1.1 直线的斜率与倾斜角 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本高中数学讲义聚焦直线的斜率与倾斜角核心知识点，系统梳理斜率概念及过两点计算公式，倾斜角定义、范围及与斜率的关系，通过知识点填空、诊断分析、例题变式构建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于融入数学核心素养，诊断分析判断正误培养逻辑推理能力，探究点例题及变式提升数学运算素养，分层设计助力课中教学实施与课后学生查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

第1章　直线与方程 1.1　直线的斜率与倾斜角 【课前预习】 知识点一 　不存在 知识点二 逆时针　最小正角α　0 知识点三 tan α　>　tan α　< 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√ 2.解:不是.当直线l 的倾斜角α∈ 时,直线l的斜率不小于0,α 越大,直线l 的斜率越大;当α∈ 时,直线l的斜率小于0,α 越大,直线l 的斜率越大;当直线l的倾斜角α为时,直线l的斜率不存在. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)存在,直线AB的斜率为=1. (2)存在,直线CD的斜率为=0. (3)当a=3时,直线PQ的斜率不存在;当a≠3时,直线PQ的斜率存在,为. 变式　解:(1)因为A(-2,1),B(7,5),所以kAB==. (2)设P(x,0),因为A(-2,1),B(7,5),所以kPA=,kPB=. 又直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍,所以=2×,解得x=-3,即P的坐标为(-3,0). (3)设Q(0,y),因为A,B,Q三点共线,所以kAB=kAQ,故=,解得y=,即Q的坐标为. 探究点二 例2　解:(1)如图①,由图可知∠OAB为直线l1的倾斜角. 易知∠ABO=30°,∴∠OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图②,由图可知∠xCD为直线l2的倾斜角,易知∠ODC=45°,∴∠OCD=45°,∴∠xCD=135°,即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图③,由图可知∠OEG为直线l3的倾斜角, 易知∠EFO=60°,∴∠FEO=30°, ∴∠OEG=150°,即直线l3的倾斜角为150°. 变式　(1)BC　(2)135°　[解析] (1)因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-;当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-=+α.故选BC. (2)设直线l2的倾斜角为α2,因为∠BAC=120°,所以α2=120°+α1=135°. 拓展　ABC　[解析] 当α=0°时,l2的倾斜角为90°(如图①);当0°<α<90°时,l2的倾斜角为90°+α(如图②);当α=90°时,l2的倾斜角为0°(如图③),即当α=90°时,l2的倾斜角为90°-α;当90°<α<180°时,l2的倾斜角为α-90°(如图④).故直线l2的倾斜角可能为90°-α,90°+α,α-90°,但不可能为180°-α.故选ABC. ① ② ③ ④ 探究点三 例3　解:(1)如图所示, 易知kPA==1,kPB==-, 因为直线l过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2-)为端点的线段相交, 所以结合图形可知直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-]∪[1,+∞). (2)由(1)可知,k∈(-∞,-]∪[1,+∞),直线PA的倾斜角为,直线PB的倾斜角为, 由此可得直线l的倾斜角α的取值范围为∪. 由图可知,当直线l的斜率不存在时,符合题意, 此时直线l的倾斜角α=. 综上,直线l的倾斜角α的取值范围为. 变式　解:(1)由题可得kAB==0,kBC==, kAC==. 因为斜率等于倾斜角的正切值,且倾斜角的取值范围是[0,π), 所以直线AB的倾斜角为0,直线BC的倾斜角为,直线AC的倾斜角为. (2)如图,当D由点A移动到点B时,直线CD绕点C由CA按逆时针方向转到CB,所以kCD的取值范围为,故直线CD的倾斜角的取值范围为. 拓展　解:直线的斜率k与直线的倾斜角θ的关系为k=tan θ,θ∈∪.易知y=tan x在,上均单调递增,且当x∈时,y=tan x>0, 当x∈时,y=tan x<0.当0≤k1<k2<k3时,α,β,γ∈, 由y=tan x在上单调递增,得α<β<γ. 当k1<k2<k3<0时,α,β,γ∈, 由y=tan x在上单调递增,得α<β<γ. 当k1<0≤k2<k3时,α∈,β,γ∈, 由y=tan x在上单调递增,得β<γ<α. 当k1<k2<0≤k3时,α,β∈,γ∈, 由y=tan x在上单调递增,得γ<α<β. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章　直线与方程 1.1　直线的斜率与倾斜角 【学习目标】 　　1.了解直线的斜率和倾斜角的概念及它们之间的关系. 　　2.掌握过两点的直线的斜率计算公式. 　　3.了解直线的倾斜角的取值范围,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. 　　4.通过对斜率和倾斜角的学习,培养逻辑推理和数学运算的数学素养. ◆ 知识点一　直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线l的斜率k=　　　　　;如果x1=x2,那么直线l的斜率　　　　.  提示:对于与x轴不垂直的直线l,它的斜率也可以看作k===. ◆ 知识点二　直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按　　　　方向旋转到与直线重合时,所转过的　　　　　　称为这条直线的倾斜角  规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为　　　  范围 {α|0≤α<π} ◆ 知识点三　直线的倾斜角与斜率的关系 设直线的倾斜角为α,斜率为k. 直线情形 α的大小 k的大小 k的范围 与x轴平行 0 0 k=0 从左下方向右上方倾斜 0<α< k=　　　  k　　0  与x轴垂直 不存在 不存在 从左上方向右下方倾斜 <α<π k=　　　= -tan(π-α) k　　0  提示:所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任意一条直线都有且只有一个斜率和它对应. (　 ) (2)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应. (　 ) (3)当直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;当直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负.(　 ) 2.直线的倾斜角越大,它的斜率越大吗? ◆ 探究点一　直线的斜率 例1 分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求出该直线的斜率. (1)A(2,3),B(4,5); (2)C(-2,3),D(2,3); (3)P(a,2),Q(3,6). 变式 已知A(-2,1),B(7,5) . (1)求直线AB的斜率; (2)设P为x轴上一点,若直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍,求P的坐标; (3)设Q为y轴上一点,且A,B,Q三点共线,求Q的坐标. [素养小结] 研究直线的斜率问题时,通常需要先讨论斜率存在与否,斜率存在时,再用公式k=(x1≠x2)求解. ◆ 探究点二　直线的倾斜角 例2 分别求图中各直线的倾斜角. 变式 (1)(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,将直线l绕点A按顺时针方向旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.α+ B.α+ C.α- D.-α (2)已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1,l2与x轴分别交于点B,C,且∠BAC=120°,如图,则直线l2的倾斜角为　　　　.  [素养小结] 求直线的倾斜角的方法:结合图形,利用三角形中的有关结论或特殊三角形(如直角三角形)求角. 拓展 (多选题)若直线l1的倾斜角为α,且l1⊥l2,则直线l2的倾斜角可能为(　 ) A.90°-α B.90°+α C.α-90° D.180°-α ◆ 探究点三　直线倾斜角与斜率的关系及简单应用 例3 [2025·陕西安康高新中学高二期中] 已知直线l过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2-)为端点的线段相交. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 变式 在△ABC中,A(-1,1),B(1,1),C(2,+1). (1)分别求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角; (2)若D为AB边上的一个动点,求直线CD的倾斜角的取值范围. [素养小结] 直线的斜率与其倾斜角关系的分析,首先要考虑倾斜角为直角的情况,其次要分倾斜角在和上两种情况,根据正切函数的单调性加以研究. 拓展 已知三条直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α,β,γ,且k1<k2<k3,探索α,β,γ的大小关系. 学科网（北京）股份有限公司 $