1.2 直线的方程（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦“直线的方程”核心知识点，从确定直线的几何要素（倾斜角、斜率）出发，系统推导点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种方程，明确各方程适用范围及互化方法，构建从几何特征到代数表达的学习支架。 资料通过“易错提醒”纠正截距与距离混淆等认知误区，“题型分类”结合解题贴士培养分类讨论的数学思维，“随学随练”以实例强化数形结合的数学眼光。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第一章 直线与方程 1.2 直线的方程 课标要点 1.结合平面直角坐标系图形，探究确定直线的几何要素，掌握倾斜角、斜率概念与两点斜率计算公式，建立直线几何特征与代数表达的联系。 2.推导并掌握点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种直线方程，明晰各类方程适用范围，能根据条件灵活选择并互化方程海南省教育。 3.体会解析几何数形结合核心思想，能用直线方程解决求交点、截距、围成图形面积等基础问题，形成用代数方法研究几何的思维 学习重难点 重点： 1.五种直线方程的标准形式、推导过程，熟练依据已知点、斜率、截距等条件写出对应直线方程学科网。 2.直线不同方程形式之间的转化，规范将特殊式统一化为二元一次一般式Ax+By+C=0。 3.利用直线方程求解截距、直线与坐标轴围成面积、两直线交点等基础计算题型。 难点： 1.区分各类直线方程的使用限制，解题时主动分类讨论斜率不存在（竖直线x=x0、截距为 0 等特殊情况，避免漏解。 2.准确理解截距概念，区分截距与距离，纠正 “截距必为正数” 的认知误区，熟练处理过原点、平行坐标轴的直线列式问题。 3.综合运用数形结合、分类讨论思想，解决含参数直线恒过定点、直线与线段相交求斜率范围等综合题型 知识点 直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的________．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程_______用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 易错提醒 最容易忽略斜率不存在的竖直直线，直接套用点斜式造成漏解；混淆倾斜角钝角对应负斜率，列式符号出错；误把倾斜角当作斜率直接代入计算。写截距相关题目，遗漏直线过原点的情况；代入坐标计算点斜式化简出错，忽略点斜式y−y0=k(x−x0)只能表示存在斜率的直线，无法描述竖直线，极易造成答案不全失分。 教材延伸 由点斜式推导斜截式，类比一次函数解析式，打通解析几何与初中函数联系；延伸拓展直线束方程，掌握过同一定点所有直线的通用表达式；延伸至两直线平行、垂直的斜率判定，利用点斜式快速写出平行线、垂线方程。进一步延伸直线点关于直线对称、光线反射题型，以点斜式为基础联立方程解题，拔高综合应用能力。 随学随练 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 知识点 直线的斜截式方程（重点） 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的_______方程，简称斜截式． 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 特别提醒 斜截式 y=kx+b 仅适用于斜率存在的直线，竖直直线无法用该形式表达，解题切勿遗漏。分清截距 b 是直线在 y 轴上的实数坐标，可正可负可为零，不等于线段长度。注意和一次函数区分，一次函数要求 k≠0，斜截式 b 任意、k 可为 0。判断两直线平行、垂直优先借助 k 与 b 分析，平行需斜率相等、截距不等，垂直满足斜率乘积为 - 1，避免直接套用公式忽略斜率不存在的特殊情况。 随学随练 1．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 知识点 直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，______________求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 特别提醒 两点式存在严格使用限制，两点横坐标相等、直线竖直时分母为零，式子无意义；纵坐标相等的水平直线同样不能直接套用，极易漏写特殊直线。分清截距式是两点式特例，做题优先判断直线位置。计算时分清坐标先后顺序，分子分母点位要对应，顺序颠倒数值不变，但切勿交叉错乱。还要注意两点式不能表示平行坐标轴的直线，遇到这类直线直接写最简式，避免解题缺解。 随学随练 1．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 2．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 3．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 知识点 直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在______________． 特别提醒 斜截距式限制条件较多，a、b 分别为横、纵截距，二者都不能为 0，无法表示过原点、平行坐标轴的直线，极易遗漏这类情况。截距是实数，可正可负，切勿当成距离取正值，这是高频失分点。题干只说截距相等时，要分截距同为 0 和数值相等两类讨论，不能直接套用截距式。做题先预判直线位置，不符合条件改用点斜式列式，避免出现无解、漏解问题。 随学随练 1．（25-26高二·全国·暑假作业）四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 3．（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 知识点 直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与_______的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 特别提醒 直线一般式Ax+By+C=0牢记、不同时为 0，可表示平面内全部直线，无使用局限。一般式化斜截式判断斜率时，注意B=0时直线竖直，斜率不存在，不可直接除以B。判定两直线平行、垂直优先整理成一般式，利用系数关系计算更稳妥。化简习惯让A化为正数，方便后续计算；分清C=0代表直线过原点，避免联立方程、求截距时看错数值，计算截距别混淆正负符号。 随学随练 1．（25-26高二·全国·暑假作业）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 2．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 拓展 直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 活学活用 1．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 拓展 直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 活学活用 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 3．（25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ）． A． B． C． D． 题型 点斜式直线方程 解题贴士 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． ▌例1（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° ▌例2（25-26高二上·浙江台州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． ▌对点练1-3．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型 斜截式直线方程 解题贴士 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． ▌例1（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（   ） A．1 B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·山东临沂·期中）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 ▌对点练1-3（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线的倾斜角为 B．经过点的所有直线都可以用方程表示 C．直线在轴上的截距为 D．点在同一条直线上 题型 两点式直线方程 解题贴士 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． ▌例1（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 ▌例2（25-26高二上·安徽·期末）经过点和的直线的方程为________． ▌对点练1-1（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）（多选）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 ▌对点练1-2（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）（多选）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 ▌对点练1-3（25-26高二上·河北保定·阶段检测）（多选）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 题型 截距式直线方程 解题贴士 审题先判断直线能否使用截距式，横纵截距均不为零才可列式。遇到截距相等、互为相反数这类题型，必须分两类讨论：截距不为 0 用截距式求解，截距都是 0 则直线过原点，设斜截式计算，防止漏解。区分截距与长度，截距可取负值。列式求出参数后，结合题意检验范围，不方便用截距式时改用点斜式，最后按需转化为一般式作答。 ▌例1（25-26高二上·浙江杭州·期中）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练1-1（25-26高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，直线l过点，则直线l在y轴上的截距为______． ▌对点练1-2（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. ▌对点练1-3（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 题型 直线的一般式方程 解题贴士 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． ▌例1（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. ▌例2（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 ▌对点练1-3（25-26高二上·陕西咸阳·期末）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D． 题型 判断动直线所过定点 解题贴士 将含参数的直线方程整理成参数与常数分组的形式，按照参数合并同类项，列出参数整体与常数项分别等于 0 构成方程组。联立方程组求解坐标，算出的固定点即为直线恒过定点。遇到多个参数就分步分离参数，也可采用赋值法，代入两组不同参数值得到两条直线，联立求交点。检验交点代入原式验证成立，做题避开直接凑点的盲目做法，结合图像判断定点位置，排除计算坐标时的符号失误。 ▌例1（25-26高二下·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． ▌例2（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二下·贵州·阶段检测）在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． ▌对点练1-3（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）（多选）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 基础通关 1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 2．（2026高三下·全国·专题练习）直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·暑假作业）若直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D．1 5．（25-26高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 7．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 8．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 9．（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 10．（25-26高二下·云南昆明·开学考试）已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 素养提升 1．（2026高一上·广东江门·竞赛）已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 2．（2026高三·全国·专题练习）第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，如图所示，当的面积取最小值时，求直线的方程． 4．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）在中，，分别以为边向外部作正，连接分别交于点.则的值为________. 迁移创新 1．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南驻马店·期末）数学家欧拉1765年在《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为__________. 3．（25-26高一下·上海·期末）直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点.    (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线与方程 1.2 直线的方程 课标要点 1.结合平面直角坐标系图形，探究确定直线的几何要素，掌握倾斜角、斜率概念与两点斜率计算公式，建立直线几何特征与代数表达的联系。 2.推导并掌握点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种直线方程，明晰各类方程适用范围，能根据条件灵活选择并互化方程海南省教育。 3.体会解析几何数形结合核心思想，能用直线方程解决求交点、截距、围成图形面积等基础问题，形成用代数方法研究几何的思维 学习重难点 重点： 1.五种直线方程的标准形式、推导过程，熟练依据已知点、斜率、截距等条件写出对应直线方程学科网。 2.直线不同方程形式之间的转化，规范将特殊式统一化为二元一次一般式Ax+By+C=0。 3.利用直线方程求解截距、直线与坐标轴围成面积、两直线交点等基础计算题型。 难点： 1.区分各类直线方程的使用限制，解题时主动分类讨论斜率不存在（竖直线x=x0、截距为 0 等特殊情况，避免漏解。 2.准确理解截距概念，区分截距与距离，纠正 “截距必为正数” 的认知误区，熟练处理过原点、平行坐标轴的直线列式问题。 3.综合运用数形结合、分类讨论思想，解决含参数直线恒过定点、直线与线段相交求斜率范围等综合题型 知识点 直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 易错提醒 最容易忽略斜率不存在的竖直直线，直接套用点斜式造成漏解；混淆倾斜角钝角对应负斜率，列式符号出错；误把倾斜角当作斜率直接代入计算。写截距相关题目，遗漏直线过原点的情况；代入坐标计算点斜式化简出错，忽略点斜式y−y0=k(x−x0)只能表示存在斜率的直线，无法描述竖直线，极易造成答案不全失分。 教材延伸 由点斜式推导斜截式，类比一次函数解析式，打通解析几何与初中函数联系；延伸拓展直线束方程，掌握过同一定点所有直线的通用表达式；延伸至两直线平行、垂直的斜率判定，利用点斜式快速写出平行线、垂线方程。进一步延伸直线点关于直线对称、光线反射题型，以点斜式为基础联立方程解题，拔高综合应用能力。 随学随练 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【答案】 【分析】利用垂直平分线的性质求出直线的斜率和直线上的点，进而利用点斜式求解． 【详解】线段的垂直平分线，垂直于直线，且过直线的中点， 设的中点为，则， 设直线的斜率为，则，解得， 直线方程为，一般形式为． 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 【答案】 【分析】求出线段的中点坐标，并求出直线的斜率，可得出线段的垂直平分线所在直线的斜率，结合点斜式方程可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知线段的中点为，， 故线段的垂直平分线所在直线的斜率为， 因此线段的垂直平分线方程为，即. 故答案为：. 知识点 直线的斜截式方程（重点） 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 特别提醒 斜截式 y=kx+b 仅适用于斜率存在的直线，竖直直线无法用该形式表达，解题切勿遗漏。分清截距 b 是直线在 y 轴上的实数坐标，可正可负可为零，不等于线段长度。注意和一次函数区分，一次函数要求 k≠0，斜截式 b 任意、k 可为 0。判断两直线平行、垂直优先借助 k 与 b 分析，平行需斜率相等、截距不等，垂直满足斜率乘积为 - 1，避免直接套用公式忽略斜率不存在的特殊情况。 随学随练 1．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线斜截式方程得到斜率，再结合倾斜角的取值范围，利用斜率与倾斜角的正切关系求解. 【详解】已知直线的斜截式方程为，因此直线的斜率. 由直线斜率与倾斜角的关系， 可得， 结合，解得. 2．（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线绕原点顺时针旋转，求出旋转后的直线的斜率，再结合平移知识，可得到所求直线. 【详解】设的倾斜角为，则， 当直线绕原点顺时针旋转时， 旋转后的直线的倾斜角为， 其斜率为， 该直线方程为， 再将该直线向左平移1个单位可得：，即. 3．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点， 所以直线的方程是. 故选：D 知识点 直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 特别提醒 两点式存在严格使用限制，两点横坐标相等、直线竖直时分母为零，式子无意义；纵坐标相等的水平直线同样不能直接套用，极易漏写特殊直线。分清截距式是两点式特例，做题优先判断直线位置。计算时分清坐标先后顺序，分子分母点位要对应，顺序颠倒数值不变，但切勿交叉错乱。还要注意两点式不能表示平行坐标轴的直线，遇到这类直线直接写最简式，避免解题缺解。 随学随练 1．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 2．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 3．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 知识点 直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 特别提醒 斜截距式限制条件较多，a、b 分别为横、纵截距，二者都不能为 0，无法表示过原点、平行坐标轴的直线，极易遗漏这类情况。截距是实数，可正可负，切勿当成距离取正值，这是高频失分点。题干只说截距相等时，要分截距同为 0 和数值相等两类讨论，不能直接套用截距式。做题先预判直线位置，不符合条件改用点斜式列式，避免出现无解、漏解问题。 随学随练 1．（25-26高二·全国·暑假作业）四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为， 边所在直线方程为，边所在直线方程为 【分析】根据截距式、两点式求得四边形四条边所在的直线方程． 【详解】如图，由截距式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即， 由两点式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即． 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 3．（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 知识点 直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 特别提醒 直线一般式Ax+By+C=0牢记、不同时为 0，可表示平面内全部直线，无使用局限。一般式化斜截式判断斜率时，注意B=0时直线竖直，斜率不存在，不可直接除以B。判定两直线平行、垂直优先整理成一般式，利用系数关系计算更稳妥。化简习惯让A化为正数，方便后续计算；分清C=0代表直线过原点，避免联立方程、求截距时看错数值，计算截距别混淆正负符号。 随学随练 1．（25-26高二·全国·暑假作业）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由点斜式方程求解即可； （2）根据与轴垂直的直线方程特点求解即可； （3）由斜截式方程求解即可； （4）由两点式方程求解即可. 