微突破（二）与圆有关的最值问题(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦与圆有关的最值问题，涵盖斜率型、截距型、距离型、面积型四类题型，通过“定义阐释—例题解析—变式训练”的学习支架，帮助学生从代数表达式到几何意义的转化，构建前后知识联系。 其亮点在于以数学眼光将代数问题转化为几何直观，如斜率型转化为动直线斜率，截距型转化为直线截距，结合数学思维中的推理能力（圆心到直线距离公式应用），用数学语言（方程、公式）系统表达解题过程。学生能提升数形结合能力，教师可借助分类题型和解题模板提高教学效率。

微突破（二） 与圆有关的最值问题 1 一、斜率型 二、截距型 三、距离型 四、面积型 ◆ 课后习题 2 一、斜率型 形如的最值问题，可转化为过定点 的动直线斜率的最值 问题求解. 3 例1 已知点在圆上运动，则 的最大 值为( ) A. B. C. D. [解析] 可看作圆上的点与点 的连线的斜率的相反数. 当经过点 的直线与上半圆相切时，直线的斜率最小，此时直 线为切线，设切线方程为 ， 因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得, 故当 时，直线斜率最小，此时最大，最大值为 ， 故选C. √ 4 变式 已知为圆 上任意一点，则 的最大值为___. [解析] 因为，所以表示和 连线的斜 率，设，当直线与圆相切时， 取得最大值， 设此时直线的方程为，即 ， 又圆心为，半径为1，所以，解得， 故 的最大值为 . 5 二、截距型 求形如 的最值，可转化为求动直线截距的最值.具体方法 是：当直线与圆相切时，直线在 轴上的截距取得最值. 例2 已知点是圆 上的动点，若圆 经过点，则 的最大值与最小值之和为( ) A.4 B. C. D. √ 6 [解析] 因为圆 经过 点，所以，又 ，所 以 可看成直线在 轴上的截距.如图所示， 当直线与圆相切时，在 轴上的截距 取得最大值或最小值， 此时，解得，所以 的最大值为， 最小值为，故 的最大值与最小值之和为 . 故选C. 7 变式 已知点在圆上运动，则 的最大 值为_______，最小值为_______. [解析] 设，整理得，则 表示直线 在轴上的截距. 当该直线与圆相切时， 取得最大值或最小值，所以， 解得，所以 的最大值为，最小值为 . 8 三、距离型 求形如 的最值，可转化为圆上的点到定点的 距离的最值，即把 看作是点与圆上的点 的距离的平方，利用数形结 合法求解. 9 例3 若平面内两定点，间的距离为2，动点满足 ,则 的最大值为__________. [解析] 由题可知，，不妨设，， , 则,,由，得 , 整理得,得,显然 ,所以 ,解得. 则 . ,所以当时， 取得最大值 . 10 变式 已知为圆 上任意一点， 则 的最大值为_________. [解析] 由，得 ， 故圆心为，半径. 又表示圆 上的点到点 的距离， 所以其最大值为 . 11 四、面积型 如图，从圆外任意一点向圆 引两条切线， 两切点为,，我们把线段， 的长度叫切线 长.设圆的半径为 ，则 ， 当半径给定时，四边形的面积最小值当 取最小值时取得. 12 例4 已知圆的方程为，点是直线 上的 一个动点，过点作圆的两条切线，，， 分别为切点，则 四边形 的面积的最小值为____. [解析] 由圆，可得圆心为 ， 半径,由题可得， ， ，如图，所以 . 13 在 中，由勾股定理可得 ，所以当 取得最 小值时， 取得最小值，此时所求的面积也取 得最小值. 因为点是直线 上的动点， 所以当时， 取得最小值，最小值为， 此时 ，所以所求四边形的面积的最小值为 . 变式 若是直线上的一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为， ，则四边形 面积的最小值为( ) A. B. C. D. √ 15 [解析] 圆的圆心坐标为，半径 .因为 直线与圆相切，所以 ，且 ,所以 四边形的面积 . 又，所以当取得最小值时， 取得 最小值，四边形的面积也取得最小值.易知的最小值即为点 到直线的距离， 所以 ，所以, 所以四边形面积的最小值为 ，故选B. 16 课后习题 17 1.［2025·广东茂名高二期中］若为圆 上任意一点，点，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得 ， 故圆的圆心为，半径 ， 因为，所以点 在圆的内部， 且， 所以 的取值范围为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 18 2.已知点是圆上任意一点，则 的最大值是 ( ) A. B. C. D. [解析] 如图，的几何意义为圆 上的动点与原点连线的斜率，由图可知，当动点 与重合时，与圆相切（其中 为坐标原点）， 此时的最大值为所在直线的斜率. 易知 ，则 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 19 3.已知点在圆 上运动，则 的最大值为( ) A.16 B.24 C.36 D.64 [解析] 由题得圆的圆心为，半径 表示圆上的点到点的距离的平方，可得 ，所以 ，则 的最大值为64.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 20 4.［2025·江苏苏州中学高二月考］直线分别与轴， 轴交于点,，点在圆上，则 面积的取值 范围是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 21 [解析] 由题可知,，则 ，由圆 可知圆的圆心为，半径 ，则圆心 到直线的距离. 设点 到直线的距离为，则 即，所以 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 22 5.［2025·河南商丘高二期中］过圆外一点 作 圆的切线，切点为，若，则 的最大值为 ( ) A. B. C. D.8 [解析] 依题意得，，即.则点 在 以 为圆心，2为半径的圆上，如图， 方法一： ， 当且仅当,时等号成立，故 的最大值为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 23 方法二：设 ，由题意知直线 与圆： 有公共点， 则，解得 ，当且仅当直线 与圆 相切时取等号. 故的最大值为 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 24 6.已知实数，满足方程，则 的最大值 和最小值分别为____________________. ， [解析] 由，得 ，所以该方程 表示圆，该圆的圆心为，半径. 令 ，即， 则圆心到直线的距离 ， 所以，即的最大值为 ，最小值 为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 25 7.已知圆，点在直线 上运动， 过点作的两条切线，切点分别为，，当四边形 的面积取 得最小值时， ______. [解析] 如图所示，由题可知， ， ，又因为， ，所以 . ，圆心为，半径 ， 所以，当与直线 垂直时， 取得最小值,且，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 26 所以 ，取等号 时 ，因此， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 8.（13分）［2025·江苏徐州一中高二质检］ 已知直线 ，圆与轴的正半轴、 轴的正半轴都相切，且 圆心到直线 的距离为3. （1）求圆的方程； 解： 圆与轴的正半轴、轴的正半轴都相切， 圆 的方程可设 为 ， 圆心到直线 的距离为3， ，可得 ， 圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 28 （2）是直线上的动点，，是圆的两条切线，， 分别为切 点，求四边形 的面积的最小值. 解：， 是圆的两条切线， ，分别为切点，，， ， ， . 由题可知，， ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 29 则， 当斜边取得最小值时， 取 得最小值，此时四边形 的面积取得最小值. 即为点到 的距离， 由（1）知，，即 ， 的面积的最小值为， 四边 形的面积的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 30 $