第1章 1.5.2 第3课时 对称问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学对称问题核心知识点，系统梳理点点对称（中点坐标公式）、点线对称（垂直平分关系）、线线对称（转化为点对称）等类型，衔接光的反射问题及利用对称解决最值问题，构建从基础理论到实际应用的学习支架。 该资料以分层递进设计为特色，通过例2光的反射、例3最值问题等实例，培养学生用数学眼光观察现实对称现象，用数学思维推理转化化归过程，用数学语言规范解题表达。课中例题与跟踪训练辅助教师引导探究，课后课时对点练覆盖不同难度，助力学生巩固知识、查漏补缺。

第3课时　对称问题 学习目标　1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题. 导语 在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称.在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型. 一、几类常见的对称问题 1.点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P'(x2，y2)，则根据中点坐标公式，有 可得对称点P'(x2，y2)的坐标为(2x0－x1，2y0－y1). 2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)对称的点为P'(x2，y2)，连接PP'，交l于点M，则l垂直平分PP'，所以PP'⊥l，且M为PP'的中点， 又因为M在直线l上，故可得 解出(x2，y2)即可. 3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程. 4.直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0(a，b不全为0)，关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(d，e不全为0)的对称直线l3(其中直线l1与l2不平行) 第一步：联立l1，l2的方程，求出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称点Q'(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程. 注意点： 常见的一些特殊的对称 (1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y). (2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x). (3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y). (4)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y). (5)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k). 例1　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程. 解　(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l， 即解得 ∴点P'的坐标为(－2，7). (2)解方程组得 则点在所求直线上. 在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M'(x0，y0)， 则 解得 点M'也在所求直线上. 由两点式得直线方程为， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程. (3)在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E'(6，1)，F'(7，4). 因为点E'，F'在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为， 即3x－y－17＝0. 反思感悟　对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. (4)求直线关于直线的对称问题，可转化为点关于直线的对称问题. 跟踪训练1　已知P(－1，2)，M(1，3)，直线l：y＝2x＋1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； (2)求直线PM关于直线l的对称直线方程. 解　(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有解得所以点R的坐标为 . (2)因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR为所求的直线， 方程为11x＋2y－17＝0. 二、光的反射问题 例2　一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. 解　设原点O(0，0)关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得 解得 ∴点A的坐标为(4，3). ∵反射光线的反向延长线过A(4，3)， 又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y＝3 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度， 由A(4，3)，P(－4，3)知，AP＝4－(－4)＝8， 即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 反思感悟　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. 跟踪训练2　如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A.2 B.6 C.3 D.2 答案　A 解析　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，设点P关于直线AB的对称点为D(x1，y1)， 则 解得即点D的坐标为(4，2)，又点P关于y轴的对称点为C(－2，0)， 则光线所经过的路程为CD＝2 三、利用对称解决有关最值问题 例3　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差的绝对值最大； (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小. 解　(1)如图，设点B关于直线l的对称点B'的坐标为(a，b)，连接BB'，则kBB'·kl＝－1，即×1＝－1， ∴a＋b－4＝0， ① ∵BB'的中点在直线l上， ∴－1＝0，即a－b－6＝0. ② 由①②得 ∴点B'的坐标为(5，－1). 于是AB'所在直线的方程为， 即2x＋y－9＝0. 易知|PA－PB|＝|PB－PA|＝|PB'－PA|，当且仅当P，B'，A三点共线时，|PB'－PA|最大. ∴联立直线l与AB'的方程，解得 即l与AB'的交点坐标为 故点P的坐标为 (2)如图，设点C关于直线l的对称点为C'，可求得C'的坐标为(1，2)， ∴AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知QA＋QC＝QA＋QC'，当且仅当Q，A，C'三点共线时，QA＋QC'最小. ∴联立直线AC'与l的方程， 解得 即AC'与l的交点坐标为 故点Q的坐标为 反思感悟　利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，应注意两点在已知直线的同侧还是异侧. 跟踪训练3　(1)在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则MA＋AB＋BM的最小值是(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 答案　A 解析　如图，设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(－3，4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)， 则MB＝PB，MA＝AQ. 当A与B重合于坐标原点O时， MA＋AB＋BM＝PO＋OQ＝PQ＝＝10； 当A与B不重合时，MA＋AB＋BM＝AQ＋AB＋PB>PQ＝10. 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，MA＋AB＋BM取得最小值，最小值为10. (2)函数y＝的最大值为　　　　　　.  答案　 解析　y＝ 表示点P(x，x)到点A(2，0)的距离与到点B(－1，0)的距离之差， 而点P在直线y＝x上，且点B关于直线y＝x的对称点为B'(0，－1)， 则y＝PA－PB＝PA－PB'≤AB'＝ 故当点P，B'，A共线时，ymax＝ 1.知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题. (2)反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆. 1.点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　　) A.(－1，－3) B.(17，－9) C.(－1，3) D.(－17，9) 答案　A 解析　设点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)， 则由解得 所以该点的坐标为(－1，－3). 2.直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0 答案　D 解析　在直线 x－2y＋1＝0上任取两点，如：(1，1)，， 这两点关于直线x＝1对称的点分别为(1，1)，， 两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0. 3.已知A(1，4)，B(8，3)，点P在x轴上，则使AP＋BP取得最小值的点P的坐标是(　　) A.(4，0) B.(5，0) C.(－5，0) D.(－4，0) 答案　B 解析　因为A(1，4)关于x轴的对称点为A'(1，－4)，所以A'B所在的直线方程为y－3＝(x－8)，即y＝x－5，令y＝0得x＝5，所以P(5，0). 4.已知A(3，0)，B(0，3)，从点P(0，2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为(　　) A.2 B.6 C.3 D 答案　D 解析　由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0，2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)，设点P(0，2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图， ∴解得∴P2(1，3)， ∴光线所经过的路程为PQ＋QM＋MP＝P1P2＝ 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分 1.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A.4 B C D 答案　D 解析　根据中点坐标公式得解得 所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝ 2.点P(2，5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　) A.(6，－3) B.(3，－6) C.(－6，－3) D.(－6，3) 答案　C 解析　设点P(2，5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(x，y)， 则解得 故点P(2，5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(－6，－3). 3.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0 C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0 答案　C 解析　∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线方程l'为2x＋3y＋c＝0， 又点(1，－1)到两直线的距离相等， ∴， 化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8， ∴l'的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或2x＋3y＋8＝0， 即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0. 4.已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l'关于直线x＋y＝0对称，则l'的方程为(　　) A.bx＋ay－c＝0 B.bx－ay＋c＝0 C.bx＋ay＋c＝0 D.bx－ay－c＝0 答案　A 5.已知A(2，4)，B(1，0)，动点P在直线x＝－1上，当PA＋PB取最小值时，点P的坐标为(　　) A B C.(－1，2) D.(－1，1) 答案　A 解析　点B关于直线x＝－1对称的点为B1(－3，0)， 由图形知，当A，P，B1三点共线时，PA＋PB1＝(PA＋PB)min， 此时，直线AB1的方程为y＝(x＋3)， 令x＝－1，得y＝，故选A. 6.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为(　　) A.5 B.2 C.5 D.10 答案　C 解析　点A(－3，5)关于x轴的对称点A'(－3，－5)， 则光线从A到B的路程即A'B的长， A'B＝＝5 即光线从A到B的路程为5 7.(5分)已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB取最小值，则点M的坐标为　　　. 答案　(1，0) 解析　如图，作点A关于x轴的对称点A'(－3，－8)，连接A'B，则A'B与x轴的交点即为M，连接AM.因为B(2，2)，所以直线A'B的方程为，即2x－y－2＝0. 令y＝0，得x＝1， 所以点M的坐标为(1，0). 8.(5分)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　.  答案　6x－y－6＝0 解析　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M'(a，b)， 则反射光线所在直线过点M'， 由 解得即点M'(1，0). 又反射光线经过点N(2，6)， 所以所求直线的方程为， 即6x－y－6＝0. 9.(10分)已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小. 解　由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3，5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 解方程组得交点P 令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小. 10.(12分)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4). (1)在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；(6分) (2)在直线l上求一点P，使PB－PA最大.(6分) 解　(1)设A关于直线l的对称点为A'(m，n)， 则解得 故A'(－2，8). 因为P为直线l上的一点， 则PA＋PB＝PA'＋PB≥A'B， 当且仅当B，P，A'三点共线时，PA＋PB取得最小值，为A'B，点P即是直线A'B与直线l的交点， 则得 故所求的点P的坐标为(－2，3). (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则PB－PA≤AB， 当且仅当A，B，P三点共线时，PB－PA取得最大值，为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则 得故所求的点P的坐标为(12，10). 11.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　) A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0 C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0 答案　B 解析　设A(a，b)，则 解得所以A(－1，1). 设点B(2，－1)到直线l2的距离为d， 当d＝AB时取得最大值， 此时直线l2垂直于直线AB， 又－＝－， 所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0. 12.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点A(－2，3)无旋转射入，经过x轴(桌边)上的点P反弹后，经过点B(5，7)，则点P的坐标为(　　) A. B.(2，0) C.(－1，0) D.(0，0) 答案　A 解析　设P(x，0)，A点关于x轴对称的点为A'(－2，－3)， 则kA'P＝，kA'B＝， 由题意知A'，B，P三点共线，∴kA'P＝kA'B，即，解得x＝， 故点P的坐标为 13.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于(　　) A. B. C.4 D. 答案　A 解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)， 所以直线BC的方程为x＋y－4＝0. 设P(t，0)(0<t<4)，点P关于直线BC的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2， 易得P1(4，4－t)，P2(－t，0). 易知直线P1P2就是光线QR所在的直线. 所以直线QR的方程为y＝(x＋t). 设△ABC的重心为G， 则G， 所以， 即3t2－4t＝0，所以t＝0(舍去)或t＝， 所以P1，P2 结合对称关系可知QP＝QP1，RP＝RP2， 所以△PQR的周长即线段P1P2的长度， 为 14.(5分)已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x＋y－1＝0，两个顶点A(1，2)，B(－1，－1)，则顶点C的坐标为　　　　　　　　.  答案　 解析　由题意可知A(1，2)关于直线2x＋y－1＝0的对称点在直线BC上，设对称点为P(a，b)，则解得 即P，所以直线BC(即PB)的方程为，即9x＋2y＋11＝0.由方程组解得故C点的坐标为 15.(5分)唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2，4)，军营所在位置为B(6，2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为　　　　　　　.  答案　 解析　由题可知A，B在直线x＋y－3＝0的同侧， 设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B'(a，b)， 则 解得 即B'(1，－3). 要使“将军饮马”的总路程最短， 则将军从出发点到河边的路线所在直线即为直线AB'，又A(2，4)， 所以直线AB'的方程为7x－y－10＝0， 设将军在河边饮马的地点为H， 则H为直线7x－y－10＝0与直线x＋y－3＝0的交点， 联立解得 所以H 16.(13分)已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数；(9分) (2)求直线BC的方程.(4分) 解　(1)如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点为A'(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B'(－3，m＋3). 根据光学知识，知点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，且直线A'B的方程为y＝(x－m). 由得x＝ 又直线AB'的方程为y－2＝(x－1)， 由得x＝ 所以， 即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或m＝－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形.综上，符合题意的△ABC只有1个. (2)由(1)得m＝， 则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $