2.1 圆的方程 第2课时 圆的一般方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，涵盖定义、特点、标准方程与一般方程互化、求解及实际应用。通过课前预习问题与诊断分析，衔接圆的标准方程，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于课中探究分层设计，如探究点一通过例题变式强化方程条件理解（数学思维的推理能力），探究点二用待定系数法求方程（数学语言的模型观念），探究点三结合圆拱桥、隧道问题（数学眼光的几何直观）。素养小结系统归纳方法，助力学生构建知识体系，提升逻辑推理与应用能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富实例，提高教学效率。

2.1 圆的方程 1 第2课时 圆的一般方程 2 探究点一 圆的一般方程的理解 探究点二 求圆的一般方程 探究点三 圆的一般方程的实际应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义. 2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化. 3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程. 4 知识点一 圆的一般方程 （1）定义：方程 （_________________） 叫作圆的一般方程，圆心为__________,半径为________________. （2）圆的一般方程的特点是: 和 的系数都是___; ②没有____这样的二次项; ___0. 课 前 预 习 5 注意：方程 并不一定表示圆,当其系数满 足时,它表示____;当 时,它表示一 个____;当时,方程 没有 实数解,它不表示任何图形. 圆 点 课 前 预 习 6 知识点二 轨迹方程 满足条件的点所构成的曲线即为动点 的轨迹，对应的方程即为 动点 的轨迹方程. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) √ （2）方程 一定是某个圆的方程.( ) × （3）若方程表示圆,则 .( ) √ （4）当时,圆 的圆心在 轴上.( ) × 课 前 预 习 7 2.我们知道，方程表示以 为圆心，2为 半径的圆.可以将此方程变形为 ，那么 所有圆的方程是否都能表示为方程①的形式呢？类似于方程①的方 程是否都表示圆呢？ 解：所有圆的方程都能表示为方程①的形式.类似于方程①的方程不一 定都表示圆，比如方程 就不表示任何图形. 课 前 预 习 8 探究点一 圆的一般方程的理解 例1 若方程 表示圆,求: （1）实数 的取值范围; 解:根据题意知 , 即,解得,故的取值范围为 . （2）该圆的圆心坐标和半径. 解:由 ， 得, , 故圆心坐标为,半径 . 课 中 探 究 9 变式 若方程表示圆，则实数 的取值范围 是( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：由 , 得，若该方程表示圆，则需满足 ， 解得，所以实数的取值范围是 .故选B. 方法二：若方程表示圆，则需满足，解得 ， 所以实数的取值范围是 .故选B. √ 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 判断方程<m></m>是否表示圆要“两看”. 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：<m></m>；<m></m>. 二看它能否表示圆.此时需要判断<m></m>是否大于0，或直接配 方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 课 中 探 究 11 探究点二 求圆的一般方程 例2（1）已知的三个顶点为,, ，求 外接圆的方程. 解:设外接圆的方程为 ， 其中,将，， 三点的坐标代入方程，整理可得 解得 故所求外接圆的方程为 . 课 中 探 究 12 （2）已知圆经过点,,且圆心在直线上,求圆 的一般方程. 解:设圆的一般方程为 ,其中 ,则圆心为 , 由题意得解得所以圆 的一般方程 为 . 课 中 探 究 13 变式 已知圆 的圆心在直线 上,且圆心在第二象限,半径为 .求: （1）圆 的一般方程; 解:由题可得，圆的标准方程为 , 则圆心为 ,半径为 , 所以解得 或又圆心在第二象限,所以, , 故圆的一般方程为 . 课 中 探 究 14 （2）圆关于直线 对称的圆的一般方程. 解:由（1）知圆的圆心为 , 设它关于直线对称的点为 , 则解得 所以圆关于直线 对称的圆的标准方程为 , 即所求圆的一般方程为 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 求圆的一般方程主要有两种方法:（1）定义法;（2）待定系数法.定 义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径，写出 标准方程，进而得到一般方程;待定系数法是列出关于<m></m>,<m></m>,<m></m>的方程 组,求出<m></m>,<m></m>,<m></m>,从而求得圆的一般方程. 课 中 探 究 16 探究点三 圆的一般方程的实际应用 例3 某地建了一座圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨 度为 ，拱高为 ，在该圆拱桥的示意图 中建立了如图所示的平面直角坐标系． 课 中 探 究 17 解：设这座圆拱桥所在圆的一般方程为 , ,因为该圆过点,,, 所以 解得 所以这座圆拱桥所在圆的一般方程为 , 标准方程为 , （1）求这座圆拱桥所在圆的方程； 课 中 探 究 18 （2）若该景区某游船宽，水面以上高 ，试判断该游船能否 从桥下通过，并说明理由. 解：不能.理由如下：当时，可得 , 可得 , 所以该游船不可以从桥下通过． 课 中 探 究 19 变式 某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长 方形的三边构成，如图所示，已知隧道总宽度 米， 行车道总宽度米，和 为相对的两个车道，侧端面 米，弧顶高 米. （1）求圆弧所在圆的半径. 课 中 探 究 20 解：设，以为原点， 所在直线 为轴，所在直线为 轴，建立如图所示的平面 直角坐标系，则，， ， 设圆的一般方程为， ， 因为，，在圆上，所以 解得 所以圆的一般方程为 ，标准方程为 ，所以圆弧所在圆的半径为6米. 课 中 探 究 21 （2）为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道 顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.5米，则该隧道规定的车辆限 制高度应为多少米？ 课 中 探 究 22 解：设限制高度为米，如图，过作 ， 交圆弧于，则 ， 由（1）知，圆的方程为 ， 将 代入圆的方程， 得，解得或 （舍）， 所以 ， 故隧道规定的车辆限制高度应为3.5米. 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 解决与圆有关的实际问题的一般方法： （1）建立适当的平面直角坐标系（一般以圆心作为原点），用坐标 和方程表示实际问题中的点、直线与圆. （2）利用与圆有关的知识，结合所求问题，求解圆的相关问题. （3）根据运算结果解释其实际含义，进而解决实际问题. 课 中 探 究 24 课后习题 25 1.经过点,且以 为圆心的圆的一般方程为( ) A. B. C. D. [解析] 圆心为,则半径 , 所以所求圆的方程为 ,即 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 2.过三点,, 的圆的方程是( ) A. B. C. D. [解析] 设圆的一般方程为 , ,将,, 三点的坐标代入方程,得 解得 故所求圆的方程为 ,故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 3.［2025·江苏常州二中高二期中］设甲：实数 ；乙：方程 表示圆，则甲是乙的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 若方程 表示圆，则 ，解得 ，所以甲是乙的必要且 不充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 4.［2024·山东临沂高二期中］已知圆 的 半径为 ,则( ) A.， B.， C.， D.， [解析] 由得 ， ， ．故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 5.已知点和点,动点满足 ,则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为,,动点 , 所以,. 又因为 , 所以 , 整理得, 所以点的轨迹方程为 . 故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 6.（多选题）方程， 表 示以 为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( ) A. B.圆关于直线 对称 C.原点在圆的内部 D. 的最大值为9 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 [解析] 由题意知，以 为圆心，4为半径的圆的标准方程为 ，即 ，故A正确； 因为圆心在直线上，所以圆关于直线 对称， 故B正确； 因为原点到圆心的距离为 ,大于半径,所以原点在圆的外部,故C错误； 的几何意义为圆上任意一点到点的距离， 所以 的最大值为圆心到点 的距离与半 径之和，为，D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 7.过坐标原点， 的圆的一般方程为_____________________. [解析] 设圆的一般方程为 ，因为圆过点 ， 和，所以解得 所以所求圆的一 般方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 8.已知线段的端点的坐标为，端点 在圆 上运动，则线段的中点 的轨迹方程为 __________________________. [解析] 设点的坐标为，点的坐标为，又，且 为线段的中点，所以则 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 因为点在圆上运动，所以 ， 所以 ，整理可得 ，所以中点 的轨迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 9.（13分）已知方程 表示圆. （1）求 的取值范围； 解： 因为方程 表 示圆， 所以 ，即 ，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 （2）求圆的圆心和半径； 解：圆的圆心为 ， 即，半径为 . （3）求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程. 解：圆的半径，所以当 时，取得最大值，此时圆的标准方程为 . 9.（13分）已知方程 表示圆. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 10.（13分）已知圆的圆心在直线上，且圆过点 ， . （1）求圆 的一般方程； 解： 设圆的方程为 ，其中 , 因为圆的圆心在直线上，且圆过点， ， 所以解得 故圆的一般方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 （2）若圆与圆关于直线对称，求圆 的一般方程. 解：由（1）得圆的标准方程为 ， 则圆的圆心为，半径 ， 设圆的圆心坐标为，因为圆与圆 关于直线 对称， 所以解得即 . 所以圆的标准方程为，所以圆 的一般方程 为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 11.［2025·山东莱芜一中高二期中］若点 是圆 内一点，则过点 的最长的弦所在 直线的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析] 圆的圆心坐标为 ，则过点 且过圆心 的弦最长，则最长的弦所在直线的斜率 ，故所求直线的方程为,即 ,故 选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 12.（多选题）［2025·江苏通州金沙中学高二月考］ 已知曲线 ，则下列说法正确的为( ) A.若，则 是圆 B.若，，则 是圆 C.若，，则 是直线 D.若，，则 是直线 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 对于A，当时，曲线 的方程为 ，若，则 是圆；若，则是 点；若，则 不存在，故A错误. 对于B,当时,曲线 的方程为， 又，所以 是圆，故B正确. 对于C，当时，曲线的方程为 ， 又，所以是直线，故C正确. 对于D，当， 时， 曲线的方程为，易知 不一定是直线,故D错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 13.［2025·江苏南通第一中学高二月考］已知点, , ,四点共圆，则点到坐标原点 的距离为___. 3 [解析] 设过,,的圆的方程为 ，其中 ，则 解得所以过 ,,的圆的方程为 . 又因为点在此圆上，所以，解得，所以点 到坐标原点的距离为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 14.已知，是圆上的两个动点， 是 线段的中点，若，则点 的轨迹方程为 ________________________. [解析] 由题可知圆的标准方程为 ，则圆心 为，半径为5.因为线段的中点为，所以 ， 又，所以，所以点在以 为圆心，4为半 径的圆上，其轨迹方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 15.［2025·广东深圳实验中学高二月考］如图， 是边长为1的 正三角形，点在 所在平面内，且 为常数 ，则下列结论中正确的是( ) A.当时，满足条件的点 有且只有一个 B.当时，满足条件的点 有三个 C.当时，满足条件的点 有无数个 D.当 为任意正实数时，满足条件的点总是有限个 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 以所在直线为轴，线段 的中点为原 点，建立平面直角坐标系，如图所示,则 ， ，， 设 ，可得， ， ， ， ， 化简得 ，即 ，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 当 时， ，故方程①不能表示任何图形； 当时，，方程①表示点 ，恰好是正三角形的重心； 当时， ，方程①表示以为圆心， 为半径的圆. 由此对照各个选项，可得只有C项正确.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）若函数 的图象与坐标轴分别交于三个不 同的点，，，求证: 的外接圆恒过的定点. 证明:设函数的图象交轴于点，交 轴于点 ， ， 由题意可知，所以， ， 所以线段的中点为， 设所在圆的圆心为 ，由， 可得 ，解得， 因为，所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 ，所以,,所以圆 的方程为 ，整理可得 ， 由可得 因此， 的外接圆恒过的定点 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $