专题1.1 直线的斜率与倾斜角（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学直线的斜率与倾斜角核心知识点，先阐述斜率的定义（倾斜角正切值）及过两点的斜率公式，再讲解倾斜角的定义、取值范围及与斜率的对应关系，构建从概念到应用的学习支架，为求斜率、倾斜角等题型奠定基础。 该资料以“题型+变式”设计，涵盖6类核心题型，结合射击瞄准、古代建筑举架结构等现实情境，通过例题与变式题训练，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题的能力，课中辅助教师教学，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

专题1.1 直线的斜率与倾斜角（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求直线的斜率】 2 【题型2 斜率公式的应用】 2 【题型3 求直线的倾斜角】 4 【题型4 斜率与倾斜角的变化关系】 4 【题型5 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 5 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 6 考点1 直线的斜率 知识点1 直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】：(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 【题型1 求直线的斜率】 【例1】（25-26高二上·湖南·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【变式1-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）经过点和的直线斜率为（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 斜率公式的应用】 【例2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-2】（25-26高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中 是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 考点2 直线的倾斜角 知识点2 直线的倾斜角 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型3 求直线的倾斜角】 【例3】（25-26高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4 斜率与倾斜角的变化关系】 【例4】（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（25-26高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型5 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例5】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过，两点的直线的斜率是12，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【变式5-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【变式6.3】（25-26高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 直线的斜率与倾斜角（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求直线的斜率】 2 【题型2 斜率公式的应用】 3 【题型3 求直线的倾斜角】 5 【题型4 斜率与倾斜角的变化关系】 7 【题型5 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 9 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 11 考点1 直线的斜率 知识点1 直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】：(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 【题型1 求直线的斜率】 【例1】（25-26高二上·湖南·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】利用两点斜率公式计算即可. 【解答过程】点所在直线的斜率为. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据经过两点的直线斜率公式即可得到答案. 【解答过程】由题意可得直线的斜率为. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）经过点和的直线斜率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用斜率公式可求得结果. 【解答过程】因为直线点和，所以直线的斜率为. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据斜率公式，可得斜率k的表达式，根据二次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【解答过程】直线l的斜率. 因为 ， 所以，即直线l的斜率的取值范围是. 故选：C. 【题型2 斜率公式的应用】 【例2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【解答过程】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解题思路】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【解答过程】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【解答过程】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中 是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【解题思路】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【解答过程】因为，所以， 不妨设，则 ． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 考点2 直线的倾斜角 知识点2 直线的倾斜角 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型3 求直线的倾斜角】 【例3】（25-26高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【解答过程】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 【变式3.1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【解答过程】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【解答过程】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 【变式3.3】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用斜率公式求得，根据正切函数图象与性质分析运算即可得解. 【解答过程】解：由题意点，，则直线的斜率为 ， ∵， ∴，又∵直线倾斜角的范围是， ∴当时，倾斜角有：； 当时，倾斜角有：； 综上，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：A. 【题型4 斜率与倾斜角的变化关系】 【例4】（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解答过程】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 【变式4.1】（25-26高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可得出与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，即可得出答案. 【解答过程】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补， 得的倾斜角的取值范围为， 故选：B. 【变式4.2】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【解答过程】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 【变式4.3】（25-26高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【解答过程】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【题型5 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例5】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过，两点的直线的斜率是12，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据过两点的直线的斜率公式求的值. 【解答过程】由题意： . 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【解题思路】由两点的斜率公式与直线倾斜角与斜率的关系式即可列出方程，解出答案. 【解答过程】由题意知， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题意，解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值； （2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值； （3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值； （4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围. 【解答过程】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解答过程】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式6.1】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【解答过程】   设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 【变式6.2】（25-26高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 【变式6.3】（25-26高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【解题思路】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【解答过程】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $