1.5 平面上的距离 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦苏教版选择性必修一“平面上的距离”，系统梳理两点间距离、中点坐标、点到直线及平行线间距离公式，通过复习直线倾斜角与斜率公式导入，搭建从代数运算到几何应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以思维导图构建知识体系，例题按基础、中档、拔高分层并对接高考，通过“学思用·典例详解”培养数学思维与运算素养，如解析法证明等腰三角形体现数形结合，助力学生提升解题能力，方便教师一体化教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第一章 直线与方程 1.5 平面上的距离 本节掌握两点间距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式，能够熟练运用公式进行计算与相关求解，体会数形结合思想，提升数学运算与逻辑推理素养。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括88张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 平面上两点间的距离 平面上，两点间的距离公式 . （此公式与两点坐标的先后顺序无关，也可写成 ） 特别地，原点与任一点的距离 . 如果，那么 ， 如果，那么 . . . 4 学思用·典例详解 例1-1 已知，，三点，且，则实数 的值为( ) A A. B. C.1 D.2 【解析】由,,, ,可知 ， 解得 ． 5 知识点2 中点坐标公式 对于平面上的两点，,线段的中点是 ,则 特别提醒 设的三个顶点的坐标分别为，, ，则 的重心的坐标为 . 6 学思用·典例详解 例2-2 线段的中点坐标是，点的坐标是，则点 的坐标是________． 【解析】设点的坐标是 , 则由中点坐标公式，得 解得 所以点的坐标是 . 7 知识点3 点到直线的距离 点到直线（注意直线方程是一般式） 的距离为.（当或 时，此距离公式仍然成立） . . . . 8 知识剖析 点到直线的距离的几种特殊情况 （1）点到轴的距离 ； （2）点到轴的距离 ； （3）点到直线的距离 ； （4）点到直线距离 ； （5）特别地，当点在直线上时，点到直线的距离；当点为原点时，点 到直线的距离 . 9 学思用·典例详解 例3-3 (2025·江苏省淮安市期中)已知， 两点到直线 的距离相等，则实数 的值为( ) D A. B.3 C. D. 或3 【解析】，两点到直线 的距离相等， ，即，解得或 ． 10 知识点4 两平行直线间的距离 两条平行直线（警示：,的系数需保持统一）和 （警示：,的系数需保持统一）间的距离 .#1 . . . . 11 特别提醒 求两平行直线间距离的注意点 （1）使用此公式的两个条件：①直线方程都为一般式；, 的系数对应相等. （2）两平行直线间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 此点一般取直线上的特殊点. （3）如果两平行直线的方程用斜截式表示为 ， ,那么这两条平行直线间的距离 . （4）当两直线都与轴（或 轴）垂直时，可利用数形结合来解决. ①两直线都与轴垂直时，，，则 ； ②两直线都与轴垂直时，，，则 .#1.1.1.4.2 12 学思用·典例详解 例4-4 ［教材改编P39例5］直线与直线 间 的距离为_ ____. 【解析】 在直线上取一点，因为，所以点到直线 的距离等 于直线与 之间的距离, 于是 . 因为且， ，所以由两平行直线间的距离公式得 . 13 释疑惑 重难拓展 知识点5 解析法 1 解析法的定义 通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使 问题得以解决，这种解决问题的方法叫作坐标法，也称为解析法. 14 2 解析法解决问题的一般步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； （3）利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数结论； 图1.5-1 （4）反演回去，得到几何问题的结论. 用框图表示如图1.5-1所示. 15 学思用·典例详解 例5-5 在中,是边上的任意一点与,不重合,且 . 求证: 为等腰三角形. 图1.5-2 【解析】作,垂足为,以所在的直线为轴, 所在的直线 为 轴,建立如图1.5-2所示的平面直角坐标系. 设,,, . 因为 ，则由两点间距离公式得 ,整理得 . 因为点与点，不重合，所以,所以,即 . 所以，于是 ， 即 为等腰三角形. 16 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 两点间的距离公式的应用 1 求两点间的距离 例6 已知的顶点，，，则 的周长是_________. 思路点拨 利用两点间的距离公式计算三角形三边的长，然后求和即得. 【解析】由平面上两点间的距离公式，得 ， ，，则 的周长为 . 17 2 求参数的值 例7 ［教材改编P34例1（2）］已知与两点间的距离是，则 的值 为____. 【解析】由题意可得，即,解得 ． 18 3 求点的坐标 例8 在直线上求一点，使点到点， 的距离相等． 思路点拨 先设出点 的坐标，由两点间的距离公式列出方程，再与 联立即可求解;也可以先根据题意判定出点在线段 的中垂线上， 再结合点在直线 上，联立方程进行求解. 19 【解析】 设点的坐标为 ， 由点在直线上和点到点， 的距离相等建立方程组,即 解得所以点的坐标为 ． 由题意知，点在线段的中垂线上，又点， ，所以线段 的中垂线的方程为 . 又点在直线上，所以联立两直线方程得 解得 所以点的坐标为 ． 20 【学会了吗丨变式题】 1.两直线和分别过定点，，则 的值为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】直线过定点，直线 ,即直 线过定点 ，由两点间的距离公式，得 . 21 题型2 中点坐标公式的应用 例9 (2026·广西平果市铝城中学期中)在中，已知点，，且 边的中点在轴上，边的中点在轴上，则 所在直线的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】设，，，因为， ， 所以且解得 即，， ， 所以所在直线的方程为 ， 即 . 22 题型3 点到直线的距离问题 1 求距离 例10 ［教材改编P42 T11］已知点，，，求 的面积. 23 【解析】设边上的高为（求及边上的高或求及 边上的高,得出的结果 是一样的），则 . . 易知边上的高就是点到直线 的距离. 边所在直线的方程为，即 .（一定要将直线的两点式方程 化成一般式方程，以便于利用点到直线的距离公式） 点到直线的距离 , 所以 . 故 的面积为5. . . . . 24 2 求参数的值 例11 (2026·天津市静海区北师大实验学校月考)已知， 两点到直线 的距离相等，则 ( ) A A.2或 B.或4 C.2或4 D.或 【解析】根据点到直线的距离公式可得，得或 ． 25 3 求直线的方程 例12 求在两坐标轴上截距相等，且与点的距离为 的直线方程． 截距相等包含截距为0这一特殊情况，在求解直线方程时注意分类讨论. 26 【解析】①当在两坐标轴上的截距相等且为0，（切勿遗漏截距为0的情况） 即直线过原点时，设直线的方程为，即 . 由已知得,整理得，解得或 ， 所以所求直线方程为或 . ②当在两坐标轴上的截距相等且不为0时，直线的斜率应为 ，设直线的方程为 ， 由已知，得 ， 解得或 . 所以所求直线方程为或 . 综上，所求直线方程为或或或 . . . 27 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，则需把直线方程化为一 般式方程，应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线或，求点 到它们的距离 时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或 . （3）已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方 程（组）求解． 28 【学会了吗丨变式题】 2.点到某条直线的距离为2，且该直线过直线 与直线 的交点，则该直线方程为_______________________. 或 【解析】由解得所以直线与的交点为 . 当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点 到该直线的距离为 1，不合乎题意； 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为 ，即 ，由于点到所求直线的距离为2，可得 ，整理得 ，解得或 . 综上所述，所求直线的方程为或 . 29 题型4 两平行直线间的距离问题 1 求两平行直线间的距离 例13 已知，分别为直线和上的动点，则 的最小 值为_____. 【解析】由于，分别为直线和上的动点，则 的最 小值为这两条平行直线间的距离，为 . 30 2 求参数的值 例14 (2026·天津市第二十一中学月考)两平行直线 与 间的距离为，则 ____. 10 思路点拨 先由两直线平行求 ,再利用两平行直线间的距离公式解题. 【解析】直线可化为，（只有, 的对应系数分别 相等，才可应用平行直线间的距离公式）由两直线平行知，,即 ， ，所以 . . . 31 3 求直线的方程 例15 与直线 平行且距离为3的直线方程是_______________________ ________________． 或 【解析】由题意可设所求直线的方程为 ， 到直线 的距离为3， ，解得或 ， 所求直线的方程为或 ． 32 解决两条平行直线间的距离问题的方法 （1）转化为点到直线的距离，体现了化归与转化的数学思想． （2）直接套用公式，其中， ， 需注意此时直线与的方程为一般式且， 的系数分别相同． 33 【学会了吗丨变式题】 3.已知，若直线与直线 平行，则 它们之间的距离为( ) A A. B. C. D.或 【解析】直线与直线 平行，所以 ，且，，解得或 （舍），所 以直线，直线 ， 可得它们之间的距离 ． 34 题型5 解析法证明平面几何问题 例16 证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值. 35 图1.5-3 【解析】设是边长为的等边三角形，以 边所在直线为 轴，过边的中点且垂直于的直线为 轴，建立如图1.5-3所 示的平面直角坐标系,（建立适当的平面直角坐标系可适当减少运 算） 则点,,,所以直线 的方程为 ,直线的方程为,直线的方程为 . 设点是内任意一点，过点作于点, 于点 , 于点,则点到直线 的距离 ，点到直线的距离，点 到直线 的距离 . . . 36 因为点在直线,的下方，且在 的上方，所以 （定值）. 因此，等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值. 利用解析法解题的步骤 先建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行有关代数运算，最后把代 数运算的结果“翻译”成几何关系.用解析法解决平面几何问题的关键是利用图形的对 称性等建立适当的平面直角坐标系. 38 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·四川省绵阳中学测试)如图1.5-4，面积为8的平行四边形， 为原点，点 的坐标为，点， 在第一象限． 图1.5-4 （1）求直线 的方程； 39 【答案】因为四边形 是平行四边形， 所以，所以 ． 设直线的方程为，即 ． 因为平行四边形的面积为8， ， 所以与之间的距离为 . 易知直线的方程为 , 于是，解得 ． 由题图可知，，所以 ， 故直线的方程为 ． 40 （2）若，求点 的横坐标． 【答案】设点的坐标为 ． 因为，所以 ． 所以解得或 故点的横坐标为 或2. 41 题型6 对称问题 1 点关于点对称 例17 (2026·甘肃省漳县第一中学期中)直线被两条直线 和 截得的线段的中点为，则直线 的方程为_______________. 42 【解析】记直线与，的交点分别为点，，设，因为点是线段 的 中点，则由中点坐标公式，得点的坐标为 ， 则 即解得 所以点 . 因此直线的方程为 ， 即 . 43 求点关于点的对称点 . 由中点坐标公式得则有 44 2 点关于直线对称 例18 (2026·天津市第二十中学调研)已知直线,则点关于 的对称点 的坐标为________. 【解析】设点关于直线的对称点为 , 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线 , 即解得 点的坐标为 . 45 解决点关于直线对称问题的方法 图1.5-5 46 如图1.5-5，已知,直线,求点关于直线的对称点 可 以分两步来求: 第一步,直线和垂直,故 ①; 第二步,线段的中点刚好在直线 上， 即满足直线方程 , 得到 ②; 第三步，联立①②式可以解出, . 47 点 关于常见的直线的对称情况 对称轴 对称点 轴 轴 直线 直线 直线 直线 直线 （可画出草图，借助图象理解） 直线 . . . . 48 3 直线关于点对称 例19 已知直线,求直线关于点 的对称直线的方程. 【解析】设直线关于点的对称直线为,由于,则可设直线 的方程为 . 取直线上一点,则该点关于点的对称点在直线上，则 , 即,所以直线的方程为 , 即所求对称直线的方程为 . 49 4 直线关于直线对称 已知直线与对称轴平行 例20 已知直线，直线.若直线关于直线 的对称 直线为，求直线 的方程. 50 【解析】 因为，所以 ， 设直线的方程为 . 因为直线，关于直线 对称， 所以直线与间的距离等于直线与 间的距离. 由两平行直线间的距离公式,得，解得 . 所以直线的方程为 . 由题意知，设直线的方程为 . 51 在直线上取点，设点关于直线的对称点为 ，于是有 解得即 . 因为点在直线上，所以把点的坐标代入直线的方程，得 ，所以直线 的方程为 . 名师点评 若直线与直线关于直线 对称，则直线的方程为 . （2）已知直线与对称轴相交 例21 (2026·广东省深圳市期中)求直线 关于直线 对称的直线 的方程. 53 【解析】解方程组得所以直线与 相交，且交点为 ，故点也在直线 上. 在直线上取点，设点关于直线的对称点为 ，则 点在直线 上， 于是有解得 即 . 故由直线方程的两点式得直线的方程为,即 . 解决直线关于直线对称问题的方法 已知直线<m></m>,<m></m>,求直线<m></m>关于直线<m></m>的对称直 线的方程. 如果<m></m>,则设所求直线方程为<m></m>,然后在<m></m>上找一点<m></m>,求 出点<m></m>关于直线<m></m>的对称点<m></m>,再代入<m></m>即可解出<m></m>. 如果<m></m>不平行于<m></m>,则先找出<m></m>与<m></m>的交点<m></m>,然后在<m></m>上确定一点（不同于交点） ,找 出这一点关于<m></m>的对称点<m></m>,由直线的两点式方程确定所求直线方程.#2.2.2 55 直线<m></m>关于常见直线的对称直线#2.3 对称轴 对称直线 轴 轴 直线 直线 直线 直线 56 5 利用对称解决最值问题 例22 在直线上求两点, ，使得： （1）点到和（ ,在直线 两侧）的距离之差最大； . . 57 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则直线与直线 的斜率之积 为，即，即 ， 所以 ①. 由于的中点，在直线 上， 所以，即 ②. 由①②得，，所以点 ． 于是直线的方程为，即 . 联立直线与直线的方程，解得，，即直线与直线 的交点坐标为 ，，所以点， ． 58 （2）点到和（,在直线 同侧）的距离之和最小． 【解析】设点关于直线的对称点为点，于是有 解得 即点的坐标为 ． 所以所在直线的方程为.联立直线与直线的方程，解得 , ．故点的坐标为， . . . 59 求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法 当两点，在直线的两侧时，可以在直线上找到一点，使得 最大. 如图1.5-6，作点关于直线的对称点，连接并延长，交于点，则点 就是所 求点. 图1.5-6 60 若在直线上取不同于点的点（如图1.5-6），连接,,，,则 . 在中， （三角形两边之差小于第三边）,即 ，所以当与重合时,最大，且 . 61 求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法 当两点，在直线的同侧时，可以在直线上找到一点,使得 最小. 如图1.5-7,作点关于直线的对称点，连接交于点，则点 就是所求点. 图1.5-7 若在直线上取不同于点的点（如图1.5-7），连接,, , ,,则， . 在中， （三角形两边之和大于第三边）， 当,,三点共线，即与重合时， 最小，且 . 当两点，在直线的两侧时，连线与直线的交点是到, 距 离之和最小的点,且 . 62 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·河南省南阳市方城县第一高级中学月考)已知直线 和两点 ， ． （1）在直线上求一点，使 最小； 【答案】由题可知,两点位于直线 的同侧. 设与点关于直线 对称， 则解得即 . 连接，则 , 由得则点,使 最小. 63 （2）在直线上求一点，使 最大． 【答案】连接，则 . 由得 则点,使 最大. 64 6 利用对称解决光线反射问题 图1.5-8 例23 (2026·山西省晋中市期中)如图1.5-8所示,已知点 , ,从点射出的光线经直线反射后再射到直线 上,最后经直线反射后又回到点 ，则光线所经过的路程是 ( ) A A. B.6 C. D. 图1.5-9 【解析】由题意知,所在直线的方程为 . 如图1.5-9,点关于直线的对称点为,关于 轴的对称点 为，连接,,易知, ,所以 ,故光线所经过的路程 为 . 65 利用对称解决光线反射问题的方法 （1）根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称, 即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. 图1.5-10 66 如图1.5-10所示,点,分别为入射光线、反射光线上的点,点,关于 的对称点分别为 ,,则点在反射光线所在的直线上,点 在入射光线所在的直线上,于是可利用两点 式求得入射光线或反射光线所在的直线方程. （2）在解决这类问题时,要充分探索出题目的内涵及图形的几何特征,用光学的知识 去求解,往往使问题的求解变得非常简便. 67 新考法 数学文化 例24 (2026·福建省厦门市湖滨中学月考)数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少 数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 相关的代数问题，可以转化为点与点 之间的距离 的几何问题.结合上述观点,对于函数， 的最 小值为( ) A A. B. C. D.2 【解析】设点,, ,则函数 ，表示点 与点与的距离之和.易知点在轴上，点关于 轴的对称点为 ，所以 ，则 的最小值为 ． 68 素养提升 教育部考试中心明确提出在高考数学考题中要体现数学文化，课程标准中 也提出要了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，提倡体现数 学的文化价值.因此，近两年关于数学文化的考题经常出现.与数学文化有关的考题主 要以数学史作为试题背景，主要包括数学家生平故事，数学史事件，数学名著，数 学名题，数学发展的历史等.数学文化体现了数学的人文价值和科学价值，在培养学 生数学素养的教育中扮演着重要角色. 69 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.设点在轴上，点在轴上，的中点是，则 等于( ) C A.5 B. C. D. 【解析】设，，则，，解得， ， ． 70 2.(2026·湖南省娄底市第一中学月考)已知点， 到直线 的距离相等，则实数 的值为( ) C A. B. C.或 D.或 【解析】由题意及点到直线的距离公式得，解得 或 . 71 3.已知的顶点坐标分别为，，，则 的面积为( ) B A.3 B. C. D. 【解析】,所在直线方程为 ，即 , 到直线的距离 , 的面积 . 72 4.［多选题］(2026·广东省广州市番禺区实验中学期中)若直线 与 直线的距离为，则 可以是 ( ) BC A.7 B. C. D. 【解析】直线，即 ，因为它与直线 的距离为，所以，解得或 .故选 . 73 5.［多选题](2026·湖南师范大学附属中学月考)已知直线过点，点 ， 到的距离相等，则 的方程可能是( ) BC A. B. C. D. 74 【解析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时点到直线 的距离为5， 点到直线 的距离为1，此时不成立. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ， 即 ， 点， 到直线的距离相等， ， 解得或 ， 当时，直线的方程为，整理得 ， 当时，直线的方程为，整理得 ． 综上，直线的方程为或．故选 ． 75 6.直线关于直线 的对称直线的方程为________________． 【解析】因为直线的斜率为1，故有 代入直线方程 ，得，整理得 ．故所求直 线的方程为 ． 7.若直线与直线 平行，则它们之间的距离为_ _____. 【解析】直线与直线平行，所以 ，解得 ，则,即 ,所以这两条直线间的距离为 . 76 8.如图1.5-1所示，已知是的边 上的中线，试利用坐标法求证： . 图1.5-1 77 【答案】以 为坐标原点，建立如图D 1.5-1所示平面直角坐标系， 图D 1.5-1 则，设，，，则 ， ，， ， ． 78 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 9.新情境 将军饮马 (2026·湖南省衡阳市祁东县育贤中学期中)唐代诗人李颀的诗 《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个 有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设 军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线 的 方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程是( ) D A. B. C. D. 79 【解析】设点关于直线的对称点为 ， 则即故 ， 由题意可得“将军饮马”的最短总路程为 ． 80 10.已知，，点在轴上，则 的最小值是( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】已知，，点在 轴上，如图D 1.5-2， 图D 1.5-2 取关于轴的对称点，连接交轴于点 ， ，所以 的最小值是5． 81 11.新定义 有向距离 ［多选题］ (2026·河北省衡水中学月考)定义点 到直线 的有向距离为．已知点，到直线 的有向距离分别是， .以下命题不正确的是( ) BCD A.若，则直线与直线 平行 B.若，，则直线与直线 垂直 C.若，则直线与直线 垂直 D.若，则直线与直线 相交 82 【解析】记, . 对于A，若，则，直线 与 直线 平行，A正确. 对于B，点,在直线的两侧且到直线的距离相等，无法得出直线与直线 垂直， 所以B错误． 对于C，由A知，若时，满足 ，但此时 ，则点,都在直线上，此时直线与直线 重合，所以C错误（也可由B知，C错误）. 对于D，若，即 ， 点，分别位于直线 的两侧或直线上， 所以直线与直线 相交或重合，所以D错误. 故选 ． 83 12.(2026·山东省菏泽市巨野县第二中学月考)一条直线被直线 和 截得的线段的中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程为_____ _______． 【解析】设所求直线与直线交于点，它关于原点的对称点为 ， 且在直线 上， 由解得 故所求直线方程为，即 ． 84 13.(2026·河南省多校月考)已知直线经过点 ． （1）原点到直线的距离为2，求直线 的方程； 【答案】当直线的斜率不存在时， ,符合题意. 当直线的斜率存在时，可设,即,则 , 解得, 直线的方程为 . 综上，直线的方程为或 . 85 （2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点 平分，求直线 的方程． 【答案】设直线与直线,分别交于点 , ，则, , . 又点在直线上，点在直线 上， ,由①②解得 由两点式得 . 86 14.已知是边长为1的正方形，点是正方形内一点，且点到边的距离为 , 点到边的距离为 . （1）用,表示 ； 图D 1.5-3 【答案】以为轴，为 轴建立平面直角坐标系，则 ，如图D 1.5-3所示,则，， ， ，所以 ， ， ． 87 （2）求 的最小值． 【答案】因为 ， 当且仅当,,三点共线，,,三点共线，即 为正方形中心时，等号成立，所以 最小值为 ． 88 $