2.1.3与圆有关的轨迹问题课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“与圆有关的轨迹问题”，核心涵盖定义法、直接法、代入法求轨迹方程。通过典型例题（如圆外点引割线求弦中点轨迹）导入，逐步呈现不同方法应用，形成从具体问题到通性通法的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以“通性通法”为核心，各题型后总结策略，如定义法强调圆的定义及轨迹与方程区别，直接法梳理等量关系，代入法明确坐标转换步骤。结合线段滑动求中点轨迹、动点距离比求轨迹等实例，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理逻辑联系的能力，通过训练强化数学语言表达。学生易掌握规范步骤，教师可借助清晰结构提升教学效率。

第3课时　 与圆有关的轨迹问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 定义法求轨迹方程 【例1】　由圆 x2＋ y2＝9外一点 P （5，12）引圆的割线交圆于 A ， B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：如图，∵点 M 是 AB 的中点，∴ OM ⊥ AB ，∴点 M 的轨迹是以 OP 为直径的圆，圆心为（ ，6），半径为 ＝ .∴圆的方程为（ x － ）2＋（ y －6）2＝ （ ）2，化简得 x2＋ y2－5 x －12 y ＝0.故点 M 的轨迹 为圆 x2＋ y2－5 x －12 y ＝0在圆 x2＋ y2＝9内的部分. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 定义法求轨迹方程的策略 （1）当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆 的方程； （2）注意轨迹与轨迹方程的区别. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 线段 AB 长度为4，其两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 中点的轨迹所围成图形的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　∵ OA ⊥ OB ，设 P 为线段 AB 中点，∴ OP ＝ AB ＝2，设 P （ x ， y ），则 ＝2，即 x2＋ y2＝4.则线段 AB 中点的轨迹是以 坐标原点为圆心，2为半径的圆，故线段 AB 中点的轨迹所围成图形的 面积为4π.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型二 直接法求轨迹方程 【例2】　点 B （1，1）是圆 x2＋ y2＝4内一点， P ， Q 为圆上的动点. 若∠ PBQ ＝90°，求线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：设线段 PQ 的中点 N （ x ， y ）， 在Rt△ PBQ 中， PN ＝ BN . 设 O 为坐标原点，连接 ON （图略），则 ON ⊥ PQ ， ∴ OP2＝ ON2＋ PN2＝ ON2＋ BN2， ∴ x2＋ y2＋（ x －1）2＋（ y －1）2＝4， 整理得 x2＋ y2－ x － y －1＝0， ∴线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程为 x2＋ y2－ x － y －1＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略 　　直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标（ x ， y ），然后根 据题目中的等量关系列出 x ， y 之间的关系并化简.主要有以下两 种常见类型： （1）题目给出等量关系，求轨迹方程.可直接代入，得出方程； （2）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等 量关系，得出方程. 提醒　求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知动点 M 与两个定点 O （0，0）， A （3，0）的距离之比为 ，则 动点 M 的轨迹方程为 ⁠. 解析：设动点 M （ x ， y ），∵动点 M 与两个定点 O （0，0）， A （3，0）的距离之比为 ，∴ ＝ ，化简得动点 M 的轨 迹方程为 x2＋ y2＋2 x －3＝0. x2＋ y2＋2 x －3＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型三 代入法求轨迹方程 【例3】　已知圆 C ：（ x －3）2＋ y2＝9， D 是圆 C 上的动点，点 E （2，4），若动点 M 满足 ＝2 ，则点 M 的轨迹方程为（　　） A. 2 x ＋ y ＋3＝0 B. xy ＝9 C. （ x －1）2＋（ y －8）2＝9 D. （ x －8）2＋（ y －1）2＝9 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　设 M （ x ， y ）， D （ a ， b ），由 ＝2 ，得 所以又因为点 D 在圆 C ：（ x －3）2＋ y2＝9上，所以（4－ x －3）2＋（8－ y ）2＝9，即（ x －1）2＋（ y － 8）2＝9，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 代入法求轨迹方程的步骤 （1）设动点 P （ x ， y ），相关动点 M （ x0， y0）； （2）利用条件求出两动点坐标之间的关系 （3）代入相关动点的轨迹方程； （4）化简、整理，得出所求轨迹方程. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ）   解析：设 Q （ x ， y ）（ y ≠0），则 P （2 x ，2 y ），代入圆 C ： x2＋ （ y －1）2＝1，可得（2 x ）2＋（2 y －1）2＝1，即 x2＋（ y － ）2＝ ，∴点 Q 的轨迹方程为 x2＋ ＝ （ y ≠0）. x2＋（ y － ）2＝ （ y ≠0）　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 1. 已知点 A 的坐标是（－1，0），点 M 满足 MA ＝2，那么点 M 的轨 迹方程是（　　） A. x2＋ y2＋2 x －3＝0 B. x2＋ y2－2 x －3＝0 C. x2＋ y2＋2 y －3＝0 D. x2＋ y2－2 y －3＝0 解析：　由 A （－1，0），点 M 满足 MA ＝2，由圆的定义知，点 M 的轨迹为圆，其圆心为 A （－1，0），半径 r ＝2，故其方程为 （ x ＋1）2＋（ y －0）2＝4，即 x2＋ y2＋2 x －3＝0，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 点 P （4，－2）与圆 x2＋ y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 （　　） A. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1 B. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝4 C. （ x ＋4）2＋（ y －2）2＝4 D. （ x ＋2）2＋（ y －1）2＝1 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　设圆上任一点为 Q （ x0， y0）， PQ 的中点为 M （ x ， y ），则解得因为点 Q 在圆 x2＋ y2＝4 上，所以 ＋ ＝4，即（2 x －4）2＋（2 y ＋2）2＝4，化简得 （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 3. 已知动点 M 到点（8，0）的距离等于点 M 到点（2，0）的距离的2 倍，则点 M 的轨迹方程是 ⁠. 解析：设 M （ x ， y ），则 ＝2 ，整理可得点 M 的轨迹方程为 x2＋ y2＝16. x2＋ y2＝16　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $