微突破（一） 直线中的对称问题(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线中的对称问题，系统涵盖点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线的对称及应用，通过基础例题导入，逐步深入复杂题型，构建从简单到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是分类讲解每种对称问题的多种解法，结合光线反射、距离最值等实例，培养数学思维与表达能力。学生通过例题解析和习题训练提升逻辑推理能力，教师可借助结构化内容高效开展教学。

微突破（一） 直线中的对称问题 1 一、点关于点对称问题 二、点关于直线对称问题 三、直线关于点对称问题 四、直线关于直线对称问题 五、对称的运用 ◆ 课后习题 2 一、点关于点对称问题 求点关于点的对称点,由 得 3 例1 已知点关于点的对称点为，则实数 __. [解析] 由中点坐标公式得 . 4 变式 点关于点的对称点 的坐标为______. [解析] 设点，由中点坐标公式得解得故 . 5 二、点关于直线对称问题 求点关于直线的对称点 . ①设线段的中点为，利用中点坐标公式得，将 的坐标代入直线方程 中. . 由①②得解方程组即可求得, 的值. 6 例2 已知点与点关于直线对称，则点 的坐标 为( ) A. B. C. D. [解析] 设，因为点与点关于直线 对称，所以 线段的中点在直线上,且直线 与直线垂直， 则解得即点 的坐标为 .故选C. √ 7 变式 若原点与点关于直线对称，则直线 的方程是 ( ) A. B. C. D. √ [解析]因为点关于直线的对称点为，所以直线为线 段 的中垂线. 由题可知，线段的中点为，直线 的斜率为， 故直线的斜率为2，故直线的方程为 ， 即 .故选B. 8 三、直线关于点对称问题 求直线关于点不在上对称的直线 的方程. 方法一：如图，在直线上找一点，求点关于点 对 称的点，根据，得 ，再由点斜式求解. 方法二：由，设出直线的方程，由点 到两直线 的距离相等，即 求参数. 方法三：找直线上任意一点，求该点关于点 的对称点，由 对称点在直线上可得关于，的方程，即直线 的方程. 9 例3 求直线关于点对称的直线 的方程. 解：方法一：设直线上任意一点的坐标为 ，则此点关于点 的对称点为 ， 因为在直线 上， 所以 ， 即，所以直线的方程为 . 10 方法二：在直线上取两点， ， 则点关于点的对称点为，点 关于点 的对称点为 . 可得直线的斜率为，所以直线 的方程为 ，即，即直线 的方程为 . 方法三：易知所求直线与直线平行，故可设 的方程 为 . 在直线上取一点 ， 因为点关于点的对称点在直线 上， 所以，所以 . 所以直线的方程为 . 变式 直线关于点 对称的直线方程为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设直线关于点 对称的直线上任意一 点，则关于对称的点为 ， 因为在直线 上， 所以，即 .故选B. 13 四、直线关于直线对称问题 1.直线 和 相交,求关于直线对称的直线 . ①如图，求出与的交点 ； ②在上任意取一点（非点），求出关于直线的对称点 ； ③根据，两点求出直线 . 14 2.直线 和 平行,求关于直线对称的直线 . ①易知 ； ②如图，在直线上任取一点，求点关于直线 的对 称点，利用点斜式求直线 . 15 例4 已知直线,求直线 关于直 线对称的直线 的方程. 解： 在直线上任取一点，则关于直线的对称点 必在直线 上.设的坐标为 ， 则解得 即 . 设直线与直线的交点为，则由得 . 又直线经过点，所以由两点式得直线 的方程为 . 16 变式 设直线与关于直线 对称， 则直线 的方程是( ) A. B. C. D. √ 17 [解析] 由得 则直线与直线的交点为. 在直线 上取一点，设点关于直线 的对称点为 ， 则解得 即， 故直线的斜率，所以直线 的方程为 ，即 .故选A. 18 五、对称的运用 1.根据平面几何知识和光学知识可知，入射光线、反射光线上对应的 点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. 19 2.利用对称性求距离的最值问题. 由平面几何知识（三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边 之差的绝对值小于第三边）可知，要解决在直线 上求一点，使这点 到两定点，的距离之差的绝对值最大的问题，若这两点， 位于 直线的同侧，则只需求出直线 的方程，再求它与已知直线的交点， 即得所求点的坐标；若，两点位于直线的异侧，则先求， 两 点中某一点，如关于直线的对称点，得直线 的方程，再求其 与直线的交点即可.对于在直线上求一点，使到平面上两点， 的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 20 例5 一束光线从原点出发，经过直线 反射后通 过点，求反射光线的方程及光线从点到达 点所走过的路程. 解：设原点关于直线的对称点的坐标为 ， 连接 ，如图所示， 由直线与垂直，及线段的中点在 上，得 解得所以点 的坐标为 . 因为反射光线的反向延长线过，且反射光线过，， 两点纵坐标相等，所以反射光线所在直线的方程为 . 21 由解得 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为 . 由光的性质可知，光线从到 所走过的路程即为 的长度， 由，知， ，即 光线从经直线反射后到达 点所走过的路程为8. 例6 已知直线和点， . （1）在直线上求一点，使 的值最小； 解：设点关于直线的对称点为 ，则 解得故. 连接，则所在直线方程为 . 