1.4 两条直线的交点（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“两条直线的交点”核心知识点，系统梳理从联立二元一次方程组求解交点坐标，到依据解的情况（唯一解、无解、无数解）判定直线相交、平行、重合三种位置关系，再到应用过交点的直线系方程解题的完整知识脉络，搭建递进式学习支架。 该资料以数形结合思想为统领，通过易错提醒（如混淆重合与相交判定）和解题贴士（如直线系方程参数讨论）培养数学思维，设置分层练习（随学随练、素养提升等）助力学生用数学语言表达几何问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第一章 直线与方程 1.4 两条直线的交点 课标要点 1.理解两条直线交点坐标是对应二元一次方程组的解，掌握联立方程组求解交点坐标的基本方法，建立方程组与点位的数形对应关系。 2.通过方程组解的三种情况，判断两直线相交、平行、重合三种位置关系，学会用代数结果解释几何特征。 3.能利用交点结合直线系方程解题，体会解析几何数形结合思想，提升利用代数运算解决平面几何问题的能力。 学习重难点 重点： 1.联立一般式方程组，规范计算求出两直线交点坐标。 2.根据方程组无解、唯一解、无数组解，判定直线相交、平行、重合。 3.借助过两直线交点的直线系方程，快速设参求解直线解析式。 难点： 1.含参数直线联立方程组，讨论参数不同取值对应的三种位置关系，容易分类不全。 2.灵活选用直线系方程解题，区分直线系存在的局限，避开遗漏特殊直线的问题。 3.结合交点求解直线与线段相交问题，利用临界交点确定参数、斜率取值范围，数形结合分析难度较大。 知识点 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组______，此时两直线平行；若有______________，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 特别提醒 两直线交点本质是联立方程组的公共解，唯一解代表相交，无解互相平行，无数组解则直线完全重合。运用过交点的直线系方程解题，可省去求交点步骤，提升做题速度。直线系无法表示其中一条原式直线，需要单独验算补全。处理含参直线时，先预判平行情况，避免盲目联立造成无效计算，学会用代数结果对应几何图像。 易错提醒 极易把方程组无数解当成相交，混淆重合与相交的判定标准；计算联立方程组时常出现移项、消元符号错误。利用直线系做题容易漏掉原式这条直线，造成答案缺失。判断直线和线段相交时，只用直线交点判断，忽略交点落在线段外侧的情况。仅凭有无解判断位置关系，不验算系数比例，容易错判平行与重合。 随学随练 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 知识点 过两直线交点的直线系方程（重点） 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为________________________，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 特别提醒 直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0恒过两直线交点，但无法表示第二条直线，解题做完务必单独检验、酌情补上该直线，防止漏解。λ 取任意实数都不会得到第二条直线，这是高频失分点。联立计算参数时注意区分 λ=0 的情况，此时对应第一条已知直线。遇到垂直、平行题型搭配直线系设方程很简便，同时留意两条直线平行时，该直线系无实际交点，方程不成立，不能套用此公式。 随学随练 1．（24-25高二上·河北石家庄·期中）（多选）下列说法在确的是（   ） A．若方程表示直线，则 B．分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D．直线与相交于点，则过点，的直线方程为 2．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是__________. 3．（24-25高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，，是的三个顶点. (1)求证：为锐角三角形； (2)求证：的三条中线交于一点. 拓展 求过两条直线交点的直线方程的方法 1. 直接法：求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出待求直线的方程. 2. 待定系数法：设经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0 (A2，B2不全为0)的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为任意实数)，然后根据条件求λ. 　　注意该设法中直线的方程可表示除l2外所有过两直线交点的直线. 活学活用 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 2．（23-24高二上·河南三门峡·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 3．（24-25高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 题型 求直线的交点 解题贴士 优先联立两条直线的一般式方程组，用加减消元法算出 x、y，即为交点坐标。通过方程组解的数量判断位置：唯一解相交，无解互相平行，无数解直线重合。遇到求过交点的直线，直接使用交点直线系方程设参，省去计算交点的步骤，提升解题效率。处理含参直线，先分析系数避免平行情况。若是直线和线段相交，借助端点临界斜率划定范围，切勿只用联立结果判定，最后代入方程核验坐标正误。 ▌例1（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． ▌对点练1-2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 题型 由直线的交点个数求参数 解题贴士 先整理两条直线为一般式，对比 x、y 对应系数比值。比值不等，方程组有唯一解，两直线相交；x、y 系数比值相等、常数项不等，方程组无解，直线平行无交点；三项比例全部相同，两直线重合，存在无数个交点。据此列出不等式或者等式求解参数，重点区分平行与重合两种易混淆情形。切忌仅凭斜率判断，兼顾斜率不存在的竖直直线，求出参数后代入原式检验，避免出现错解与漏解。 ▌例1（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. ▌例2（23-24高二下·上海·阶段检测）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. ▌对点练1-1（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（23-24高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（23-24高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 题型 三线围成三角形问题 解题贴士 首先明确构成三角形的前提：三条直线不能交于同一点，任意两条直线都不能互相平行。先分别联立求出各组直线交点，验证三交点互不重合；再排查任意两直线是否平行，剔除平行对应的参数。联立三线方程，若三组直线出现共点情况，直接舍去该参数。解题先排除平行、三线共点这两类禁忌情况，剩余取值即为有效范围，计算交点坐标仔细核对，防止坐标算错导致范围判定失误。 ▌例1（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. ▌例2（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 ▌对点练1-1（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 题型 直线的交点系方程 解题贴士 书写交点直线系方程，直接套用l1+λl2=0快速设式，不必先算出交点，节约计算时间。牢记该方程永远无法表示直线l2，算出参数后一定要单独验证题意是否需要补上这条直线，避免漏解。利用平行、垂直条件建立等式求解 λ 即可。注意两条直线互相平行时不存在公共交点，不能使用交点系方程。解题优先选用一般式构造直线系，减少斜率不存在带来的讨论，最后代入定点检验结果。 ▌例1（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. ▌例2（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． ▌对点练1-1（24-25高三上·江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. ▌对点练1-3（22-23高二上·湖北荆门·期中）（多选）已知直线，，，以下结论正确的是（ ）． A．不论a为何值时，与都互相垂直 B．直线过定点，过定点 C．如果与交于点，则点M的轨迹方程为 D．如果与交于点，则的最大值是 基础通关 1．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 3．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 4．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 5．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东淄博·期中）在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 7．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 10．（25-26高二上·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值. (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 素养提升 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，；点为线段上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数．设直线、分别与边、交于点E、F．某同学已正确求得直线的方程：．请你完成直线的方程：． 2．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 4．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 5．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 迁移创新 1．（专题10直线和圆（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知点，若直线，且直线与内（包括边界）点的最短距离等于直线与内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为_____. 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 3．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）下列四个命题中正确的有（   ） A．过点，且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 B．若直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 C．若三条直线，，不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 5．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线与方程 1.4 两条直线的交点 课标要点 1.理解两条直线交点坐标是对应二元一次方程组的解，掌握联立方程组求解交点坐标的基本方法，建立方程组与点位的数形对应关系。 2.通过方程组解的三种情况，判断两直线相交、平行、重合三种位置关系，学会用代数结果解释几何特征。 3.能利用交点结合直线系方程解题，体会解析几何数形结合思想，提升利用代数运算解决平面几何问题的能力。 学习重难点 重点： 1.联立一般式方程组，规范计算求出两直线交点坐标。 2.根据方程组无解、唯一解、无数组解，判定直线相交、平行、重合。 3.借助过两直线交点的直线系方程，快速设参求解直线解析式。 难点： 1.含参数直线联立方程组，讨论参数不同取值对应的三种位置关系，容易分类不全。 2.灵活选用直线系方程解题，区分直线系存在的局限，避开遗漏特殊直线的问题。 3.结合交点求解直线与线段相交问题，利用临界交点确定参数、斜率取值范围，数形结合分析难度较大。 知识点 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 特别提醒 两直线交点本质是联立方程组的公共解，唯一解代表相交，无解互相平行，无数组解则直线完全重合。运用过交点的直线系方程解题，可省去求交点步骤，提升做题速度。直线系无法表示其中一条原式直线，需要单独验算补全。处理含参直线时，先预判平行情况，避免盲目联立造成无效计算，学会用代数结果对应几何图像。 易错提醒 极易把方程组无数解当成相交，混淆重合与相交的判定标准；计算联立方程组时常出现移项、消元符号错误。利用直线系做题容易漏掉原式这条直线，造成答案缺失。判断直线和线段相交时，只用直线交点判断，忽略交点落在线段外侧的情况。仅凭有无解判断位置关系，不验算系数比例，容易错判平行与重合。 随学随练 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 知识点 过两直线交点的直线系方程（重点） 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 特别提醒 直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0恒过两直线交点，但无法表示第二条直线，解题做完务必单独检验、酌情补上该直线，防止漏解。λ 取任意实数都不会得到第二条直线，这是高频失分点。联立计算参数时注意区分 λ=0 的情况，此时对应第一条已知直线。遇到垂直、平行题型搭配直线系设方程很简便，同时留意两条直线平行时，该直线系无实际交点，方程不成立，不能套用此公式。 随学随练 1．（24-25高二上·河北石家庄·期中）（多选）下列说法在确的是（   ） A．若方程表示直线，则 B．分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D．直线与相交于点，则过点，的直线方程为 【答案】BD 【分析】A选项，当不同时为0时，方程表示直线；B选项，两平行线距离即为的最小值，利用两平行线距离公式求出答案；C选项，分截距为0和截距不为0两种情况，利用待定系数法进行求解；D选项，代入，得到，两点确定一条直线，得到答案. 【详解】A选项，当不同时为0时，方程表示直线， 例如，此时表示的是一条直线，故A错误； B选项，直线与平行，故两平行线距离即为的最小值， 即，故两平行线距离为，B正确； C选项，当截距为0时，设直线方程为，将代入得，故直线方程为， 当截距不为0时，设直线方程为，将代入得， 则直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为或，C错误； D选项，直线与相交于点， 故， 两点确定一条直线，则过点，的直线方程为，D正确. 故选：BD 2．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先求直线所过的定点，再求边界的斜率，再利用数形结合，写出范围. 【详解】，得，所以直线过点， ，， 若直线与线段有公共点，所以直线斜率的取值范围是. 故答案为： 3．（24-25高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，，是的三个顶点. (1)求证：为锐角三角形； (2)求证：的三条中线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别证明三角形三个内角的余弦值为正数，即可证明为锐角三角形； （2）通过联立两边中线，得到交点，验证其是否在第三边的中线上，即可完成证明. 【详解】（1）证明：因为， 所以，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； 所以，为锐角三角形； （2）证明：设点分别为的中点，易得坐标为. 所以得中线所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，中线所在的直线方程为， 联立，解得交点， 检验可知交点满足中线所在的直线方程， 故的三条中线交于一点. 拓展 求过两条直线交点的直线方程的方法 1. 直接法：求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出待求直线的方程. 2. 待定系数法：设经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0 (A2，B2不全为0)的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为任意实数)，然后根据条件求λ. 　　注意该设法中直线的方程可表示除l2外所有过两直线交点的直线. 活学活用 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 2．（23-24高二上·河南三门峡·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 3．（24-25高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 题型 求直线的交点 解题贴士 优先联立两条直线的一般式方程组，用加减消元法算出 x、y，即为交点坐标。通过方程组解的数量判断位置：唯一解相交，无解互相平行，无数解直线重合。遇到求过交点的直线，直接使用交点直线系方程设参，省去计算交点的步骤，提升解题效率。处理含参直线，先分析系数避免平行情况。若是直线和线段相交，借助端点临界斜率划定范围，切勿只用联立结果判定，最后代入方程核验坐标正误。 ▌例1（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. ▌例2（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． ▌对点练1-1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. （2）直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. ▌对点练1-2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. ▌对点练1-3．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据直线垂直和经过的点坐标求出直线的方程. （2）联立两直线方程即可求得交点坐标. （3）根据点到直线的距离公式和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由题可设直线的方程为， 把点代入可得，解得. 直线的方程为. （2）设，则，，联立解得，.. 设，则，，联立解得，. . （3）是的中点，，到的距离， 又点到的距离，.    题型 由直线的交点个数求参数 解题贴士 先整理两条直线为一般式，对比 x、y 对应系数比值。比值不等，方程组有唯一解，两直线相交；x、y 系数比值相等、常数项不等，方程组无解，直线平行无交点；三项比例全部相同，两直线重合，存在无数个交点。据此列出不等式或者等式求解参数，重点区分平行与重合两种易混淆情形。切忌仅凭斜率判断，兼顾斜率不存在的竖直直线，求出参数后代入原式检验，避免出现错解与漏解。 ▌例1（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. ▌例2（23-24高二下·上海·阶段检测）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． ▌对点练1-1（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值. 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. ▌对点练1-2（23-24高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B ▌对点练1-3（23-24高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 题型 三线围成三角形问题 解题贴士 首先明确构成三角形的前提：三条直线不能交于同一点，任意两条直线都不能互相平行。先分别联立求出各组直线交点，验证三交点互不重合；再排查任意两直线是否平行，剔除平行对应的参数。联立三线方程，若三组直线出现共点情况，直接舍去该参数。解题先排除平行、三线共点这两类禁忌情况，剩余取值即为有效范围，计算交点坐标仔细核对，防止坐标算错导致范围判定失误。 ▌例1（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. ▌例2（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. ▌对点练1-1（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD ▌对点练1-2（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【详解】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成三角形的的值． 【详解】①当三条直线交于一点时不能围成三角形，由，得到交点坐标为，由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时，不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时，不能围成三角形，则且，解得. 故选：AD. 题型 直线的交点系方程 解题贴士 书写交点直线系方程，直接套用l1+λl2=0快速设式，不必先算出交点，节约计算时间。牢记该方程永远无法表示直线l2，算出参数后一定要单独验证题意是否需要补上这条直线，避免漏解。利用平行、垂直条件建立等式求解 λ 即可。注意两条直线互相平行时不存在公共交点，不能使用交点系方程。解题优先选用一般式构造直线系，减少斜率不存在带来的讨论，最后代入定点检验结果。 ▌例1（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）法1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法2：设直线系方程，再利用垂直关系求出； （2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可. 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. ▌例2（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． ▌对点练1-1（24-25高三上·江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A ▌对点练1-2（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. ▌对点练1-3（22-23高二上·湖北荆门·期中）（多选）已知直线，，，以下结论正确的是（ ）． A．不论a为何值时，与都互相垂直 B．直线过定点，过定点 C．如果与交于点，则点M的轨迹方程为 D．如果与交于点，则的最大值是 【答案】ABD 【分析】A.根据两直线垂直的公式，即可判断； B.根据含参直线过定点问题，即可判断； C.取特殊点，即可判断； D.首先求交点的坐标，代入两点间距离公式，即可判断. 【详解】对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 对于B,无论为何值，直线过定点，过定点，故B正确； 对于C，（0，0）能使方程成立，但不能使直线方程成立，故C不正确； 对于D，联立，解得，即， 所以，所以的最大值是，故D正确． 故选：ABD． 基础通关 1．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程. 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 3．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出交点坐标，再根据两直线平行关系设直线方程，代点即可计算即可. （2）分两种情况：横纵截距均为0时以及横纵截距均不为零时，分别求出直线的方程即可. （3）根据两直线垂直关系求出直线的方程，进而求出三角形的周长即可. 【详解】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 设与直线平行的直线的方程为且， 将点代入可得，解得， 所以直线的方程为； （2）由（1）直线过点， ①横纵截距均为0时，设直线方程为， 即，解得，即； ②横纵截距均不为零时，设横截距为，则纵截距为，则直线方程为， 将代入得，则， 则直线方程为，即； 综上，直线的方程为或. （3）由（1）直线过点， 由直线和题意可设直线的方程为， 将点代入可得，可得，即直线的方程为， 令，可得；令，可得， 即直线在，轴上的交点分别为，， 所以，又，， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为.    4．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线交点计算得到的坐标，结合点斜式方程求解即可； （2）先根据垂直关系计算斜率，结合点斜式方程求解即可； 【详解】（1）设点坐标为，点坐标为， 因为是中点，，所以， 在中线上，代入得：， 化简得，又在直线上，满足， 联立解得，即， 点在直线上，联立和， 解得，即 直线的斜率为，直线的方程为， 整理得 （2）由边上的高线可知，故， 点，直线的方程为，整理得. 5．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 6．（25-26高二上·山东淄博·期中）在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点斜式直线方程直接求解即可； （2）设，根据垂直于BC得到斜率为 7，而且中点在直线上，再列方程求解即可； （3）联立直线AB的方程与直线BC的方程求得点B的坐标，由可知D为AB的中点，求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，利用点斜式直线方程即可求解. 【详解】（1）由已知得直线AB的方程为：，即 . （2）设， 因为直线的方程为，斜率为 ， 故斜率为 7，即， 因为中点在直线上， 所以，解得 所以. （3）解方程组，解得，所以， 又因为，所以中点， 又因为高线CD的斜率为， 所以CD所在直线的方程为，即. 7．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 8．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两条直线的公共定点，求出它们与坐标轴的交点，建立面积的二次函数表达式，再利用二次函数性质求最小值对应的值. 【详解】直线可化为，由 可得，即直线恒过定点， 直线可化为，由， 解得，即直线恒过定点， 由可得，即直线与轴交点为， 由可得，即直线与轴交点为， 则四边形由点围成， 其面积， 当时，取得最小值. 故选：D. 9．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【分析】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程. 【详解】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 10．（25-26高二上·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值. (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线，的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【详解】（1）∵， ， 解得 ; （2）当时，直线的方程为：， ∴，解得， ∴两条直线的交点， 又因为所求直线垂直于，设所求直线的方程为， 将代入可得，解得， ∴直线方程. 素养提升 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，；点为线段上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数．设直线、分别与边、交于点E、F．某同学已正确求得直线的方程：．请你完成直线的方程：． 【答案】 【分析】根据直线的方程结构，确定其方程求法，类比得到直线的方程. 【详解】点E为直线与直线的交点． 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 并与直线的方程：一致. 同理，点F为直线与直线的交点， 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 所以直线的方程为. 2．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 或或或 【分析】（1）利用两直线垂直的一般式系数关系直接求解； （2）不能围成三角形分三线共点、至少两条直线平行两类情况分类讨论求解 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1) (2)直线的方程为； 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 4．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】(1)利用两直线的夹角公式，即可列方程求解斜率，然后求直线方程； (2)利用设直线方程求与坐标轴的横纵截距，结合面积可得斜率方程求解即可. 【详解】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. 5．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合与直线垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得的值，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 迁移创新 1．（专题10直线和圆（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知点，若直线，且直线与内（包括边界）点的最短距离等于直线与内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为_____. 【答案】 【分析】根据坐标求出直线DF的方程，分析可得直线l与直线DF平行，在DF上取点G，使得，则M为BG的中点，根据两直线垂直斜率的关系，求出直线BG方程，与直线DF联立，可得G点坐标，进而可得M点坐标，即可求得答案. 【详解】由题意，则直线， 如图，点B到直线l的距离最短，在DF上取点G，使得，且直线于点M， 则，即M为BG的中点， 所以，又，则直线， 联立，解得， 由中点坐标公式得，且直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求交点，再求直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）设，又为的中点，得，又在直线上，解出，进而得点坐标，求出，直线的斜率，由解出，进而求解. 【详解】（1）由题意有：，所以， 所以，所以 ，即， 所以直线的方程为： （2）由题意，可设，又为的中点，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 所以， 所以， 又的方程为，所以的斜率为， 因为恰好是的角平分线所在的直线， 所以，即，解得， 所以，即， 所以直线的方程为：. 3．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知求出的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设，根据三角形的重心在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出的坐标，从而选出选项. 【详解】因为点､，的垂直平分线方程为， 又因为外心在欧拉线上， 联立，解得三角形的外心为， 又因为， 所以的外接圆方程为. 设，则三角形的重心在欧拉线上， 即，整理得：， 又因为在外接圆上，得， 联立，解得：或， 所以顶点的坐标可以是或， 故选：AD. 4．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）下列四个命题中正确的有（   ） A．过点，且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 B．若直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 C．若三条直线，，不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】BD 【分析】A选项，举出反例；B选项，求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求出实数的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，，C错误；D选项，当直线的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而得到方程，求出. 【详解】A选项，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为，也符合题意，故 A错误， B选项，直线，恒过定点， 直线，的斜率分别为，，又直线的斜率为， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，B正确； 对于C，当直线与平行时，解得， 当直线与平行时，解得， 显然直线与交于点，当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，得到， 故，解得，则该直线的斜率为，故D正确． 故选：BD． 5．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【分析】计算，进而可得，由两直线相交即可求解. 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $