线的方程为y-3=5(x-7),即5x-y-32=0. (2)经过点(-1,2),且垂直于x轴的直线的斜率不存在,其方程为x=-1,即x+1=0. (3)当直线在两坐标轴上的截距不为0时,设所求直线方程为+=1,a≠0, 将点(1,3)的坐标代入上式,得+=1,解得a=4, 所以直线方程为x+y-4=0. 当直线在两坐标轴上的截距为0,即直线过原点时,易得直线的方程为y=3x,即3x-y=0. 综上,直线的方程为x+y-4=0或3x-y=0. 变式　解:(1)设所求直线的斜率为k,则依题意得k=-4×=-, 因为直线经过点C(1,3),所以所求直线的方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0. (2)当直线不过原点时,设所求直线的方程为+=1(a≠0),将点D(-5,2)的坐标代入,可得+=1,解得a=-,所以直线的方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设所求直线的方程为y=kx, 则-5k=2,解得k=-,所以直线的方程为y=-x,即2x+5y=0. 综上,所求直线的方程为2x+5y=0或x+2y+1=0. (3)当m=2时,直线的方程为x=2,即x-2=0; 当m≠2时,直线的方程为=, 即2x-(m-2)y+m-6=0. 因为当m=2时,方程2x-(m-2)y+m-6=0即为x=2,所以所求直线的方程为2x-(m-2)y+m-6=0. 探究点二 例2　(1)D　[解析] 由已知得A≠0,B≠0,C≠0.令x=0,得直线在y轴上的截距为-,令y=0,得直线在x轴上的截距为-.由直线Ax+By+C=0在x轴上的截距大于在y轴上的截距,可得->-,即-<0.故选D. (2)解:①证明:直线l的方程可化为(x-1)a=2(y-2), 令解得即直线l过定点A(1,2), 因为点A(1,2)在第一象限内,所以不论a为何值,直线l总经过第一象限. ②方法一:设O为坐标原点,连接OA,则直线OA的斜率为=2, 故要使直线l不经过第二象限,只需直线l的斜率k=≥2,解得a≥4,即a的取值范围为[4,+∞). 方法二:当a=0时,直线l的方程为y=2,直线l经过第二象限,不符合题意,故a≠0. 由题意可知直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为, 故要使直线l不经过第二象限,只需解得a≥4, 故a的取值范围为[4,+∞). 变式　(1)B　[解析] 因为ab<0,bc<0,直线方程可变形为y=-x+,所以斜率k=->0,在y轴上的截距为<0,因此直线经过第一、三、四象限,故选B. (2)解:当l过原点时,可得1+a=0,则a=-1. 当l不过原点时,a≠-1,由题可知即 令x=0,则3ay+1+a=0, 则y=; 令y=0,则(a+2)x+1+a=0, 则x=. 由题可知=,可得3a=a+2,解得a=1.综上所述,a=±1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3　直线的一般式方程 【学习目标】 　　1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程. 　　2.能讨论特殊形式与一般式的关系,并能熟练地进行互化. ◆ 知识点一　直线与二元一次方程的关系 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x,y的二元一次方程 　　　　　　　　　　　　　来表示;  (2)任何一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示平面直角坐标系中的　　　　　　.  ◆ 知识点二　直线的一般式方程 方程　　　　　　　　　　　　　叫作直线的一般式方程,简称一般式.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式. (　 ) (2)任意一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. (　 ) (3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示垂直于x轴的直线. (　 ) (4)斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为2x-y+1=0. (　 ) ◆ 探究点一　求直线的一般式方程 例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式. (1)直线经过A(5,-7),B(7,3)两点; (2)经过点(-1,2),且垂直于x轴; (3)过点(1,3)且在两坐标轴上的截距相等. 变式 写出下列直线的方程,并化成一般式. (1)经过点C(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的; (2)经过点D(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍; (3)经过P(2,1),Q(m,3)两点. [素养小结] 求直线的一般式方程的策略. (1)当A≠0时,方程可化为x+y+=0,只需确定,的值;当B≠0时,方程可化为x+y+=0,只需确定,的值.因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程. (2)在求直线方程时,通常根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式. ◆ 探究点二　含参数的直线的一般式方程有关问题的探究 例2 (1)[2025·江苏苏州中学高二质检] 已知直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)在x轴上的截距大于在y轴上的截距,则A,B,C应满足的条件是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.A>B B.A<B C.+>0 D.-<0 (2)已知直线l:ax-2y-a+4=0. ①求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限; ②要使直线l不经过第二象限,求a的取值范围. 变式 (1)[2025·江苏盐城高二期中] 已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c经过 (　 ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 (2)[2025·重庆清华中学高二检测] 已知直线l的方程为(a+2)x+3ay+1+a=0(a∈R),若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值. [素养小结] 与含参数的直线的一般式方程有关问题的求解流程: 学科网（北京）股份有限公司 $