第3章 再练一课(范围：§3.1)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦椭圆的标准方程、离心率、焦点及直线与椭圆位置关系等核心知识，通过基础选择、填空到综合解答题的梯度设计，搭建从椭圆定义、基本量关系到焦点三角形、弦长计算的学习支架。 其亮点在于解析过程逻辑严谨，如第7题离心率分类讨论培养数学思维，第14题用韦达定理和弦长公式结合基本不等式求面积最大值体现数学语言表达。丰富实例帮助学生提升推理与运算能力，教师可直接用于课堂练习与讲解，提高教学效率。

再练一课(范围：§3.1) 第3章　圆锥曲线与方程 <<< 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A B C A BC ACD 题号 9 10 11 12 答案 BCD ＝1 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 由题设知c＝2，，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12. ∴所求椭圆的标准方程为＝1. (2)由(1)及椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝8， ∴P＋P＋2PF1·PF2＝64， 又PF1·PF2＝16，∴P＋P＝32， 由余弦定理得cos∠F1PF2＝， ∵∠F1PF2∈[0，π)，∴∠F1PF2＝. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由题意知解得b＝. 故所求椭圆M的方程为＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，则m≠0. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 把直线l的方程代入椭圆方程并化简得x2＋mx＋m2－2＝0， 由Δ＝2m2－4(m2－2)＝2(4－m2)>0， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 可得0<m2<4. ① x1＋x2＝－m， x1x2＝m2－2. 故BC＝|x1－x2|＝· ＝×， 又点A到边BC的距离为d＝， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故S△ABC＝BC·d＝××≤×， 当且仅当m2＝4－m2， 即m＝±时取等号，满足①式. ∴△ABC面积的最大值为. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由题意，得 解得 所以椭圆C的方程是＝1. (2)由(1)得c＝1，所以F(－1，0)， 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当直线l的方程为y＝0时， 不妨设A(－，0)，B(，0)， 则·＝(1－，0)·(1＋，0)＝－2≠－1，不符合题意； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my＋2， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得(3＋2m2)y2＋8my＋2＝0，Δ＝8(6m2－3)>0⇒m2>. 则y1＋y2＝，y1y2＝， 由·＝－1，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝－1. 由x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，可得， (my1＋3)(my2＋3)＋y1y2＝－1， 整理得(m2＋1)y1y2＋3m(y1＋y2)＋10＝0. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即＝0， 解得m2＝16>. 所以m＝4或m＝－4. 故直线l的方程为x－4y－2＝0或x＋4y－2＝0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.已知点A，B是椭圆C：＝1上关于原点对称的两点，F1，F2分别 是椭圆C的左、右焦点，若AF1＝2，则BF1等于 A.1 B.2 C.4 D.5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为OA＝OB， OF1＝OF2， 所以四边形AF1BF2是平行四边形. 所以BF1＝AF2. 由椭圆的定义得AF2＝2×3－AF1＝6－2＝4. 所以BF1＝4. 解析 2.已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为 A.＝1　　　 B.＝1或＝1 C.＋y2＝1　　　 D.＋y2＝1或＋x2＝1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题可知b2＝a2－c2＝1， 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋y2＝1； 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋x2＝1. 解析 3.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.不存在 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 连接QA(图略).由已知得QA＝QP，所以QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r. 又因为点A在圆内，所以OA<OP， 根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆. 解析 4.直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＝1的位置关系是 A.相离 B.相交 C.相切 D.无法判断 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题知，直线恒过定点(2，1)，将点(2，1)代入 <1，故点(2，1)在椭圆内，直线与椭圆相交. 解析 5.若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 A.＋y2＝1 B.＝1 C.＋y2＝1或＝1 D.以上答案都不对 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0). 当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＝1(a>b>0). 由题意知，c＝2，b＝1，∴a2＝5， ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1； 当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为＝1(a>b>0)， 由题意知，b＝2，c＝1， ∴a2＝5. ∴椭圆的标准方程为＝1. 解析 6.直线y＝2x与椭圆C：＝1(a>b>0)的交点在x轴上的射影恰好是椭 圆的焦点，则椭圆C的离心率为 A.－1 B. C.－1 D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设在第一象限的交点为A，右焦点为F(c，0)，如图， 根据题意得AF⊥x轴，A在椭圆上， 由＝1， 解得yA＝，则A，又A在直线y＝2x上，则A(c，2c)， 所以2c＝，b2＝2ac，a2－c2＝2ac， 所以e2＋2e－1＝0，又0<e<1， 解得e＝－1. 解析 二、多项选择题 7.若椭圆＝1的离心率为，则k的值可能为 A.－21 B.21 C.－ D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当椭圆的焦点在x轴上时，9>4＋k，即k<5.则a2＝9， b2＝4＋k，得c2＝5－k. 由，得k＝－； 当焦点在y轴上时，9<4＋k，即k>5，则a2＝4＋k，b2＝9， 得c2＝k－5. 由，得k＝21. 解析 8.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直 线l：4x－3y＝0与椭圆相交于A，B两点.若AF＋BF＝6，点P到直线l的距 离不小于，则椭圆离心率的取值可以是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设椭圆的左焦点为F'，P为短轴的上端点，连接AF'，BF'，如图所示. 由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则OA＝OB， 又OF'＝OF，∴四边形AFBF'为平行四边形， ∴AF＝BF'， 又AF＋BF＝BF＋BF'＝2a＝6，解得a＝3， 点P到直线l距离d＝≥，解得b≥2，即≥2， ∴0<c≤， ∴e＝∈. 解析 9.我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列说法正确的是 A.椭圆＝1是黄金椭圆 B.在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，且点A在以B，C为焦点的黄金椭圆 上，则△ABC的周长为6＋2 C.过黄金椭圆＝1(a>b>0)的右焦点F(c，0)作垂直于长轴的直线， 交椭圆于A，B两点，则AB＝(－1)a D.设F1，F2是黄金椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满 足∠F1PF2＝90°的点P不存在 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，在椭圆＝1中，a＝4，c＝＝2，离心率e＝，A错误； 对于B，黄金椭圆的半焦距c＝2，则长半轴长a＝＋1， 因此△ABC的周长为2a＋2c＝6＋2，B正确； 对于C，由得|y|＝， 则AB＝＝2a－2a·＝(－1)a，C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于D，设黄金椭圆的上顶点为B，则sin<<45°，∠F1BF2<90°，又∠F1PF2≤∠F1BF2，因此黄金椭圆C上 满足∠F1PF2＝90°的点P不存在，D正确. 解析 三、填空题 10.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长 的2倍，则该椭圆的标准方程是　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝1 由已知得，焦点在x轴上且c＝2，a＝2b，所以4b2－b2＝12， 所以＝1. 解析 11.已知椭圆＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差 法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得，e＝. 解析 12.已知点P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由椭圆＝1，得a＝5，b＝3，c＝4. 设PF1＝m，PF2＝n， ∴m＋n＝10，在△PF1F2中， 由余弦定理可得(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2 ＝(m＋n)2－2mn－2mn·， 可得64＝100－mn，得mn＝， 故mn·sin∠F1PF2 ＝××. 解析 四、解答题 13.已知椭圆的两焦点为F1(0，－2)，F2(0，2)，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 由题设知c＝2，，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12. ∴所求椭圆的标准方程为＝1. 解 (2)设点P在椭圆上，且PF1·PF2＝16，求∠F1PF2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)及椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝8， ∴P＋P＋2PF1·PF2＝64， 又PF1·PF2＝16，∴P＋P＝32， 由余弦定理得cos∠F1PF2＝， ∵∠F1PF2∈[0，π)，∴∠F1PF2＝. 解 14.已知椭圆M：＝1(a>b>0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A(，1)在椭圆M上.直线l的斜率为，且与椭圆M交于B，C两点. (1)求椭圆M的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知解得b＝. 故所求椭圆M的方程为＝1. 解 (2)求△ABC面积的最大值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设直线l的方程为y＝x＋m，则m≠0. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 把直线l的方程代入椭圆方程并化简得x2＋mx＋m2－2＝0， 由Δ＝2m2－4(m2－2)＝2(4－m2)>0， 可得0<m2<4. ① x1＋x2＝－m， x1x2＝m2－2. 故BC＝|x1－x2|＝· 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝×， 又点A到边BC的距离为d＝， 故S△ABC＝BC·d＝××≤×， 当且仅当m2＝4－m2， 即m＝±时取等号，满足①式. ∴△ABC面积的最大值为. 解 15.已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，得 解得 所以椭圆C的方程是＝1. 解 (2)过点M(2，0)的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若·＝－1，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)得c＝1，所以F(－1，0)， 当直线l的方程为y＝0时， 不妨设A(－，0)，B(，0)， 则·＝(1－，0)·(1＋，0)＝－2≠－1，不符合题意； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得(3＋2m2)y2＋8my＋2＝0，Δ＝8(6m2－3)>0⇒m2>. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则y1＋y2＝，y1y2＝， 由·＝－1，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝－1. 由x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，可得， (my1＋3)(my2＋3)＋y1y2＝－1， 整理得(m2＋1)y1y2＋3m(y1＋y2)＋10＝0. 即＝0，解得m2＝16>. 所以m＝4或m＝－4. 故直线l的方程为x－4y－2＝0或x＋4y－2＝0. 解 第3章　圆锥曲线与方程 <<< $