1.2.3 直线的一般式方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“直线的一般式方程”核心知识点，承接之前学习的点斜式、斜截式等四种特殊形式，通过分析其适用条件限制，以“是否存在普适方程形式”为问题导向，构建从特殊到一般的知识支架，系统讲解一般式方程的定义、互化及系数几何意义。 资料以问题驱动培养数学抽象，通过方程互化与性质分析提升数学运算能力，设置“想一想”“母题探究”等环节引导数学思维。题型分类清晰，例题与变式结合，辅以图示直观呈现，课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.2.3　直线的一般式方程 课标 要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程（数学抽象）. 2.会进行直线方程的五种形式间的转化（数学运算）. 　　前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用. 【问题】　是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线的一般式方程 1.定义：任何一个关于x，y的二元一次方程 　Ax＋By＋C＝0　（A，B不全为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式. 2.一般式与其他形式的互化 提醒：当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合. 【想一想】 1.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以. 2.每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为零）都能表示一条直线吗？ 提示：都能表示一条直线. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0（A≠0）.（　√　） （2）直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.（　×　） （3）当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为零）表示过原点的直线.（　√　） 2.直线x＋y＋2 026＝0的倾斜角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：D　设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan α＝－＝tan 150°，则α＝150°.故选D. 3.已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为－2，3，则直线l的一般式方程为　3x－2y＋6＝0　. 解析：由题意，直线l的截距式方程为＋＝1，化为一般式方程为3x－2y＋6＝0. 题型一　直线的一般式方程 （1）在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为（　C　） A.x－y＋6＝0 B.x＋y－6＝0 C.x－y－6＝0 D.x＋y＋6＝0 （2）已知直线l过（2，1）和（3，－1）两点，则直线l的一般式方程为　2x＋y－5＝0　. 解析：（1）由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0. （2）设直线l的一般式方程为Ax＋By＋C＝0，由题意知，点（2，1）与（3，－1）在直线l上，则解得由A，B不能全为0，则C≠0，所以直线l的方程为－Cx－Cy＋C＝0，即2x＋y－5＝0. 规律方法 求直线一般式方程的策略 　　在求直线的一般式方程时，可直接设出直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0），然后用待定系数法求解.但常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式方程. 　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率为4，在y轴上的截距为－2； 解： y＝4x－2，即4x－y－2＝0. （2）在y轴上的截距为3，且平行于x轴； 解：y＝3，即y－3＝0. （3）经过C（－1，5），D（2，－1）两点. 解：由两点式方程得＝，即2x＋y－3＝0. 题型二　直线一般式方程的几何意义 （链接教科书第17页例5）求下列直线的斜率以及在两坐标轴上的截距，并画出图形. （1）3x＋4y＋12＝0； 解：将直线的方程化为斜截式为y＝－x－3，因此该直线的斜率为－，在y轴上的截距是－3.令y＝0，得x＝－4，即直线在x轴上的截距是－4.图形如图①所示. （2）4x－6y＋3＝0. 解：将直线的方程化为斜截式为y＝x＋，因此该直线的斜率为，在y轴上的截距是.令y＝0，得x＝－，即直线在x轴上的截距是－.图形如图②所示. 规律方法 　　由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令x＝0，得直线在y轴上的截距；令y＝0，得直线在x轴上的截距.由两截距的位置可知直线的位置. 1.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是（　　） A.30° B.60° C.150° D.120° 解析：C　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C. 2.已知直线3x＋4y＝b与两坐标轴围成的三角形的面积为，则b＝　6或－6　. 解析：直线3x＋4y＝b，交x轴于（，0），交y轴于（0，）.故与坐标轴围成的三角形的面积为S＝×｜｜×｜｜＝⇒b2＝36⇒b＝±6. 题型三　直线一般式方程的应用 （链接教科书第18页例6）设直线l的方程为（m2－2m－3）x－（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0（m∈R）. （1）已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； 解：由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1， 令y＝0，则x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3（舍去）. ∴m＝－. （2）已知直线l的斜率为1，求m的值. 解：由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程得y＝x＋， 则＝1，得m＝－2或m＝－1（舍去）. ∴m＝－2. 【母题探究】 （变设问）对于本例中的直线l，若直线l与y轴平行，求m的值. 解：∵直线l与y轴平行，∴∴m＝. 规律方法 由含参一般式方程求参数的值（范围）的策略 （1）要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件；（2）已知直线过（不过）某个象限，求参数值（范围）时，常用直线的斜截式方程进行求解，但要注意斜率为0或不存在的情况. 直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）. （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； 解：①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝. ∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0.综上，a的值为2或0. （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解：直线l的方程可化为y＝－（a＋1）x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.∴a的取值范围为（－∞，－1]. 1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为（　　） A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0 解析：D　方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 2.斜率为－，且经过点（1，－1）的直线的一般式方程为（　　） A.3x＋4y－1＝0 B.3x＋4y＋1＝0 C.3x－4y－7＝0 D.3x－4y－1＝0 解析：B　由点斜式方程可得y＋1＝－（x－1），化为一般式可得3x＋4y＋1＝0，故选B. 3.经过点（1，3），（－2，4）的直线的一般式方程为　x＋3y－10＝0　. 解析：因为直线过（1，3），（－2，4）两点，则直线的斜率k＝＝－，所以直线的点斜式方程为y－3＝－（x－1），即x＋3y－10＝0. 4.已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，求直线l的斜率以及在x轴和y轴上的截距，并作图. 解：直线l的一般式方程可以化为y＝x＋2，所以直线l的斜率为，在y轴上的截距为2. 方程中令y＝0可得x＝－3， 因此l在x轴上的截距为－3.图形如图所示. 　　 1.过点M（－4，3）和N（－2，1）的直线的一般式方程是（　　） A.x－y＋3＝0 B.x＋y＋1＝0 C.x－y－1＝0 D.x＋y－3＝0 解析：B　由两点式得，＝，整理得x＋y＋1＝0.故选B. 2.经过点P（1，－2），倾斜角为45°的直线的一般式方程为（　　） A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0 C.x－y＋3＝0 D.x－y－3＝0 解析：D　倾斜角为45°的直线斜率为1，直线经过点P（1，－2），所以直线方程为y－（－2）＝x－1，即x－y－3＝0.故选D. 3.设直线3x－2y－6＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（　　） A.a＝2，b＝－3 B.a＝－2，b＝3 C.a＝3，b＝－2 D.a＝－3，b＝2 解析：A　将直线化为截距式方程得＋＝1，故a＝2，b＝－3. 4.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0倾斜角的2倍，则a，b的值分别为（　　） A.－，－1 B.，－1 C.－，1 D.，1 解析：A　原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.∴ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，∵x－y－＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－. 5.〔多选〕已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则（　　） A.若c＞0，则a＞0，b＞0 B.若c＞0，则a＜0，b＜0 C.若c＜0，则a＞0，b＜0 D.若c＜0，则a＞0，b＞0 解析：BD　由题意知b≠0，将直线化为斜截式方程得y＝－x－，由图可知即若c＞0，则b＜0，a＜0，故B正确；若c＜0，则b＞0，a＞0，故D正确，故选B、D. 6.〔多选〕已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有（　　） A.直线l的倾斜角为 B.直线l的斜率为 C.直线l不经过第三象限 D.直线l在x轴上的截距为 解析：ACD　由直线方程得y＝－x＋2，即斜率为－，则倾斜角为，y轴上截距为2，则直线不经过第三象限，故B错，A、C对；令y＝0，得x＝，故D对.故选A、C、D. 7.若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝　1　. 解析：由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝，∵2＝，∴a＝1. 8.设a＋b＝2，则直线ax＋by＝1恒过定点　（，）　. 解析：ax＋by＝1可变形为ax＋（2－a）y＝1，a（x－y）＋2y－1＝0，上式对于任何a∈R都成立，则解得故直线ax＋by＝1恒过定点（，）. 9.已知直线l的斜率为2，且和坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为　2x－y＋4＝0或2x－y－4＝0　　. 解析：因为直线l的斜率为2，设所求直线l的方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，令x＝0，可得y＝b；令y＝0，可得x＝－，又因为直线l和坐标轴围成的三角形的面积为4，可得×｜b｜×｜－｜＝4，解得b＝±4，所以直线l的方程为2x－y＋4＝0或2x－y－4＝0. 10.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R），若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值，并求此时直线l的方程. 解：如图，由直线l的方程可得A（－，0），B（0，1＋2k），依题意得解得k＞0.∴S＝｜OA｜·｜OB｜＝·｜｜·｜1＋2k｜＝·＝（4k＋＋4）≥×（2×2＋4）＝4. 等号成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝.∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 11.若方程（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m应满足的条件是（　　） A.m≠－ B.m≠1 C.m≠－且m≠1 D.m≠0且m≠1 解析：B　当2m2＋m－3＝0时，m＝1或m＝－；当m2－m＝0时，m＝0或m＝1.要使方程（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y－4m＋1＝0表示一条直线，则2m2＋m－3，m2－m不能同时为0，∴m≠1. 12.〔多选〕已知直线l：Ax＋By＋C＝0，其中A，B不全为0，则下列说法正确的是（　　） A.当C＝0时，l过坐标原点 B.当AB＞0时，l的倾斜角为锐角 C.当B＝0，C≠0时，l和x轴平行 D.若直线l过点P（x0，y0），直线l的方程可化为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0 解析：AD　选项A，当C＝0时，是方程Ax＋By＝0的解，即l过坐标原点，故A正确；选项B，当AB＞0时，直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为y＝－x－，则直线的斜率k＝－＜0，l的倾斜角为钝角，故B错误；选项C，当B＝0，C≠0时，由A，B不全为0，A≠0，直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为x＝－，故直线l和x轴垂直，故C错误；选项D，直线l过点P（x0，y0），则Ax0＋By0＋C＝0，可得C＝－Ax0－By0，代入直线方程l：Ax＋By＋C＝0，得Ax＋By－Ax0－By0＝0，即A（x－x0）＋B（y－y0）＝0，故D正确.故选A、D. 13.直线2ax－（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是　［0，］∪［，π）　. 解析：直线2ax－（a2＋1）y＋1＝0，所以直线的斜率k＝tan θ＝，又a2＋1－2｜a｜≥0，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π），所以θ∈［0，］∪［，π）. 14.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. （1）求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限； （2）求使直线l不经过第二象限的a的取值范围. 解：（1）证明：直线l的方程可化为5y－3＝5ax－a， 即5（y－）＝5a（x－）， 所以y－＝a（x－）. 故直线l恒过定点（，）. 又点（，）在第一象限，故直线l总经过第一象限. （2）直线l的方程可化为y＝ax＋， 因为直线l不经过第二象限，所以 解得a≥3，即a的取值范围为[3，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $