微突破（三）与圆有关的轨迹问题(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦与圆有关的轨迹问题，系统讲解定义法、直接法、相关点法、几何法四种求解方法，通过例题与变式题衔接前后知识，构建从定义理解到几何性质应用的学习支架，帮助学生梳理解题脉络。 其亮点是以具体问题为载体，结合数学眼光抽象轨迹本质、数学思维推理求解过程、数学语言表达坐标方程，如例3用相关点法转化动点关系，培养学生转化思想。学生能提升解题能力，教师可高效开展专题教学。

微突破（三） 与圆有关的轨迹问题 1 一、定义法 二、直接法 三、相关点法 四、几何法 ◆ 课后习题 2 一、定义法 定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程. 例1 设为圆上的动点，是圆的切线，且 ， 则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得 ，由题意可得圆心 到点的距离为，所以点在以为圆心， 为半径的圆 上，所以点的轨迹方程是 .故选B. √ 3 变式 已知点，，，动点满足，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知，点在以线段为直径的圆上，令 ,则 ，所以的取值范围为与圆 上 的点的距离的取值范围， 又圆心与 的距离, 圆的半径为2，所以 的取值范围为，即 .故选C. √ 4 二、直接法 直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列 出等式，然后化简求出动点轨迹方程的一种方法.此法的一般步骤为： 建系、设点、列式、化简、限制说明. 5 例2 在平面直角坐标系中，已知圆，点 ， 过动点作圆的切线，切点为.若，则 的最大值为 ( ) A. B. C. D. [解析] 设,因为与圆相切，为切点， ，所以 ，所以 ， 所以,整理得, 所以点 的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 易知点 在该圆内，所以的最大值为 .故选A. √ 6 变式 若点到,的距离之比为，则点 到直线 的距离的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 设，由，， ，得 ，化简得， 所以点 的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 则圆心到直线 的距离, 所以点到直线 的距离的最小值为 .故选A. √ 7 三、相关点法 若动点随着圆上的另一动点运动而运动，且,可用 , 表示，则可将点的坐标代入已知圆的方程，即得动点 的轨迹方程. 例3 设定点，动点在圆上运动，以， 为 两边作平行四边形（其中为坐标原点），求点 的轨迹. 8 解:设， ， 则由，得 . 当,, 共线时，不构成平行四边形，此时 解得 或 得到点和，故点 的轨迹为圆 ，除去点和 . 变式 已知点在圆上运动，，点为线段 的中 点，求点 的轨迹方程. 解:设点，，因为点是线段 的中点，所以 , ， 则，，即， 因为点 在圆 上运动， 所以，整理得，所以点 的 轨迹方程为 . 10 四、几何法 利用圆的几何性质求轨迹方程，主要是利用平面几何中常用的性质： 直角三角形斜边中线定理；三角形的中位线定理；等腰三角形的三 线合一；平面四边形若两个对角互补（或一个外角等于它的内对 角），则四点共圆等. 11 例4 如图，为圆外一动点，过点 作圆的切线，，切点分别为， ， ，直线与相交于点 ，点 ，则 的最小值为( ) A. B.2 C. D. √ 12 [解析] 由题意及圆与切线的平面几何性质知， ，又，所以 . 在直角三角形中，，由 ， 得，所以点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，则 的最小值为 . 故选A. 13 变式 已知圆，圆，若圆 上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为， ，使得 ，则实数 的取值范围是( ) A.， B.， C.， D.， √ 14 [解析] 由题可知圆的半径为，因为，所以 ， 在中，可求得，所以点在圆 上. 因为点也在圆上，所以两圆有公共点. 又圆 的半径等于1，圆心为， 所以,即 , 所以， .故选D. 15 课后习题 16 1.已知两点，，若动点满足 ， 则“”是“动点 的轨迹是圆”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 设，由 ，可得 ，整理得. 当 时，，故点为定点 ，不是圆， 所以充分性不成立. 当动点的轨迹是圆时，，故必要性成立，所以“”是“动点 的轨迹是圆”的必要且不充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 17 2.在圆上任意取一点，过点作 轴的垂线段 ，为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点 的轨迹方程 是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点 重合）( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 18 [解析] 设的坐标为，的坐标为，则 ，所以由 中点坐标公式可得所以 因为点在圆 上运动， 所以,所以 ，即 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 3.已知圆，为圆外的任意一点，过点引圆 的两条切线，，切点分别为，，使得，则点 的轨 迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 连接，，，由圆的几何性质可知， ， 又因为且，所以四边形为正方形， 因为圆 的圆心为，半径为，所以， 故点 的轨迹方程为 ，故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 20 4.［2025·河南焦作高二期中］已知点,，若在直线 上 有唯一点满足，且有唯一点满足 ，则符合条件 的 有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 21 [解析] 因为，所以在以线段 为直径的圆上，该圆的方 程为. 令 ，由题意知， 整理得 ， 所以直线与圆， 均有且只有一个交点， 即直线与两圆都相切， 又两圆的圆心距为5，半径之和为7，故两圆相交，它们的公切线有2条， 所以符合条件的 有2条.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 5.［2025·江苏扬州中学高二质检］设，过定点 的直线 和过定点的直线交于点 ， 则 的最大值为( ) A.5 B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 23 [解析] 由，得，易知直线 的斜率 ，过定点. 由 ，得， 易知直线的斜率，过定点 . 连接，因为，所以两直线垂直，所以 , 即,所以点的轨迹为圆的一部分. 设, ,则有,设 ，则 ，易知当直线 与圆 相切时，取得最值，此时满足，可得 ， 则 的最大值为5.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 24 6.若动点在圆上移动，则与定点 连线 的中点 的轨迹方程为_________________. [解析] 设，中点，则即 因为 在圆 上，所以 ，即,所以点 的轨 迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 25 7.已知平面直角坐标系内一动点，圆 上存在一点 ，且 ，则所有满足条件的点 构成图形的面积为____. [解析] 当与圆相切时， ，这种情 况为临界情况，记此时点的一个位置为 . 当时无法找到点使 ， 时，可以找到使 ，故满足条件的点 形成的 图形为如图所示的大圆（包括内部）， 由圆 ，可知圆心，半径为1， 则大圆的半径为 ， 所以所有满足条件的点构成图形的面积为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 26 8.（13分）［2025·浙江金华高二期中］ 已知圆 分别 与轴的正半轴、轴的正半轴交于点,，点为圆 上的动点. （1）若线段上有一点，满足，求点 的轨迹方程； 解：根据题意得，， ， 设,，则, ， 因为，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 27 则得 因为点在圆上，所以 ，整理得 ，故点的轨迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）若点异于，两点，直线与轴交于点，直线与 轴 交于点，证明： 为定值. 证明：设，则，直线 的方程为 ，令，则，直线 的方程为 ，令，则 ， 则,,所以 ， 即 为定值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 29 $