【详解】（1）由点斜式，得， 化成一般式，得． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为． （4）由两点式，得， 化成一般式为． 2．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 3．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 拓展 直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 活学活用 1．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的一个法向量为，且过点， 设直线上任意一点，所以， 所以，即， 直线的方程为：. 2．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 拓展 直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 活学活用 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 2．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 【答案】 【分析】求出中点坐标，利用两点式求直线方程. 【详解】设中点，则，即， 所以边上的中线所在的直线方程为， 整理得， 故答案为：. 3．（25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的一般式方程化为斜截式方程，进而求解. 【详解】由，所以，所以， 故选：C. 题型 点斜式直线方程 解题贴士 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． ▌例1（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系求倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为且， 则，故. 故选：A ▌例2（25-26高二上·浙江台州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】因为直线方程为，所以该直线的斜率为1， 所以该直线的倾斜角为. 故选：C. ▌对点练1-1．（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行关系确定直线斜率为，再结合轴截距为得到直线过点，最后用点斜式求出直线方程. 【详解】已知直线，变形为，斜率为， 因为所求直线与平行，所以斜率也为， 又因为题干说所求直线在轴上的截距为，说明直线过点； 由点斜式可直接写出所求直线为：，化简可得：. 故选：A ▌对点练1-2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 【答案】 【分析】先根据题意得出入射光线的方程，求出入射光线与x轴的交点，结合反射的性质得出反射光线的斜率，即可得出答案. 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 则入射光线方程为，化简整理可得， 则入射光线和轴交点为， 由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 化简整理可得. 故答案为： ▌对点练1-3．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜截式特征，结合直线倾斜角和斜率的关系进行求解即可. 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以有， 的补角为， 所以l的倾斜角为. 故选：B 题型 斜截式直线方程 解题贴士 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． ▌例1（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. ▌例2（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程可得直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】由，可得直线的斜率，设该直线的倾斜角为，， 所以，所以. 故选：B. ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到直线l的斜率，进而求出直线l的方程，求出纵截距. 【详解】直线l倾斜角为60°，则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，令得， 故直线l的纵截距为. 故选：D ▌对点练1-2（25-26高二上·山东临沂·期中）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】把点代入求得化直线方程为，求各轴上的截距，运算求解即可. 【详解】因为直线经过点， 则可得， 直线方程为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，可知， 令，得；令，得； 则，化为，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选： ▌对点练1-3（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线的倾斜角为 B．经过点的所有直线都可以用方程表示 C．直线在轴上的截距为 D．点在同一条直线上 【答案】AD 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算可得A；考虑斜率不存在的情况可得B；由截距定义可得C；借助斜率公式计算可得D. 【详解】对于A：过两点的直线的斜率， 所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：过点斜率不存在时，方程为，故B错误； 对于C：直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D：因为，， 则，所以三点共线，故D正确. 故选：AD 题型 两点式直线方程 解题贴士 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． ▌例1（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. ▌例2（25-26高二上·安徽·期末）经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【分析】已知两点， 利用两点式化简得到一般式方程即可. 【详解】由已知得直线的方程为，即． ▌对点练1-1（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）（多选）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 【答案】BC 【分析】将点坐标代入斜率公式，可判断A的正误；根据两点式方程，可判断B的正误；根据斜率及方向向量的定义，可判断C的正误；将直线方程化成截距式，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为直线过点，， 所以直线的斜率为，故A错误； 选项B：直线的两点式方程为，故B正确； 选项C ：因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 选项D：因为l：，整理得，即，故D错误. 故选：BC. ▌对点练1-2（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）（多选）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，对直线方程进行化简，即可确定直线所过定点坐标；对于B，漏掉了过原点的直线的情况；对于C，两条直线垂直求出的值有2个；对于D，根据两点式直线方程的条件即可判断． 【详解】对于A： 化简直线方程得， 直线恒过与的交点，解得，恒过定点，A正确； 对于B： 直线过点，在轴上截距相等，当截距不为0时为， 截距为0时为，故B错误； 对于C： 由题意，“直线与直线垂直” 则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，C正确； 对于D： 两点式直线方程的条件需满足且，所以D错误. 故选：AC ▌对点练1-3（25-26高二上·河北保定·阶段检测）（多选）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 题型 截距式直线方程 解题贴士 审题先判断直线能否使用截距式，横纵截距均不为零才可列式。遇到截距相等、互为相反数这类题型，必须分两类讨论：截距不为 0 用截距式求解，截距都是 0 则直线过原点，设斜截式计算，防止漏解。区分截距与长度，截距可取负值。列式求出参数后，结合题意检验范围，不方便用截距式时改用点斜式，最后按需转化为一般式作答。 ▌例1（25-26高二上·浙江杭州·期中）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，，逐项根据截距的正负判断即可． 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． ▌例2（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C ▌对点练1-1（25-26高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，直线l过点，则直线l在y轴上的截距为______． 【答案】7 【分析】设直线l的方程为，根据待定系数法求得直线l的方程为，再求截距即可． 【详解】根据题意，设直线l的方程为， ，解得， 即直线l的方程为，与y轴的交点为， 故直线l在y轴上的截距为． 故答案为：． ▌对点练1-2（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. ▌对点练1-3（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】，令，解得值，即为所求 【详解】，令，得，所以直线在y轴上的截距为. 故选：C 题型 直线的一般式方程 解题贴士 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． ▌例1（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. ▌例2（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，所以直线的斜率， 因，则直线的倾斜角． ▌对点练1-1（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角的范围. 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C ▌对点练1-2（25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D. 【详解】对于A，直线可得，则斜率， 所以直线倾斜角满足，且，即，故正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入 得，解得； 当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误； 对于D，由直线的方程为可得，斜率， 由得，设倾斜角为，则， 由，得,故正确， 故选：AD. ▌对点练1-3（25-26高二上·陕西咸阳·期末）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】令求出的值，即可判断. 【详解】对于直线，令，则，解得， 所以直线在轴上的截距是. 故选：D 题型 判断动直线所过定点 解题贴士 将含参数的直线方程整理成参数与常数分组的形式，按照参数合并同类项，列出参数整体与常数项分别等于 0 构成方程组。联立方程组求解坐标，算出的固定点即为直线恒过定点。遇到多个参数就分步分离参数，也可采用赋值法，代入两组不同参数值得到两条直线，联立求交点。检验交点代入原式验证成立，做题避开直接凑点的盲目做法，结合图像判断定点位置，排除计算坐标时的符号失误。 ▌例1（25-26高二下·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围． 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. ▌例2（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. ▌对点练1-2（25-26高二下·贵州·阶段检测）在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，结合题意，利用平面向量的线性运算得到，再由三点共线即可得，再代入直线方程即可. 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 则为， 即， 令，解得，则点的坐标为. ▌对点练1-3（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）（多选）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 基础通关 1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． （2）过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程， 当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，由截距相等可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为即． 综上得：直线方程为或. 2．（2026高三下·全国·专题练习）直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 【答案】8， 【详解】已知， 令，解得，则， 令，解得，则，则： , 由于，令，则， 根据基本不等式：，当且仅当时等号成立， 即，. ， 其中，， 则， 当且仅当时等号成立，即，. 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）若直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意，直线化为斜截式可得， 所以，所以. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据点斜式求得直线方程，并化为一般式. （2）根据截距式直线方程，并化为一般式. 【详解】（1）由点斜式可得直线方程为． 化为一般式为． （2）由截距式可得直线方程为． 化为一般式为． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【答案】(1)存在；或 (2)存在；或 【分析】（1）设所求直线方程为，根据点坐标以及的周长求得，进而求得直线方程. （2）设所求直线方程为，根据点坐标以及的面积求得，进而求得直线方程. 【详解】（1）存在．设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得，或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）存在．设直线方程为， 由题意可知 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 7．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 8．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】的法向量为，因此，故. 9．（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 10．（25-26高二下·云南昆明·开学考试）已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 【答案】C 【分析】由斜率公式求得斜率，得到直线方程，再结合倾斜角、方向向量和截距的概念逐项判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为 由斜率公式得，故A错误； ，故B错误； 由斜率可得方向向量为，是直线方向向量，所以C正确． 直线方程为：，令得，即直线在轴上截距为，D错误. 素养提升 1．（2026高一上·广东江门·竞赛）已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入得坐标，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系，即可求解； （2）设直线，代入坐标可得，利用均值不等式可得，进而求得面积的最小值； （3）直线的倾斜角为，设，设直线的方程为，将代入直线方程中，可用表示，，进而利用三角换元求解. 【详解】（1）由题，，当时，为， 则斜率， 因为直线经过x轴的正半轴，y轴的正半轴， 所以设直线的倾斜角为，则， 所以. （2）由题，， 设直线，将点代入方程可得， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以的最小值为. （3）由（1），直线的倾斜角为，设， 则直线的方程为， 将代入可得，， 所以斜边长 ，则设 令 ，则， 所以， 由 ，所以， 当且仅当 ，即 时取等， 此时 . 2．（2026高三·全国·专题练习）第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】，得， ， ，等号当且仅当时成立，此时，满足定义域条件， 所以的最大值为3. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，如图所示，当的面积取最小值时，求直线的方程． 【答案】 【分析】设直线的截距式方程，代入点坐标，利用基本不等式研究的面积的最小值，根据等号成立的条件求得直线的方程. 【详解】设，， 则直线的方程为． 因为过点，所以． 因为，整理得， 所以， 当且仅当，即，时取等号． 此时直线的方程是，即. 4．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的坐标得出直线方程，再根据点在内部列出关于的不等式组，结合，得出所有可能的点坐标，由平面向量数量积的坐标运算即可求解． 【详解】因为点为坐标原点，，， 所以直线的截距式方程为，即， 因为点在内部， 所以满足不等式组， 由，且，， 当时，由得，，点可以是； 当时，由得，，点是； 当时，此时不存在满足题意的正整数， 综上所述，满足条件得点共有三个：，； 因为， 所以，， ， 所以 ， 当点为时，， 当点为时，， 当点为时，， 所以最小值为． 5．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）在中，，分别以为边向外部作正，连接分别交于点.则的值为________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，运用平面几何知识得出各个点的坐标，通过直线联立得到的坐标，运用两点间的距离公式得到长度，作比得到答案，或者取的中点为，结合平面几何知识可证明四边形为平行四边形，结合相似形可求线段长的比值. 【详解】法1：因为为直角三角形且， 故不妨设. 如图，取的中点分别为，则， 因为为等边三角形且，故且， 故，而为等边三角形，故且， 故，故，故，而， 故四边形为平行四边形，故，故 而，故. 法2： 如图，以线段所在直线为轴，以线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以，. 由几何关系得，，， 所以，直线，所以，所以’ 同理直线，联立，解得，所以， 则’ 所以. 迁移创新 1．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的顶点坐标，求得重心坐标，结合外心的性质设的外心的坐标，由求得坐标，然后写出欧拉线方程. 【详解】因为的顶点为，所以其重心为， 因为线段的垂直平分线方程为，所以可设的外心为， 则，即，解得，， ，故该三角形的欧拉线方程为，即. 故选：D. 2．（25-26高二上·河南驻马店·期末）数学家欧拉1765年在《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为__________. 【答案】 【分析】求出重心坐标，求出边上的高和边上的高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】因为的顶点，，， 所以的重心为，即， 可得直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线斜率为，则可得直线方程为， 故的欧拉线方程为. 故答案为：. 3．（25-26高一下·上海·期末）直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点.    (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)12 (3)由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 过点作平行于轴的直线交轴于点，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为 6， 四边形是梯形，其上底为，下底为 ，高为 2， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和，其斜率 ， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得. 所以，直线必过定点，该定点坐标为. 【详解】（1）由题意可设直线， 所以，所以， 即. （2）当直线斜率不存在时，不存在点，舍去. 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴，当且仅当，即时取等号， ∴. （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $