1.2 直线的方程 1.2.2 直线的两点式方程 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦直线的两点式与截距式方程核心知识点，通过斜率公式与点斜式方程导出两点式，结合截距概念进一步推导截距式，构建知识递进脉络。学习支架包含定义阐释、适用条件提示、诊断分析及探究例题，助力学生系统掌握。 资料特色在于以诊断分析培养推理意识，通过判断正误与问题辨析深化理解，探究点例题及变式引导学生用数学语言表达方程，体现数学思维与表达。课中辅助教师分层教学，课后素养小结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1.2.2　直线的两点式方程 【学习目标】 　　1.能根据斜率公式与点斜式方程导出直线的两点式方程. 　　2.能利用直线的两点式方程及截距的概念,导出直线的截距式方程. 　　3.能描述截距式方程的适用范围,并能依据不同条件合理选择直线方程的形式求解. ◆ 知识点一　直线的两点式方程 定义:已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则方程　　　　　　　　(x1≠x2,y1≠y2)叫作直线的两点式方程,简称两点式.  提示:(1)直线的两点式方程应用的前提条件是x1≠x2且y1≠y2,故当直线的斜率不存在或斜率为零时,不可以用两点式方程. (2)直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,但如果将方程变形为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),它是两点式的变形,可以表示任何直线,包括与坐标轴垂直的直线. ◆ 知识点二　直线的截距式方程 定义:若直线l经过点A(a,0),B(0,b),且a≠0,b≠0,其中a称为直线l在x轴上的截距,b称为直线l在y轴上的截距,则方程　　　　　　叫作直线的截距式方程,简称截距式.  提示:(1)直线的截距式方程应用的前提条件是a≠0且b≠0,即两个截距非零,所以截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (2)过原点的直线在x轴,y轴上的截距都为0. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程可以是=,也可以是=. (　 ) (2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示. (　 ) (3)过除原点外的一个定点,且在两坐标轴上的截距相等的直线有且只有1条. (　 ) 2.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示吗? ◆ 探究点一　利用两点式求直线方程 例1 在△ABC中,已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2). (1)求BC边所在直线的方程; (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 提示:若平面上的点E(x1,y1),F(x2,y2),线段EF的中点M(x0,y0),则x0=,y0=. 变式 (1)经过A(3,4),B(-1,-4)两点的直线l的方程为　　　　　　.  (2)在△ABC中,点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为边AB的中点,N为边AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为　　　　　　　.  [素养小结] (1)由两点式求直线方程的步骤: ①设出直线所经过的两个点的坐标; ②根据题中的条件,列出相关方程,解出点的坐标; ③由直线的两点式写出直线方程. (2)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件(两点的连线不平行于坐标轴),若满足,则考虑用两点式求直线方程. ◆ 探究点二　利用截距式求直线方程 例2 (1)求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程; (2)已知直线l'在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点B(6,-2),求直线l'的方程. 变式 求过点(1,1),且在y轴上的截距为在x轴上的截距2倍的直线的方程. [素养小结] 应用直线的截距式方程的注意事项. (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,那么可考虑选用直线的截距式方程,用待定系数法确定其系数即可. (2)选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意直线的截距式方程的逆向应用. ◆ 探究点三　直线截距式方程的运用 例3 直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,O为坐标原点,是否存在这样的直线满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由. 变式 求过点Q(5,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线l的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2　直线的两点式方程 【课前预习】 知识点一 = 知识点二 +=1 诊断分析 1.(1)√　(2)√　(3)× 2.解:能.因为能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标轴,所以斜率一定存在,即可用点斜式方程表示. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)因为B(5,-4),C(0,-2), 所以BC边所在直线的方程为=,即2x+5y+10=0. (2)设BC边的中点为M(a,b), 则a==,b==-3,所以M, 又因为BC边上的中线所在的直线过点A(-3,2),所以BC边上的中线所在直线的方程为=,即10x+11y+8=0. 变式　(1)2x-y-2=0　(2)2x+y-8=0 [解析] (1)直线l过两点A(3,4),B(-1,-4),由直线的两点式方程,得=,即2x-y-2=0. (2)由题意可得M的坐标为(2,4),N的坐标为(3,2),由直线的两点式方程,得=,化简得2x+y-8=0. 探究点二 例2　解:(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,可设直线l的方程为+=1,a≠0. 又l过点A(3,4),所以+=1, 解得a=-1,所以直线l的方程为+=1,即x-y+1=0. 当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0,即直线l过原点时,设直线l的方程为y=kx, 因为l过点A(3,4),所以4=k·3,解得k=,所以直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. (2)设直线l'在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为a-1, 由题易知a≠0且a≠1,所以直线l'的方程为+=1,将点B(6,-2)的坐标代入,解得a=2或a=3, 所以直线l'的方程为x+2y-2=0或2x+3y-6=0. 变式　解:设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b. 当a≠0且b≠0时,由直线的截距式方程,得+=1, 由题可知+=1,且b=2a,可得a=,b=3, 此时直线的方程为+=1,即2x+y-3=0. 当a=b=0时,设直线的方程为y=kx, 由题可知k=1,此时直线的方程为y=x. 综上所述,所求直线的方程为2x+y-3=0或x-y=0. 探究点三 例3　解:设直线方程为+=1(a>0,b>0), 若满足条件①,则a+b+=12, 又∵直线过点P, ∴+=1. 由可得5a2-32a+48=0,解得或 ∴所求直线的方程为+=1或+=1, 即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. 若满足条件②,则ab=12, 由题意得+=1, 由整理得a2-6a+8=0, 解得或 ∴所求直线的方程为+=1或+=1, 即3x+4y-12=0或3x+y-6=0. 综上所述,存在同时满足①②两个条件的直线,其方程为3x+4y-12=0. 变式　解:由题意知直线l不过原点,且直线l在两坐标轴上的截距都存在,设直线l的方程为+=1(a≠0,b≠0). 由题意得 即或 可得或故直线l的方程为y=x+或y=x-3. 学科网（北京）股份有限公司 $