1.5 平面上的距离 1.5.1 平面上两点间的距离 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“平面上两点间的距离”核心知识点，系统梳理从两点间距离公式推导（含一般形式√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]）到特殊情况（平行x轴|x₂-x₁|、平行y轴|y₂-y₁|，原点距离√(x²+y²)），再到坐标法证明几何问题的完整学习支架。 该资料通过诊断分析辨析易错点培养数学眼光，探究点例题（如例1判断三角形形状）与变式训练提升数学思维中的推理与运算能力，坐标法应用（如例3证明几何等式）体现数学语言表达几何关系，课中辅助教师引导教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 【学习目标】 　　1.能推导两点间的距离公式,会分析公式中相关量的几何意义. 　　2.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离. 　　3.会用坐标法证明简单的平面几何问题. ◆ 知识点　两点间的距离公式 平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为P1P2=　　　　　　　　.  (1)当直线P1P2平行于x轴时,P1P2=　　　　;   (2)当直线P1P2平行于y轴时,P1P2=　　　　;   (3)特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离OP=. 【诊断分析】 (1)已知点A(-2,-1),B(a,3),且AB=5,则a的值为1. (　 ) (2) 若A(-1,0),B(5,6),则线段AB的中点坐标为(2,3). (　 ) (3)点P1(0,a)与点P2(b,0)之间的距离为a-b. (　 ) (4)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用. (　 ) ◆ 探究点一　求两点间的距离 例1 已知△ABC的三个顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状. 变式 若点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点为(3,4),则AB等于 (　 )　　　 A.10 B.5 C.8 D.6 [素养小结] 计算两点间距离的方法: (1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),有P1P2=; (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解. ◆ 探究点二　由两点间的距离求参数 例2 已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当AB取得最小值时,实数a的值为　　　　.  变式 已知点P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1),且PQ=PM,则a的值是 (　 ) A.-2 B.2 C.- D. [素养小结] 已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标,利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解. ◆ 探究点三　坐标法的应用 例3 用坐标法证明:若四边形ABCD是长方形,则对直线AC上任意一点M,等式AM2+CM2=BM2+DM2恒成立. 变式 如图,A,B,C三点共线,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.试用坐标法证明:AE=CD. [素养小结] 利用坐标法解决平面几何问题的一般步骤: (1)建立坐标系,用坐标表示有关的量; (2)进行有关代数运算; (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 【课前预习】 知识点 (1)|x2-x1|　(2)|y2-y1| 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)× 【课中探究】 探究点一 例1　解:方法一:∵AB===2,AC===2,BC===2, ∴AB2+AC2=BC2,且AB=AC, ∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二:∵kAC==,kAB==-, ∴kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB. 又AC===2,AB===2,∴AC=AB,∴△ABC是等腰直角三角形. 变式　A　[解析] 由题意得A(6,0),B(0,8),所以AB==10.故选A. 探究点二 例2　　[解析] 因为点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),所以AB===,故当a=时,AB取得最小值. 变式　C　[解析] 因为点P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1),且PQ=PM,所以= ,解得a=-. 探究点三 例3　证明:以A为坐标原点,AB边所在直线为x轴,AD边所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示, 设AB=a,AD=b,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),直线AC的方程为y=x. 设M,则AM2+CM2=x2++(a-x)2+,BM2+DM2=(a-x)2++x2+,所以AM2+CM2=BM2+DM2. 变式　证明:如图所示,以点B为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c, 则A(-a,0),C(c,0),E,D, 所以AE==, CD== ,所以AE=CD. 学科网（北京）股份有限公司 $