2.3 圆与圆的位置关系(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“圆与圆的位置关系”，通过课前预习梳理外离、外切等五种类型及代数法、几何法判断方法，结合诊断分析题搭建从点与圆、直线与圆位置关系到圆与圆位置关系的学习支架，衔接前置知识。 其亮点在于课中探究分层设计，通过例题、变式及素养小结培养几何直观、推理能力和模型意识，如公共弦问题中方程相减得直线方程并结合勾股定理求弦长，帮助学生形成结构化思维，教师可借习题分层实现因材施教，提升教学效果。

2.3 圆与圆的位置关系 1 探究点一 两圆位置关系的判断及应用 探究点二 两圆公共弦问题 探究点三 两圆相切的有关问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 3 知识点 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系主要包括:外离、______、______、______和内含. 2.两圆的位置关系的判断: 外切 相交 内切 （1）代数法:已知圆 , 圆,圆和圆 的方程联立方程组 课 前 预 习 4 我们有如下结论： 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不 同的解 两个圆没有公共点 两个圆有且只有一个公共 点 两个圆有两个公 共点 外离 内含 外切 内切 相交 （2）几何法:第一步，计算两圆的半径, ,第二步，计算两圆的圆 心距,第三步，根据与, 之间的关系，判断两圆的位置关系. 课 前 预 习 5 （3）判断标准: 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 __________________________________________ _________________________________ _______________________________ _____________________ ___________________ 公共 点个 数 0 1 2 1 0 课 前 预 习 6 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 的 值 _______ _______ 与 , 的 关系 ___________ _________ _________ _______ _______ 续表 课 前 预 习 7 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两圆的方程联立,若方程组有两组解,则两圆相交.( ) √ （2）若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( ) × （3）若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立.( ) × （4）若两圆有公共点，则 .( ) √ 课 前 预 习 8 2.（1）在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公 切线条数分别为多少？ 解:当两圆外离时，有四条公切线；当两圆外切时，有三条公切线； 当两圆相交时，有两条公切线；当两圆内切时，只有一条公切线； 当两圆内含时，无公切线. （2）根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个公 共点，能否准确得出两圆的位置关系？ 解:不能.已知两圆只有一个公共点只能得出两圆内切或外切. 课 前 预 习 9 探究点一 两圆位置关系的判断及应用 例1 （多选题）圆与圆 的 位置关系可能为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 [解析] 由圆,可得圆心为,半径 . 由圆,可得圆心为,半径 , 则圆心距为, 又,,所以圆 与圆的位置关系可能 为相交、外切、外离.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 10 变式 已知圆 ,圆 . （1）当取何值时,圆和圆 外切? 解:将两圆的方程化为标准方程,得圆 ,圆 , 则圆心,半径,圆心,半径 . 若两圆外切,则 ,即 ,解得 . 课 中 探 究 11 （2）当取何值时,圆和圆 内切? 解： 若两圆内切,则 ,即 ,解得 . 变式 已知圆 ,圆 . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 判断两圆的位置关系，主要是利用圆心距与半径的和或差的绝对值 的大小关系列出关系式，分析求解. 课 中 探 究 13 探究点二 两圆公共弦问题 例2（1）已知圆和交于 , 两点,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由和相减得弦 所在直 线的方程为,点到直线的距离 ,所 以 .故选B. √ 课 中 探 究 14 （2）已知圆 与圆 相交所得的公共弦的长为 , 则圆的半径 ( ) A.1 B. C.或1 D. √ 课 中 探 究 15 [解析] 由与 相减得公 共弦所在直线的方程为. 圆 的方程可化为,可得圆的圆心为 ,半径, 则圆心到直线 的距离, 则,可得 ,故 . 故选D. 课 中 探 究 变式 已知圆的圆心为，若圆与圆 的公共弦 所在直线过点，则圆 的方程为______________________. [解析] 设圆的半径为，，则圆 的方程为 ，即 ，两圆的方 程相减，得公共弦所在的直线的方程为 . 因为该直线过点，所以， 则圆 的方程为 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 解决两圆公共弦问题的方法如下: （1）当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程; （2）在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利 用勾股定理可求弦长; （3）根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线 的方程. 课 中 探 究 18 探究点三 两圆相切的有关问题 例3（1）已知半径为的圆与圆 外切于点 ，则圆 的方程为_______________________. [解析] 由题意知，圆的圆心为，半径 ， 设所求圆的圆心为. 因为圆与圆 外切于点，所以,,三点共线， 且，所以 解得或 课 中 探 究 19 当，时，圆与圆外切于点 ，不符合 题意； 当，时，圆与圆 外切于点， 符合题意. 所以，故圆 的方程为 . 课 中 探 究 20 （2）已知圆 与圆 ，若圆与圆 有且仅有一个公共点， 则实数 ________. 34或14 [解析] 设圆，的半径分别为，. 圆 的方程可化为， 圆 的方程可化为. 由两圆相切得， 或. 因为，所以 或， 可得或或 （舍去）. 因此，，或，解得或 . 课 中 探 究 21 变式 写出一个半径为1，且与圆 和圆 均外切的圆的方程：____________________ _______________________________. （或，填一个即可） [解析] 设所求圆的圆心为 ，则由外切关系可得 化简得解得 或 故满足条件的圆的圆心为或 ，故所求圆的方程为 或 （填一个即可）. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 解两圆相切问题时必须准确把握是内切还是外切，若只是已知相切， 则必须分两圆内切和外切两种情况讨论.然后将两圆相切转化为两圆 的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和 （外切时）来处理. 课 中 探 究 23 拓展 （多选题）已知圆 ，圆 ，则下列是圆与圆 公切线的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意知，圆心, 关于 原点对称，在同一平面直角坐标系内画出两圆，如 图所示，显然，圆心距 ，则两 圆外离，共有4条公切线，又两圆心到 轴的距离都 等于其半径， 所以 轴是其中一条公切线，故A正确. √ √ √ 课 中 探 究 24 利用对称性可知，其中一条公切线 过原点，设 其方程为，又到公切线 的距离为1， 所以，解得或；当 时， 公切线为轴，当时，公切线方程为 ， 即 ，故B正确. 课 中 探 究 由对称性可知，公切线,与直线平行，易知 ，所以直线的方程为，可设, 的方程分别为， ,由两平行线间距离公式可得，可得，即公切线, 的方程分别为， ，整理可得 两公切线方程为 和 ，故C正确，D错误. 故选 . 课 中 探 究 课后习题 27 1.圆与圆 的位置关系为 ( ) A.相交 B.内切 C.内含 D.外离 [解析] 由题意得,圆的半径为3,圆 的半径为1, 因为,所以圆与圆 的位置关系为内含.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 2.若圆与圆有公共点，则 满 足的条件是( ) A. B. C. D. [解析] 由，得 ， 两圆圆心之间的距离为. 两圆有公共点，， ， 则， ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 3.已知圆 和圆 ,则这两个圆的公切线的条数为 ( ) A.1或3 B.4 C.0 D.2 [解析] 由题可知圆的标准方程为,圆 的标 准方程为 ,所以两圆的圆心距 ,两圆半径之和为 , 因为 ,所以两圆相离,故这两个圆的公切线有4条.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 4.［2025·江苏宿迁一中高二期中］已知圆 与圆 内切， 则实数 的值为( ) A. B.2 C.或2 D.1或 [解析] 由题可知圆的圆心为，半径，圆 的圆心 为，半径， 因为圆与圆 内切， 所以,解得或 . 故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 5.已知圆 与圆 的公共弦所在直线与直线 垂直,则实数 的值为( ) A.2 B. C.8 D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 [解析] 圆与圆的方程相减得,即圆与圆 的公 共弦所在直线的方程为. 由直线 与直线垂直,得,解得. 当 时,圆,即圆 ， 故圆的圆心为,半径,而圆 的圆心为 ,半径,则 , 因为,所以圆与圆相交,符合题意,所以 的值为2. 故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 6.（多选题）已知圆 与圆 ,则下列说法正确的是 ( ) A.圆的圆心恒在直线 上 B.若圆经过圆的圆心,则圆的半径为 C.当时,圆与圆 有4条公切线 D.当时,圆与圆的公共弦长为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 由 ,得 ,所以圆 的圆心为 ,恒在直线上,故A错误; 因为圆的圆心 在圆上,所以 ,解得 ,所以此时圆的半径为,故B正确; 当 时,圆,圆心为,半径为1,此 时圆与圆 的圆心距,所以圆 与圆 外离,圆与圆有4条公切线,故C正确; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 当 时,圆 ,又圆 , 所以易知两圆相交,公共弦所在直线的方程为,则圆 的圆 心到公共弦所在直线的距离为,所以圆与圆 的公共弦长为 ,故D错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点,分别在圆 与圆 上,则, 间的距离的最小值是____. [解析] 由，得 ,其 圆心坐标为,半径为. 由 ，得, 其圆心坐标为,半径为 . 因为两圆的圆心距为,所以两圆外离,所以, 间的距离 的最小值是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 8.若圆与圆 的交点为 ,,则线段 的垂直平分线的一般式方程是_____________. [解析] 由题意知,为两圆的交点,则线段 必是两圆的公共弦,由公 共弦的性质可知,线段 的垂直平分线必是两圆圆心所在的直线. 由可得圆心,由 可得圆 心,所以直线的斜率为,所以直线 的方程 为,即,故线段 的垂直平分线的一般式方 程是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 9.（13分）已知圆的方程为，圆 的圆心 为.若圆与圆外切，求圆 的方程. 解:由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1，圆 的圆心为 . 则两圆的圆心距为， 因为圆与圆 外切， 所以圆的半径为4，所以圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10.（13分）已知圆 ，圆 . （1）求圆与圆 的公共弦长； 解:将两圆的方程作差得 ，化简得 ，即两圆公共弦所在直线的方程为 . 可得圆的圆心到直线的距离 ， 则公共弦长为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 （2）求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程. 解:方法一：设过两圆的交点的圆为 , ， 则, . 由圆心在直线上，得 ，解得 ， 故所求圆的方程为 ，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 方法二：由（1）得两圆公共弦所在直线方程为 ，将其代入 方程中,化简可得 ,解得. 当时，；当时， . 设所求圆的圆心坐标为 ， 则，且 ， 解得，，所以 . 所以过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 11.［2025·江苏泰州实验中学高二月考］已知圆 的方程为 ，圆的方程为 ，其 中, ，则这两个圆的位置关系不可能为( ) A.外离 B.外切 C.内含 D.内切 [解析] 由题可得圆的圆心为，半径；圆 的圆心为 ，半径. 则 ，所以两圆不可能内含.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 12.（多选题）［2025·江苏通州第一中学高二期中］ 已知圆 ,圆 ，则 下列说法正确的有( ) A.若在圆内，则 B.当时，圆与圆 共有两条公切线 C.若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在直线过定点 D.存在，使得圆与圆公共弦所在直线的斜率为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 因为圆 , 圆 ， 所以圆 ， 圆，则圆的圆心为 ， 圆的半径，圆的圆心为，圆 的半径 ，则. 由在圆 内,可得，解得,A错误； 当 时，，，， ，所以 ，所以两圆相交，共两条公切线，B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 将圆的方程与圆 的方程相减，得 ，即 ，令 解得 所以公共弦所在直线恒过定点，C正确； 当 时，圆与圆的圆心所在直线的斜率为,则圆与 公 共弦所在直线的斜率为，显然,故D错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.［2025·浙江湖州一中高二月考］已知圆 与圆 相交于，两点，则四边形 的面积为 _____. [解析] 根据条件易知，，所以 . 把代入中，得，把 代入 中，得，于是， 因为 ，所以四边形的面积为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 14.［2025·江苏海安中学高二质检］已知直线 是圆 的切线，并且点到直线 的距离是2， 这样的直线 有___条. 4 [解析] 由题意得，圆的圆心为，半径.因为点 到 直线的距离是2，所以直线是以为圆心， 为半径的圆的 切线， 又直线是圆的切线， 所以直线 是圆与圆 的公切线. 因为 ，所以两圆外离， 所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线 有4条. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 15.（多选题）如图所示，该曲线是由4个圆： ， ，， 的一部分 所构成，则下列说法正确的是( ) A.曲线围成的封闭图形的面积为 B.若圆与曲线 有8个交点，则 C.与的公切线方程为 D.曲线上的点到直线 的距离 的最小值为4 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 曲线 围成的封闭图形可分割为一个边长为2 的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积 为 ，故A正确. 当 时，交点为，，，；当时，交点为， ， ，；当或时，没有交点；当 时，交点 个数为8，故B错误. 设与的公切线方程为 ， 由直线和圆相切，可得，可得 ，则其公切线方程 为，即 ，故C正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 同理可得，的公切线方程为 ， 则平行直线与 间的距离，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）求圆和圆 的公切线 方程. 解:如图，由图易知为公切线 的方程.设切 点,则由可知, ， 所以， 又,所以过点 的公切线的斜率为， 所以过点的公切线的方程为 ,即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 由可得,设公切线 的方程为 ,即 , 由,解得,所以公切线 的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $