4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的通项公式 第2课时 等差数列的性质与应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦等差数列的性质与应用，涵盖通项公式推广、项的运算性质、构造新数列及单调性分析等核心知识点。通过课前预习的诊断分析衔接上一课时的通项公式，以判断正误和问题解答为支架，帮助学生巩固基础并自然过渡到课中探究。 其亮点在于采用“性质应用—构造新数列—单调性分析”递进式探究，结合例题与变式训练，通过基本量法与性质法培养学生数学思维。素养小结提炼方法，如构造新数列体现数学眼光的抽象能力，单调性分析渗透模型意识，助力学生提升推理与应用能力，也为教师提供结构化教学资源以提高课堂效率。

4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的通项公式 1 第2课时 等差数列的性质与应用 2 探究点一 等差数列性质的应用 探究点二 由等差数列构造新等差数列 探究点三 等差数列单调性的应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.理解等差数列的一些基本性质,并利用其解决一些简单问题. 2.能用等差数列的单调性解决一些简单问题. 4 知识点一 等差数列通项公式的推广与运算性质 两项关系 多项关系（性质） 通项公式的推广: __________ 为公差,, 项的运算性质:若 ,则 . 简记:若下标和相等,则对应项的和相等. 特别地,若 ,则 课 前 预 习 5 知识点二 由等差数列构造新数列 1.构造新数列的基本类型 （1）若是公差为的等差数列,则为任意常数 是公差 为___的等差数列; （2）若是公差为的等差数列,则为任意常数 是公差为 ____的等差数列; （3）若,分别是公差为, 的等差数列,且它们的项数相同, 则数列,是常数是公差为 的等差数列. 2.等差数列部分项的性质 若数列为等差数列,则,,,, 仍为 等差数列. 课 前 预 习 6 知识点三 等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列 的单调 性受公差 影响. （1）当 时，数列为递增数列，如图①所示； ① 课 前 预 习 7 （2）当 时，数列为递减数列，如图②所示； ② 课 前 预 习 8 （3）当 时，数列为常数列，如图③所示. ③ 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 课 前 预 习 9 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）在等差数列中, .( ) √ （2）若等差数列的公差为,则数列的公差为 .( ) × （3）在等差数列中, .( ) × （4）若数列,,, 和,,, 都是公差为 的等差数列,则 ,,, 也是等差数列.( ) × 2.在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍 然是一个等差数列吗? 解:仍然是等差数列. 课 前 预 习 10 探究点一 等差数列性质的应用 例1（1）在等差数列中,已知,,则 ( ) A.4 B.8 C.3 D.6 [解析] 方法一:由等差数列的性质可知 ,得 . 方法二:设等差数列的公差为,, , 解得 ,故选B. √ 课 中 探 究 11 （2）在等差数列中,若,则 ___. 9 [解析] 方法一: 为等差数列, , . 方法二:设等差数列的公差为, , ,即 , ,即 . 课 中 探 究 12 （3）在等差数列中,,,则 ____. 24 [解析] 设等差数列的公差为, , , . 课 中 探 究 13 变式 在等差数列中，， ， 则 的值为( ) A.30 B.27 C.24 D.21 [解析] 设， ， ， 因为是等差数列，所以，， 也是等差数列， 得，所以 ， 即 .故选A. √ 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 1.灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令<m></m>, <m></m>即变为<m></m>为等差数列<m></m>的 公差<m></m>,可以减少记忆负担. 2.等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法:根据已知条件,列出关于首项<m></m>和公差<m></m>的方程（组）, 确定<m></m>,<m></m>,然后求其他量. （2）巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足 <m></m>,则<m></m>. 课 中 探 究 15 探究点二 由等差数列构造新等差数列 例2 ［2025·江苏海门中学高二月考］已知 为等差数列，且 ， ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的 数构成一个新的等差数列，问： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ 解:设新数列为，则， ，根据 为的公差，有 ，即 ，所以 ， 所以 ． 课 中 探 究 16 又因为 ，所以 ． 即原数列的第项为新数列的第 项． 当时， ，故原数列的第12项为新数列的第45项． 课 中 探 究 17 （2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 解:由（1）得，令，得 ， 即新数列的第29项是原数列的第8项． 例2 ［2025·江苏海门中学高二月考］已知 为等差数列，且 ， ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的 数构成一个新的等差数列，问： 课 中 探 究 18 变式 已知等差数列,1,4,7,10, ,现在其每相邻两项之间插入一个 数,使之成为一个新的等差数列 . （1）求新数列 的通项公式. 解：依题意,得,,设等差数列的公差为,则 , 故 . （2）16是新数列 中的项吗?若是,求出是第几项;若不是,说明理由. 解：令,即,得, 故16是新数列 中的项,是第13项. 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 1.对于任何形式的构造数列,判断其是否为等差数列,一般从两个方面 进行:（1）定义,即<m></m>是否为常数;（2）通项公式是否 为关于<m></m>的一次函数. 2.注意新构成的数列的首项与公差. 课 中 探 究 20 探究点三 等差数列单调性的应用 例3（1）已知等差数列的公差 ，给出下列四个命题： ①数列是递增数列；②数列是递增数列；③数列 是递 增数列；④数列 是递增数列. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 课 中 探 究 21 [解析] 对于等差数列，， 数列 是递增 数列，故①是真命题． 对于数列，第项与第 项的差等于 ，不一定是正实数，故②是假命题． 对于数列，第项与第项的差等于 ，不一定是正实数， 故③是假命题． 对于数列，第项与第 项的差等于 ， 数列 是递增数列，故④是真命题． 故选B. 课 中 探 究 22 （2）［2025·江苏南京一中高二质检］设等差数列 满足 ，，则使的 的最大值是___. 8 [解析] 因为 ， ，所以,,, ，故等差 数列是递减数列，所以使的 的最大值为8. 课 中 探 究 23 变式 ［2025·江苏南通中学高二质检］ 已知数列是首项为 ， 公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的 ， 都有成立，则实数 的取值范围是_________． [解析] 因为对任意的，都有 成立，且 ，所以, 又等差数列 的公差为1，所以数列为递增数列， 所以即解得 , 即实数的取值范围是 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 等差数列<m></m>的公差为<m></m>，则<m></m>为递增数列； <m></m>为递减数列；<m></m>为常数列． 课 中 探 究 25 课后习题 26 1.在等差数列中，，则 ( ) A.0 B.1 C. D.3 [解析] 设等差数列的公差为,由 得 ，即, ， ,故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 2.已知数列为等差数列，且 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为数列为等差数列，且 ,所以 ，解得 ，所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 3.设是等差数列，则“”是“数列 是递增数列”的 ( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 设等差数列的公差为，若 ， 则,所以数列 是递增数列,即充分性成立； 若数列是递增数列，则 ，即必要性成立. 所以“”是“数列 是递增数列”的充要条件.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 4.已知等差数列中，，是 的两根，则 ( ) A.248 B.60 C.12 D.4 [解析] 由方程，可得 ， 所以，则 ， 所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 5.已知等差数列递增且满足，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. [解析] 设的公差为，则, ，，， ， ， ．故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 6.（多选题）若,,,,均不为0 成等差数列，则下列说法正确的 是( ) A.，， 一定成等差数列 B.，， 可能成等差数列 C.，， 一定成等差数列 D.,, 可能成等差数列 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 [解析] 对于A，令，，，则， ， ,不满足,此时，， 不成等差数列,故A错误； 对于B，令,则，满足 ,故B正确； 对于C，,,成等差数列， , ，即 ， ，一定成等差数列，故C正确； 对于D，令 ,则,满足,故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 7.在首项为31，公差为 的等差数列中，绝对值最小的项是____. [解析] 设题中数列为,因为数列是首项为31，公差为 的等差数 列，所以数列的通项公式为. 当时 ；当时. 又， ，所以绝对值最小的项为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 8.若等差数列满足，则 的取值范围为______________ _____. [解析] 由等差数列的性质可得 ， 又，所以或， 故 的取值范围为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 9.（13分）首项为，公差为的等差数列 满足下列两 个条件： ； ②满足的 的最小值是15. 试求公差和首项 的值. 解：，,.令 ，即 ，得 ， 满足的 的最小值是15，, ， 又,, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 10.（13分）已知数列的首项 ，且满足 ，令 ． （1）求证：数列 为等差数列； 证明：， ， 即． 又，是首项为 ，公差为1的等差数列． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 （2）求数列 中的最小项． 解：由，得． ，， ， 当时，， 数列中的最小项为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 11.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五 尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思 是:现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重 四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?根据已 知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为 ( ) A.7斤 B.8斤 C.9斤 D.10斤 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 [解析] 由题意可知，金锤每尺的重量数成等差数列，设此数列为 ,细的一端所截下的一尺的重量为 斤，则 ， ， 根据等差数列的性质可知 ， 则中间三尺的重量为 （斤）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 12.［2025·江苏淮阴中学高二质检］已知数列 满足 ,, ，则 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 [解析] ， 是等差数列． 由等差数列的性质可得, ， ，， ．故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 13.（多选题）［2025·江苏扬州中学高二调研］ 已知递增等差数列 满足 ，则下列各式一定成立的有 ( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 设等差数列的公差为，易知， 等差数列 满 足 ， 且， ，,则 ，故B，D正确，A错误. ， ， ，故C错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 14.［2025·山东济宁一中高二月考］已知函数在 上单调， 且函数的图象关于直线对称，若数列 是公差 不为0的等差数列，且，则 等于____. [解析] 由题意，函数的图象关于直线 对称，则函 数的图象关于直线对称，且在 上单调， 因为，且数列 是公差不为0的等差数列，所以 ,所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 15.（多选题）［2025·福建厦门一中高二质检］ 在等差数列 中 每相邻两项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构 成一个新的等差数列.若是数列中的项，则 的值可能为 ( ) A.1 B.3 C.5 D.7 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 由题意得，插入个数，则， ， ，， ,所以等差数列 中的项在新的等差 数列中间隔排列，且各项序号依次成以1为首项， 为公差的 等差数列，所以. 因为是数列 中的项，所以令,, ， 则,,,当 时，解得 ，当时，解得，当时，解得，故 的可 能取值为1,3,7，故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 16.［2025·江苏梁丰中学高二调研］已知等差数列 满足 ，则 _ __． [解析] 因为数列 是等差数列，所以 ，解得 ,所以. 令 ，则 ，故,解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 $