1.2.2 直线的两点式方程1.2.3 直线的一般式方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1.2.2　直线的两点式方程 1.2.3　直线的一般式方程 学习目标 知识导图 1.掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围．(数学抽象、直观想象) 2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围．(数学抽象、直观想象) 3．掌握直线的一般式方程．(数学运算) 4．了解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式．(难点)(数学运算) 5．会进行直线方程不同形式的转化．(数学运算) [问题导学] 阅读课本13～17页，思考以下问题： 1．直线的两点式方程的结构形式是什么？截距式呢？各自的适用范围分别是什么？ 2．怎样求一般式表示的直线的斜率与截距？ 3．直线与二元一次方程之间的关系是怎样的？ [知识梳理] 知识点一　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上截距a，在y轴上截距b(a≠0且b≠0) 图形 方程 ＝ ＝1＋ 适用 范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 微练习 直线x－2y＝4的截距式方程是________. 解析：求直线方程的截距式，必须把方程化为＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式． ＋ 答案：＝1 ＋ 知识点二　直线的一般式方程 1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式． 2．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝b(y轴上的截距)； ＝k(斜率)，－ 当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 微思考 1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以． 2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？ 提示：都能表示一条直线． 题型一　直线的两点式方程 [例1]　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [解析]　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得， ＝ 即2x＋5y＋10＝0. 故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(x0，y0)， 则x0＝＝－3. ，y0＝＝ ∴M， 又BC边上的中线经过点A(－3,2)． ∴由两点式得， ＝ 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 已知两点求直线方程的方法(或思路) 已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得．代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系．若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论． [跟踪训练] 已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程． 解析：由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为，即x－(m－1)y－1＝0. ＝ 综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 题型二　直线的截距式方程 [例2]　求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． [解析]　法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0； ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＝1，即x－y＝a， ＋ 又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3， ∴l的方程为x－y－3＝0， 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0. 法二：由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)， x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－. 根据题意得2－5k＝－或k＝1. ，解方程得k＝ 当k＝(x－5)，即2x－5y＝0； 时，直线方程为y－2＝ 当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． [变式训练] (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？ 解析：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5