1.2.3 直线的一般式方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦直线的一般式方程，通过回顾已学的四种直线方程形式及其适用条件，提出“是否存在通用方程形式”的问题，搭建旧知与新知的衔接支架，引导学生探索直线的一般式方程。 资料以数学抽象为核心，通过“想一想”环节引导学生思考直线与二元一次方程的对应关系，结合典例研析分题型训练方程转化与应用，培养数学运算能力，还设计自我诊断与跟踪训练，帮助学生巩固知识，适合自主学习与教师教学评估。

1.2.3　直线的一般式方程 课标 要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程（数学抽象）． 2.会进行直线方程的五种形式间的转化（数学运算）． 前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 【问题】　是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？ 知识点　直线的一般式方程 1.定义：任何一个关于x，y的二元一次方程 　　　　　　（A，B不全为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式． 2.一般式与其他形式的互化 提醒：当直线方程Ax＋By＋C=0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C=0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B=0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A=0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A=0，B≠0，C=0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B=0，C=0时，直线与y轴重合． 【想一想】 1.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 2.每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C=0（A，B不全为零）都能表示一条直线吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C=0（A≠0）．（　　） （2）直线l：Ax＋By＋C=0的斜率为－．（　　） （3）当C=0时，方程Ax＋By＋C=0（A，B不全为零）表示过原点的直线．（　　） 2.直线x＋y＋2 026=0的倾斜角为（　　） A.30° 　B.60° C.120°　 　D.150° 3.已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为－2，3，则直线l的一般式方程为　　　　． 题型一　直线的一般式方程 （1）在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为（　　） A．x－y＋6=0　 　B．x＋y－6=0 C．x－y－6=0　 　D．x＋y＋6=0 （2）已知直线l过（2，1）和（3，－1）两点，则直线l的一般式方程为　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求直线一般式方程的策略 　　在求直线的一般式方程时，可直接设出直线的一般式方程Ax＋By＋C=0（A，B不同时为0），然后用待定系数法求解．但常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式方程． 　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率为4，在y轴上的截距为－2； （2）在y轴上的截距为3，且平行于x轴； （3）经过C（－1，5），D（2，－1）两点． 题型二　直线一般式方程的几何意义 （链接教科书第17页例5）求下列直线的斜率以及在两坐标轴上的截距，并画出图形． （1）3x＋4y＋12=0； （2）4x－6y＋3=0. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　由直线的一般式方程Ax＋By＋C=0（A、B不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距．由两截距的位置可知直线的位置． 1.在直角坐标系中，直线x＋y－3=0的倾斜角是（　　） A．30°　 　B．60° C．150°　 　D．120° 2.已知直线3x＋4y=b与两坐标轴围成的三角形的面积为，则b=　　　　． 题型三　直线一般式方程的应用 （链接教科书第18页例6）设直线l的方程为（m2－2m－3）x－（2m2＋m－1）y＋6－2m=0（m∈R）． （1）已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； （2）已知直线l的斜率为1，求m的值． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 （变设问）对于本例中的直线l，若直线l与y轴平行，求m的值． 规律方法 由含参一般式方程求参数的值（范围）的策略 （1）要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件；（2）已知直线过（不过）某个象限，求参数值（范围）时，常用直线的斜截式方程进行求解，但要注意斜率为0或不存在的情况． 直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a=0（a∈R）． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 1.若方程Ax＋By＋C=0表示直线，则A，B应满足的条件为（　　） A．A≠0　 　B．B≠0 C．A•B≠0　 　D．A2＋B2≠0 2.斜率为－，且经过点（1，－1）的直线的一般式方程为（　　） A．3x＋4y－1=0　 　B．3x＋4y＋1=0 C．3x－4y－7=0　 　D．3x－4y－1=0 3.经过点（1，3），（－2，4）的直线的一般式方程为　　　　　　　． 4.已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6=0，求直线l的斜率以及在x轴和y轴上的截距，并作图． 完成课后作业　第一章　1.2　1.2.3 答案 1.2.3　直线的一般式方程 【基础落实】 新知初探 知识点 1.Ax＋By＋C＝0 想一想 1.提示：都可以. 2.提示：都能表示一条直线. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√ 2.D　3.3x－2y＋6＝0 【典例研析】 【例1】　（1）C　（2）2x＋y－5＝0 解析：（1）由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0. （2）设直线l的一般式方程为Ax＋By＋C＝0，由题意知，点（2，1）与（3，－1）在直线l上，则解得 由A，B不能全为0，则C≠0，所以直线l的方程为－Cx－Cy＋C＝0，即2x＋y－5＝0. 跟踪训练 解：（1）y＝4x－2，即4x－y－2＝0. （2）y＝3，即y－3＝0. （3）由两点式方程得＝，即2x＋y－3＝0. 【例2】　解：（1）将直线的方程化为斜截式为y＝－x－3，因此该直线的斜率为－，在y轴上的截距是－3.令y＝0，得x＝－4，即直线在x轴上的截距是－4.图形如图①所示. （2）将直线的方程化为斜截式为y＝x＋，因此该直线的斜率为，在y轴上的截距是.令y＝0，得x＝－，即直线在x轴上的截距是－.图形如图②所示. 跟踪训练 1.C　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C. 2.6或－6　解析：直线3x＋4y＝b，交x轴于（，0），交y轴于（0，）.故与坐标轴围成的三角形的面积为S＝×｜｜×｜｜＝⇒b2＝36⇒b＝±6. 【例3】　解：（1）由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1， 令y＝0，则x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3（舍去）. ∴m＝－. （2）由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程得y＝x＋， 则＝1，得m＝－2或m＝－1（舍去）. ∴m＝－2. 母题探究 解：∵直线l与y轴平行， ∴∴m＝. 跟踪训练 解：（1）①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝. ∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0.综上，a的值为2或0. （2）直线l的方程可化为y＝－（a＋1）x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.∴a的取值范围为（－∞，－1]. 随堂检测 1.D　2.B　3.x＋3y－10＝0 4.解：直线l的一般式方程可以化为y＝x＋2，所以直线l的斜率为，在y轴上的截距为2. 方程中令y＝0可得x＝－3， 因此l在x轴上的截距为－3.图形如图所示. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $