1.5 平面上的距离 1.5.2 点到直线的距离(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦平面上的距离，核心内容包括点到直线的距离公式推导（含多种证明方法）和平行线间距离公式应用，通过课前预习（知识点梳理、诊断分析）搭建基础，课中探究（公式应用、最值问题、综合应用）逐步深化，形成从公式推导到问题解决的学习支架。 其亮点在于通过多种推导方法培养推理能力，结合数形结合（如例3利用定点距离求最值）发展几何直观，素养小结系统归纳方法提升数学表达。诊断分析明确公式前提，多样化例题助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

1.5 平面上的距离 1 1.5.2 点到直线的距离 2 探究点一 点到直线的距离 探究点二 平行线间距离公式的应用 探究点三 利用距离公式解决最值问题 探究点四 距离公式的综合应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件. 2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离. 3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距 离公式导出两条平行直线间的距离公式. 4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离. 4 知识点一 点到直线的距离公式 点到直线的距离为 _ __________. 除了课本上的证明方法之外，我们还可以用下面的方法证明. 课 前 预 习 5 证明:根据定义,点到直线的距离就是点到直线 的 垂线段的长度.如图,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,由 可知的斜率为___, 的方程为 ,与的方程联立,得交点 的坐标为 ,则 . 可以验证,当,或 时,上述公式仍然成立. 课 前 预 习 6 知识点二 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 1.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2.公式:两条平行直线 与 之间的距离为 _ ______. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）点到直线的距离是 .( ) × （2）点到直线 的距离为3.( ) √ （3）两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．( ) √ （4）已知两平行直线, , 则直线,间的距离为 .( ) × 课 前 预 习 8 2.在运用点到直线的距离公式时，对直线方程有什么要求？在应用两 条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ 解：在运用点到直线的距离公式时，要求直线的方程应化为一般式； 在应用两条平行线间的距离公式时，要求两条平行直线的方程都是 一般式，且, 对应的系数应分别相等． 课 前 预 习 9 探究点一 点到直线的距离 例1（1）已知点，直线，则点到直线 的 距离为( ) A.3 B.2 C.1 D. [解析] 由点到直线的距离公式可得点到直线 的距离为 .故选B. √ 课 中 探 究 10 （2）［2025·江苏苏州高二期中］已知， 两点到直 线的距离相等，则实数 的值为_________. 或 [解析] 因为，两点到直线 的距离 相等，所以,即,解得 或 . 课 中 探 究 11 变式 已知点 . （1）求过点 且与原点的距离为2的直线的方程. 解：①当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设斜率为 ，则直线方程为 ，即 . 根据题意，得，解得 ，所以直线方程为 . 故符合题意的直线方程为或 . 课 中 探 究 12 （2）是否存在过点 且与原点的距离为6的直线?若存在，求出该直 线的方程；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下：过点且与原点的距离最大的直线为过点 且 与垂直的直线（其中 为坐标原点），最大距离为 ，而 ，故不存在这样的直线. 变式 已知点 . 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 点到直线的距离的求解方法： （1）求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点 到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线<m></m>或<m></m>,求点 <m></m>到它们的距离<m></m>时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直 接根据<m></m>或<m></m>求解； （3）已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程 求解参数即可. 课 中 探 究 14 探究点二 平行线间距离公式的应用 例2（1）两条平行直线与 间的距离 为( ) A. B.2 C.14 D. [解析] 由平行线间的距离公式可知，所求距离为 .故 选D. √ 课 中 探 究 15 （2）［2025·江苏扬州中学高二月考］若两条平行直线 与之间的距离是 ， 则 ___． 3 [解析] 因为直线与 平 行，所以，解得且，所以直线 的方程为 ，即. 因为两平行线间的距离为 ，所以， 得， 因为 ，所以，得，所以 . 课 中 探 究 16 变式 ［2025·山东莱芜一中高二质检］ 若平面内两条平行线 ，间的距离为 ，则 实数 的值为( ) A.2 B.或1 C. D. 或2 √ 课 中 探 究 17 [解析] 因为直线与 平 行，所以，且，解得或 . 当时，，即 ， ，两平行线间的距离为 ，符合题意； 当时，， ，即 ，两平行线间的距离为 ，不符合题意， 舍去.故选A. 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求两平行线间距离的两种常用方法. （1）转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点 到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一 个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算. （2）公式法:直接利用公式<m></m>,但要注意两直线方程中<m></m>,<m></m>的 系数对应相等. 课 中 探 究 19 探究点三 利用距离公式解决最值问题 例3 已知直线过定点，则点 到直线 距离的最大值是____. [解析] 由题意知，直线 恒过定点 ，直线恒过定点 ， 如图所示，过作的垂线段，垂足为 ，那么 必有，当且仅当与重合时取等号，从而 的最大值为，即点 到直线 距离的最大值是 . 课 中 探 究 20 变式 已知直线 ， ，且，则当两平行线 与 间的距离最大时， ___. 5 课 中 探 究 21 [解析] 由题可得， ，由 解得故 恒过定点 ，由 解得 故恒过定点，故，距离的最大值为 ． 此时，，则，，故 ． 课 中 探 究 ［素养小结］ （1）解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，可将“数”转 化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决. （2）数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的 元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出 这些量的取值范围. 课 中 探 究 23 探究点四 距离公式的综合应用 例4 已知直线，直线 和 直线，且和之间的距离是 . （1）求 的值. 解： 的方程可化为，和 之间的距离 ， ，, . 课 中 探 究 24 （2）能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件： 是第一 象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到 的距离 与点到的距离之比是?若能，求出点 的坐标；若不能，请 说明理由. 解：设点，若点满足条件②，则点在与和 平行的直线 上，且,可得或 . 或 . 课 中 探 究 25 若点 满足条件③，则由点到直线的距离公式得 ， 或 . 在第一象限，不合题意.联立方程 和，解得, ,应舍去. 联立方程与，解得, . 所以 为同时满足三个条件的点. 课 中 探 究 变式 ［2025·沈阳二十中高二月考］ 平面上有四条直线，它们的方 程分别是,,, ．则 由这四条直线围成四边形的面积是__． [解析] 因为，即，所以直线 与 互相平行，这两条平行线间的距离为 . 又, 互相平行，所以这四条直线围成的四边形 为平行四边形. 课 中 探 究 27 记与直线, 分别交于点,， 则由解得则 ， 由 解得则， 因为 ， 所以四边形的面积为 . 课 中 探 究 课后习题 29 1.点到直线 的距离为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得,所以点 到直线 的距离 ,故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 2.［2025·浙江温州十校高二期中］直线 与直线 间的距离为( ) A.1 B. C. D. [解析] 由题可知直线的方程可以化为，所以与 间的距离 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 3.已知点到直线的距离为1，则 等于 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得,解得或 . , .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 4.（多选题）到直线的距离等于 的直线方程可能为 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为所求直线到直线的距离为 ，所以所求直 线与直线 平行， 设所求直线的方程为，， 则两直线间的距离 ，解得或， 故所求直线方程为或 .故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 5.若点为两条直线和的交点,则点 到 直线 的距离的最大值为( ) A. B. C. D.5 [解析] 由得即.由 , 得,由得所以直线 过定点. 连接,易知当直线与直线垂直时,点到直线 的距离取 得最大值,且最大值为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 6.（多选题）已知平面上一点，若直线上存在点使 ， 则称该直线为“ 型直线”．下列直线是“ 型直线”的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 [解析] 对于A，点到直线的距离 ，则直线 上不存在到点的距离等于4的点，故A不符合题意； 对于B，点 到直线的距离，所以在直线上可以找到不同的 两点到点 的距离等于4，故B符合题意； 对于C，点 到直线的距离，则直线上存在一点到 点 的距离等于4，故C符合题意； 对于D，点到直线的距离 ，故直线上不存在 点到点的距离等于4，故D不符合题意． 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 7.已知直线过点,且点和到直线 的距离相等， 则直线 的方程为_____________________. 或 [解析] 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ,即 ,由已知得,可得 ， 所以直线的方程为,即. 当直线 的斜率不存在时，直线方程为，也满足题意. 所以直线 的方程为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 8.［2025·安徽合肥一中高二调研］若， 分别为 ，上的动点，且 ，则 的最小值为__. [解析] 由，得，则 , ，所以 的最小值为两平行直线间的距离，为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 9.（13分）已知的三个顶点分别是,, ,求 的平分线所在直线的方程. 解:设为平分线上的任意一点,则点到直线 的距离与 到直线 的距离相等. 由题知直线,的方程分别是 和 , 所以由点到直线的距离公式,得 , 即 , 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 即或 , 整理得或 . 易知是 的外角平分线所在直线的方程,所以 是 的平分线所在直线的方程. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.（13分）求证：两条平行直线 与 间的距离 ． 证明：在直线上任意取一点 ， 则点到直线 的距离就是这两条平行直线间 的距离，即 ． 因为点在直线 上，所以 ，即 ，因此 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 11.［2025·江苏启东中学高二月考］已知,, 两点都在直线 上，且,两点横坐标之差为2，则 的面积为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 设,，则 ， ， 显然点 不在直线上， 则边上的高，所以 的面积为 . 故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 12.［2025·江苏泰州中学高二月考］已知点，，若点 在函数的图象上，则使得的面积为2的点 的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 [解析] 设点.由题意知直线的方程是 ,. 因为的面积为2，所以在这个三角形中， 边上的高满足 ，即，故点到直线的距离为 . 由点到直线的距离公式，得，即 ，即 或 ，这两个方程各自有两个不相等的 实数根，故这样的点 有4个.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.（多选题）［2025·湖南湘潭中学高二质检］ 已知 ， ，若与到直线的距离都为2，则满足条件的直线 的斜率 可以为( ) A. B.0 C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 连接，因为，，所以 ， 则直线的方程为，且线段 的中点坐标为. 若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线 的方程 为，即，则到直线 的距离 ，即，解得或 ； 若直线与平行，设直线的方程为 ，则 到直线的距离，解得或 ，此时直线 的斜率为.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 14.［2025·江苏常州一中高二期中］已知平行四边形 的四条边所 在直线的方程分别是， ， ，，则平行四边形 的面积 为___. 9 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 设与的交点为，与的交点为,与的交点为 由，，可求得交点 . 由，，可求得交点 . 由，，可求得交点 . 可得点到的距离 ， ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 15.已知,,,,且满足, ,则 的最小值为___. [解析] 设,,直线 ,直线, 则由题意可知点 在直线上,点在直线 上, 表示,之间的距离. 与平行,, 之间的距离的最小值等于两平行线之间的距离, 为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 16.（15分）设集合直线与直线 相交且以交点的横坐标 为斜率 ． （1）点到 中哪条直线的距离最小； 解:设直线与直线的交点为，则直线 的方程为 ，即 ． 所以点到直线的距离为 ， 所以当时，点到直线 的距离最小，最小值为0，此时直 线的方程为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 （2）设，点到中直线的距离的最小值设为 ，求 ． 解:由题可知点到直线 的距离 ， 设，则 ， 所以当，即或 时， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 当，即时，在 上单调递增，则 ． 综上， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $