第2章 05 与圆有关的最值问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“与圆有关的最值问题”，涵盖距离、斜率、截距等六类常见题型，以转化与化归为核心解题思路。课堂导入可衔接圆的方程、圆心半径等前置知识，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生系统构建知识脉络。 其亮点在于通过典例解析（如将军饮马模型求PM+PD最小值、参数方程解y-x最值），结合数形结合思想，培养数学思维（逻辑推理）与数学眼光（几何直观）。采用通法总结与实例结合的教学方法，学生能提升解题转化能力，教师可高效开展专题教学。

第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 05　与圆有关的最值问题 方法技巧 第1讲　描述运动的基本概念 与圆有关的最值问题的常见题型及解题思路 　　已知P(x,y)为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上的动点. (1)求点P到圆外或圆内一点Q的距离的最值,将其转化为圆心C与点Q间的距离,则距离的最大值为CQ+ r,最小值为|CQ-r|. (2)若圆C与直线l相离,则求点P到直线l的距离的最值的思路是将其转化为圆心C到直线l的距离(记为d), 此时P到直线l的距离的最大值为d+r,最小值为d-r.若圆C与直线l相交或相切,则点P到直线l的距离的最 大值为d+r,最小值为0(d为圆心C(a,b)到直线l的距离). (3)求形如μ= 的最值问题,将其转化为动点P(x,y)与定点(m,n)连线的斜率的最值问题,求解时将μ=  整理为直线方程的一般式,然后令直线与圆相切,寻找斜率μ取值的临界位置,从而确定最值或范 围. 第1讲　描述运动的基本概念 (4)求形如u=mx+ny的最值问题,将其转化为动直线截距的最值问题,取值的临界位置一般是直线与圆相 切时的截距;也可以利用圆的参数方程求解,令 (θ为参数,θ∈[0,2π)),然后利用三角函数的 相关知识求解,该思路更为简便些. (5)求形如t=(x-m)2+(y-n)2的最值问题,将其转化为动点P(x,y)与定点(m,n)间的距离的平方的最值问题,求 解思路同(1);也可以利用参数方程来求解,但相对来说运算量较大. (6)求形如AP+AQ的与圆有关的折线段的最值问题(其中Q为另一圆上的动点,A为某条定直线上的动 点),求解时要立足两点:①“动化定”,即把与两圆上的动点间的距离转化为与两个圆心间的距离;② “曲化直”,将折线段转化为同一直线上的两线段,一般要通过作对称解决. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 求解与圆有关的最值问题,其通法是数形结合和转化与化归,其流程如下:   第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知点A(0,9),B(4,5),圆C是过A,B两点的面积最小的圆. (1)求圆C的标准方程; (2)若M(x,y)为圆C上任意一点. (i)求 的最大值和最小值; (ii)求 的最大值和最小值; (iii)求y-x的最大值和最小值; (iv)已知点D(1,1),P为直线x+y=0上任意一点,求PM+PD的最小值; (v)已知点F为圆E:(x-2)2+(y-3)2=1上任意一点,Q为x轴上任意一点,求QM+QF的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设圆心C到直线AB的距离为d,圆C的半径为r,其中d≥0,r>0. 易得AB= =4 , 由圆的几何性质可得r= = ≥2 , 当且仅当d=0,即圆心C是线段AB的中点时,半径最小,此时圆C的面积最小, 所以r=2 ,C(2,7), 故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-7)2=8. (2)(i) = 表示圆上的点M(x,y)与点(-2,3)之间的距离,记Q(-2,3). 由(1)知圆C:(x-2)2+(y-7)2=8,C(2,7),r=2 . 如图所示,连接QC并延长,交圆C于S,T两点, 当M与S重合时,MQ取得最小值,为QC-r= -2 =2 ; 第1讲　描述运动的基本概念 当M与T重合时,MQ取得最大值,为QC+r=6 . 故最大值为6 ,最小值为2 .   (ii) 表示圆上的点M(x,y)与点(-2,3)连线的斜率, 记N(-2,3),易知当直线MN与圆C相切时取得最值. 设lMN:y=k(x+2)+3, 则圆心C到lMN的距离d= =2 , 解得k=2± . 第1讲　描述运动的基本概念 故最大值为2+ ,最小值为2- . (iii)解法一:设y-x=z,即y=x+z,则z为过点M的直线y=x+z在y轴上的截距, 当该直线与圆相切时,此截距取得最值, 此时圆心C到该直线的距离d'= =2 , 解得z=1或z=9. 故最大值为9,最小值为1. 解法二:设 (θ为参数,θ∈[0,2π)), 则y-x=5+2 (sin θ-cos θ)=5+4sin , 因为θ∈[0,2π), 第1讲　描述运动的基本概念 所以θ- ∈ , 则sin ∈[-1,1], 所以y-x∈[1,9], 故最大值为9,最小值为1. (iv)设点D(1,1)关于直线x+y=0的对称点为D',则D'(-1,-1), 所以CD'= = , 所以PM+PD的最小值为 -2 . (关键点:将求PM+PD的最小值转化为求PC+PD的最小值,然后利用“将军饮马”模型求解) (v)设圆E:(x-2)2+(y-3)2=1关于x轴对称的圆为E',则圆E':(x-2)2+(y+3)2=1, 所以CE'=10, 第1讲　描述运动的基本概念 所以QM+QF的最小值为CE'-2 -1=9-2 . (转化为“将军饮马”模型求解) 思维提升　有时还会遇到与圆有关的其他最值问题,如面积的最值、周长的最值等,解题时要充分结合 图形的直观性进行分析,必要时转化为函数(一般函数、三角函数等)的最值问题来求解. 第1讲　描述运动的基本概念 $