23 为直线上的一点， ， 当且仅当，，三点共线时等号成立，此时 取得最小值， 点是直线与直线 的交点. 由解得 所求的点的坐标为 . （2）在直线上求一点，使 的值最大. 解：由题意知，，两点在直线的同侧，是直线 上的一点， 则，当且仅当，， 三点共线时等号成立， 此时取得最大值，点是直线与直线 的交点. ,， 直线的方程为 ，即 , 由解得 所求的点的坐标为 . 25 变式（1）如图所示，已知点， ，从点 射出的光线经直线反射后再射到直线 为坐标原点上，最后经直线反射后又回到点 ， 则光线所经过的路程是( ) A. B.6 C. D. [解析] 由题意知， 所在直线的方程为. 如图，易知点关于直线 的对称点为， 关于轴的对称点为 ， 则光线所经过的路程为 . √ 26 （2）在直线上求两点， ，使得： ①到与 的距离之差最大； 解：设点关于的对称点的坐标为 ， 则，即 ， . 线段的中点在直线 上， ，即 . 27 由①②得 点的坐标为 所在直线的方程为 ，即 . 易知，当且仅当，， 三点共线 时， 取得最大值. 联立直线与的方程，解得，，即与 的交点坐标 为，故点的坐标为 . ②到与 的距离之和最小. 解：设点关于的对称点为，由题意得 解得 则的坐标为，可得所在直线的方程为 . 易知，当且仅当，， 三点共线时， 取得最小值. 联立直线与的方程，解得，，即与 的交点坐标为 .故点的坐标为 . 29 课后习题 30 1.点关于直线 对称的点的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设点关于直线对称的点的坐标为 ， 则解得所以点 关于直线 对称的点的坐标为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 2.直线 关于原点对称的直线方程是( ) A. B. C. D. [解析] 易知点,在直线上，点， 关于原 点对称的点分别为,， 则, 在所求直线上,所求直线的斜率 ， 则所求直线方程为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 3.直线关于 对称的直线方程为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设直线上一点关于直线 对 称的点为，则 解得 所以，则直线 关于 对称的直线方程为 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 4.［2025·福建厦门高二期末］已知点，， 是直线 上的动点，则 的最小值为( ) A.6 B. C. D. √ [解析] 设点关于直线的对称点为 ，则 解得即 ，所以 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 34 5.［2025·安徽黄山高二期中］在中，顶点，点 在直线 上，点在轴上，则 的周长的最小值为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 [解析] 设点关于直线的对称点为 ，点 关于轴的对称点为，连接，交于点，交 轴 于点，则此时的周长取得最小值，且最小值为 与关于直线对称，解得 . 易求得，，即 周长的最小值为 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 36 6.一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点 反射后经过 点，则点 的坐标为________. [解析] 根据题意得，关于轴的对称点为,则点 在反射光线所在直线上， 又反射光线过点 ，所以反射光线所在直线的方程为 ，即， 当 时，，即点的坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 37 7.已知点和，在轴上求一点，使得 最小， 则点 的坐标为______. [解析] 设点关于轴的对称点为，连接，与轴交于点 ，此 时取得最小值. 因为与关于 轴对称，所以， 又，所以直线的方程为 , 即，令，解得，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 38 8.［2025·江苏南京一中高二期中］已知点，在函数 的图 象上，且，关于点对称，则直线 的方程是_______________. [解析] 根据题意，设，，, ，又线段 的中点是，所以整理得 所以，为方程的根，解得 ，所以 ，，或， . 由两点式得直线的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 39 9.（13分）［2025·江苏盐城高二月考］ 已知直线 ， 一束光线从点处射向轴上一点，又从点反射到 上的一点 ，最后从点反射回点 . （1）试判断由此得到的 的个数； 解：如图，设，设点 关于直线 的对称点为 , 则解得 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 易知点关于轴的对称点为，连接， ，则根据光学 知识知，点在直线上，且点在直线 上. 直线的方程为 . 由得 . 直线的方程为 ， 由 得. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以 ， 即，解得或 . 当 时，符合题意； 当时，点在直线 上，不能构 成三角形. 综上，符合题意的 只有1个. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）求直线 的方程. 解：由（1）得 ， 则直线的方程为 ， 即直线的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 43 $