1.2 直线的方程 1.2.1 直线的点斜式方程 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本高中数学讲义聚焦直线的点斜式与斜截式方程核心知识点，先通过斜率公式导出点斜式方程，再由点斜式推得斜截式方程，明确两者适用范围为斜率存在，同时补充与x轴垂直或平行时的特殊方程，搭建完整知识支架。 该资料设计亮点突出，诊断分析通过判断正误题培养学生推理意识，探究点结合例题与变式让学生用数学语言表达直线方程，素养小结梳理方法。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

1.2　直线的方程 1.2.1　直线的点斜式方程 【学习目标】 　　1.能根据斜率公式导出直线的点斜式方程. 　　2.能利用直线的点斜式方程导出直线的斜截式方程. 　　3.能描述点斜式方程的适用范围. ◆ 知识点一　直线的点斜式方程 定义:方程　　　　　　叫作直线的点斜式方程,简称点斜式.   提示:(1)点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)当直线与x轴垂直时,直线方程为x=x1;当直线与x轴平行或重合时,直线方程可写为y=y1;特别地,x轴的方程是y=0. ◆ 知识点二　直线的斜截式方程 定义:已知直线l的斜率为k,与y轴的交点是P(0,b),则直线l的方程为y-b=k(x-0),即y=kx+b,称b为直线l在y轴上的　　　　.方程由直线l的斜率和它在y轴上的 　　　　确定,这个方程也叫作直线的斜截式方程,简称斜截式.  提示:(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)截距不是距离,在y轴(x轴)上的截距是直线与y轴(x轴)交点的纵(横)坐标,所以截距可以取一切实数. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). (　 ) (2)若直线l过点P(x1,y1),且倾斜角为90°,则其方程是y=y1. (　 ) (3)x轴所在直线的方程为y=0,该方程可化为点斜式方程. (　 ) (4)所有的直线都有点斜式和斜截式方程. (　 ) 2.方程k=与方程y-2=k(x+1)表示的是同一条直线吗? ◆ 探究点一　直线的点斜式方程 例1 根据下列条件,分别写出直线的点斜式方程: (1)经过点P(2,3),且斜率k=1; (2)经过点(2,5),且倾斜角为45°; (3)经过点C(-1,-1),且与x轴平行; (4)经过A(3,8),B(1,4)两点. 变式 根据下列条件,分别写出直线的点斜式方程: (1)经过点P(2,3),且倾斜角为135°; (2)经过点P(-2,3),且与x轴平行; (3)经过点P(-2,3),且与x轴垂直. [素养小结] 利用点斜式求直线方程的方法: (1)用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率k和该直线上的一个点P(x0,y0),然后将k,x0,y0代入y-y0=k(x-x0)即可.注意在斜率存在的条件下,才能求直线的点斜式方程;若斜率不存在,则直线方程为x=x0; (2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程. ◆ 探究点二　直线的斜截式方程 例2 根据下列条件,分别写出直线的斜截式方程: (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,与x轴的交点的横坐标是2; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 变式 根据下列条件,分别写出直线的斜截式方程: (1)直线的倾斜角为45°,且在y轴上的截距是2; (2)直线过点A(3,1),且在y轴上的截距是-1; (3)倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且过点(0,-5). [素养小结] 直线的斜截式方程的求解策略: (1)求直线的斜截式方程,首先要求出直线的斜率k与它在y轴上的截距b,然后将k,b代入y=kx+b即可. (2)当斜率k或在y轴上的截距b未知时,可利用待定系数法求解. ◆ 探究点三　点斜式、斜截式方程的简单应用 角度1　直线方程与其图象的判断 例3 [2025·江苏金陵中学高二月考] 直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的位置关系为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A B C D 变式 方程y=kx+b(k+b=0,k≠0)表示的直线可能是 (　 ) A B C D 角度2　与坐标轴围成的三角形 例4 已知直线l的斜率为-,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6,则直线l的方程为　　　　　　.  变式 写出一个同时具有下列性质的直线l的斜截式方程:　　　　　　.  ①直线l经过点(1,1);②直线l与x,y轴所围成的三角形的面积为. [素养小结] (1)直线方程与其图象的判断一般看两个方面:一看斜率的正负,二看截距的正负. (2)在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示在x轴、y轴上的截距,从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时,要注意截距并不一定是正数,当截距的符号不确定时,要进行分类讨论. 拓展 已知直线l过点M(-3,4),且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于点A,B,O为原点,则△AOB面积的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　直线的方程 1.2.1　直线的点斜式方程 【课前预习】 知识点一 y-y1=k(x-x1) 知识点二 截距　截距 诊断分析 1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.解: 不是.因为方程k=表示的直线不含点(-1,2),方程y-2=k(x+1)表示的直线含点(-1,2),故它们不是同一条直线. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)因为直线的斜率k=1,且经过点P(2,3), 所以直线的点斜式方程为y-3=x-2. (2)因为直线的倾斜角为45°,所以斜率为tan 45°=1, 所以直线的点斜式方程为y-5=x-2. (3)由题意知,直线的斜率为tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y=-1. (4)因为直线经过A(3,8),B(1,4)两点,所以直线的斜率为=2, 所以直线的点斜式方程为y-8=2(x-3)(或y-4=2(x-1)). 变式　解:(1)因为直线的倾斜角为135°, 所以斜率为tan 135°=-1,所以直线的点斜式方程为y-3=-(x-2). (2)由题意知,直线的斜率为tan 0°=0, 所以直线的点斜式方程为y-3=0,即y=3. (3)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=-2,该直线没有点斜式方程. 探究点二 例2　解:(1)所求直线的斜截式方程为y=2x+5. (2)∵直线的倾斜角为150°,∴该直线的斜率为-, 设直线的斜截式方程为y=-x+b, 由题知点(2,0)在该直线上, ∴0=-+b,解得b=,故直线的斜截式方程为y=-x+. (3)∵直线的倾斜角为60°, ∴斜率为tan 60°=. ∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3, ∴直线在y轴上的截距为3或-3, ∴所求直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3. 变式　解:(1)直线的斜率为tan 45°=1,可得直线的斜截式方程为y=x+2. (2)由题可知直线过点A(3,1)和(0,-1),∴直线的斜率为=,可得直线的斜截式方程为y=x-1. (3)易知直线y=-x+1的倾斜角为120°,∵所求直线的倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的, ∴所求直线的倾斜角为30°,∴所求直线的斜率为, 又直线过点(0,-5),∴直线在y轴上的截距是-5,∴所求直线的斜截式方程为y=x-5. 探究点三 例3　D　[解析] 对于A,由l1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于B,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于C,由l1得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0,矛盾;对于D,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0,符合题意.故选D. 变式　B　[解析] 因为k+b=0,所以k=-b,代入直线方程,可得y=-bx+b,即y=-b(x-1),所以直线恒过点(1,0).故选B. 例4　y=-x±4　[解析] 设直线l的方程为y=-x+b,所以直线l与y轴、x轴的交点坐标分别为(0,b),.由题意可得×|b|×=6,解得b=±4,所以直线l的方程为y=-x±4. 变式　y=2x-1 [解析] 由题意知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x-1),令x=0,解得y=1-k,令y=0,解得x=1-.所以直线l与x,y轴所围成的三角形的面积为=,则k+=或k+=,可得k=2或k=,故直线l的方程为y=2x-1或y=x+. 拓展　24　[解析] 由题可知,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-4=k(x+3),因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于点A,B,所以k>0.令x=0,则y=3k+4,即B(0,3k+4),令y=0,则x=-3-,即A,所以S△AOB=OA·OB=(3k+4)=,其中9k+≥2=24,当且仅当9k=,即k=时,等号成立,所以S△AOB≥(24+24)=24,即△AOB面积最小值为24. 学科网（北京）股份有限公司 $