1.4 两条直线的交点(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点”，涵盖交点坐标求解、方程组解与位置关系判定、过交点直线系方程等核心知识点。通过课前预习诊断分析与问题引导，衔接直线方程知识，搭建从代数运算到几何意义的学习支架。 其亮点在于课中探究通过例题变式与两种方法对比，培养逻辑推理与运算能力（数学思维），课后习题结合三角形面积等实际问题，发展应用意识（数学语言）。素养小结系统梳理方法，助力学生构建知识体系，既提升学生数学思维能力，也为教师提供高效教学资源。

1.4 两条直线的交点 1 探究点一 判断直线的交点及由交点求参数 探究点二 过两直线交点的直线系方程 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.能描述两条直线交点（坐标）的几何（代数）含义,能用解方程组 的方法求两条直线的交点坐标. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 3 知识点一 两条直线的交点 已知同一平面内的两条直线 , ,则 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线, 的公共点 一个 无数个 零个 直线, 的位置关系 相交 重合 平行 课 前 预 习 4 知识点二 直线系方程 已知直线与相交于点 ， 则过点的直线（除 外）可表示为 . 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若点在直线上,则点 的坐标一定满 足直线 的方程.( ) √ （2）若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次 方程组的解.( ) √ （3）若两条直线的斜率都存在且不相等，则两条直线相交．( ) √ 课 前 预 习 6 2.直线与直线 的位置关系如何? 若相 交，能根据图形确定直线与直线 的交 点坐标吗?有什么办法求得这两条直线的交点坐标? 解：两直线相交，根据图形可确定两直线的交点坐标为 ，可 用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 课 前 预 习 7 探究点一 判断直线的交点及由交点求参数 例1（1）（多选题）［2025·石嘴山三中高二月考］ 下列说法中正 确的有( ) A.直线和 相交 B.直线和的交点坐标为 C.直线和 没有交点 D.直线，, 两两相交 √ √ √ 课 中 探 究 8 [解析] 对于A，直线， ，两直线重合， 故A错误； 对于B，由解得所以与 的交点坐标为， 故B正确； 对于C，直线 ，，两直线的斜率相等且 两直线不重合，故与 平行，所以与没有交点，故C正确； 对于D，直线 ，,，可知直线,, 的斜率分别为,1,,斜率都不相等,故三条直线两两相交,故D正确. 故选 . 课 中 探 究 9 （2）若三条直线，， 相交 于一点，则实数 的值为( ) A. B. C.2 D. [解析] 设三条直线相交于点，则直线 ， 交于点，由解得 即 ， 直线过点，可得， .故选B. √ 课 中 探 究 10 变式（1）若直线与 的交点在第一象 限，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题知.由解得 两条直线的交点在第一象限，可得 .故选B. √ 课 中 探 究 11 （2）直线与直线 的交点坐标为 ______. [解析] 由解得所以直线与 的交点坐标为 ． 课 中 探 究 12 ［素养小结］ （1）求两相交直线交点坐标的一般方法是解两直线方程组成的二元 一次方程组； （2）已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值 范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或 不等式，从而求出参数的值或取值范围. 课 中 探 究 13 探究点二 过两直线交点的直线系方程 例2 求过两直线和 的交点且与直线 平行的直线方程． 解：方法一：由 得所以两直线的交点坐标为 . 又所求直线与直线 平行，所以所求直线的斜率为 . 故所求直线的方程为，即 . 课 中 探 究 14 方法二：设所求直线的方程为 ， 即 . 因为所求直线与直线 平行， 所以 解得 . 代入（*）式，得 ， 即 . 课 中 探 究 变式（1）过直线与直线 的交点,且与直线 平行的直线方程为______________. [解析] 由解得 直线 与直线 的交点坐标为. 设所求直线的方程为 ,将点的坐标代入方程,得, , 所求直线的方程为,即 . 课 中 探 究 16 （2）求过直线和直线的交点 ， 且与直线垂直的直线 的方程. 解：由解得 直线与直线垂直，且直线的斜率为 , 直线的斜率为, 直线的方程为 , 即 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 求过两条直线交点的直线方程的两种方法： 方法一，先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； 方法二，利用过两条直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解. 课 中 探 究 18 课后习题 19 1.直线与直线 的交点坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由得 则交点坐标为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 2.若三条直线，和 相交 于一点，则 ( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 由得 点 也在直线 上，， . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 3.［2025·江苏徐州三中高二期中］已知直线 ， ，则过和的交点且与直线 垂直的直 线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由可得因为直线 的斜率 为，所以所求直线的斜率为 ，故所求直线的方程为 ，即 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 4.若直线与直线 的交点位于第一象 限,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 当时,,此时 ,不满足题意; 当时,由得由题知 解得 ,即实数的取值范围为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 5.［2025·湖南长沙长郡中学高二月考］无论 为何值，直线 恒过定点( ) A. B. C. D. [解析] 由 ，得 ，由得 直线恒过定点 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 6.（多选题）［2025·广东惠州中学高二质检］ 设直线 ， ，则下列说法错误的是( ) A.方程与都可以表示平面直角坐标系 内任 意一条直线 B.与 至多有无穷多个交点 C.“”的充要条件是“ ” D.记与的交点为，则 可表示过 点 的所有直线 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 [解析] 对于A，方程与都不能表示与 轴垂直 的直线，故A中说法错误； 对于B，当且 时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点， 故B中说法正确； 对于C，当 且时，，故C中说法错误； 对于D， 的坐标满足，且满足，但 不表示过点的直线，故D中说法错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 7.如果直线与的交点在 轴上， 那么 的值为____. [解析] 直线和直线的交点在 轴上， 可设交点为，所以消去，可得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 8.已知,点在直线上运动,则当线段最短时,点 的 坐标为________. [解析] 因为直线的斜率为,所以过点且与直线 垂直的直线的斜率为1,所以过点且与直线 垂直的直线的方 程为. 由解得 所以点的坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 9.（13分）［2025·江苏常州高二期中］ 已知直线 的方程为 ，直线过点，且 ． （1）求直线和直线 的交点坐标； 解:由题易知直线的方程为，即 . 由得 所以直线和直线的交点坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 （2）已知直线经过直线与直线的交点，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的，求直线 的方程． 解:因为直线与两坐标轴都相交，所以直线 的斜率一定存在且不为0. 设 ， 则直线交轴于点，交轴于点 . 由题意得，得或.所以 的方程为 或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 10.（13分）［2025·上海七宝中学高二期中］ 在中，边 ， 上的高所在直线的方程分别为与，点 的坐标为 . （1）求边 上的高所在直线的一般式方程； 解:由解得则垂心 ， 所以高所在直线的斜率 ， 所以直线的方程为，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 （2）求边的中线 所在直线的斜率. 解:因为边，上的高所在直线的方程分别为 与 ，所以， ， 则直线的方程为，即 ， 直线的方程为，即 . 10.（13分）［2025·上海七宝中学高二期中］ 在中，边 ， 上的高所在直线的方程分别为与，点 的坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 由得即 ， 由得即 ， 所以边的中点的坐标为，所以 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 11.［2025·江苏兴化高二期中］若直线与 轴交于 点，直线与轴交于点，直线与交于点 ， 则 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 易知点，点，由得 所以，所以，， 所以 ,，所以, ， 所以 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 12.［2025·江苏扬州中学高二月考］在中，， ， ，如果直线将 分割成面积相等的两部分，那么实 数 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 [解析] 因为,,所以，即 . 显然当时满足题意，由得 因为，所以，得或 （舍去）．故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知两直线，与 轴不能构成三角 形，则符合条件的所有 值的和为____. [解析] 由题知，两直线与轴相交于同一个点时， ，此时不能 构成三角形. 由，得 ， 由 解得 即直线恒经过定点 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 当直线的斜率，即 时， 直线，与 轴不能构成三角形. 当直线与直线平行，即 时， 两直线与轴不能构成三角形. 综上，当或或 时，直线， 与轴不能构成三角形，故 值的和为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 14.如果三条直线，和 将平 面分为六个部分，那么实数 的取值集合为___________. [解析] 若三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面 分成七部分. 若这三条直线将平面分为六部分，则包括两种情况 过另外两条直线的交点，由 和 联立，得两直线的交点坐标是 ，代入 ，解得. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 ②直线 与另外两条直线中的一条平行， 当和 平行时，只需,解得； 当和 平行时， 只需，解得 综上，的取值集合是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.［2025·江苏高邮高二期中］过点作直线 ，使它被两条相交 直线和所截得的线段恰好被点 平分， 则直线 的方程为________________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 不妨设直线，，设直线 夹 在直线，之间的线段为在上，在上，设 ， ， 因为线段被点平分，所以 ，， 于是，. 因为在上，在 上， 所以 则解得 即的坐标是，则直线的方程是，即 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）已知直线过点且与定直线 在第一象限 内交于点，与轴正半轴交于点，记的面积为 为坐标原 点，点 . （1）求实数 的取值范围； 解:当直线与直线 平行时，不能构成三角形，此时 ，解得，所以 . 因为点在轴正半轴上，且直线与定直线 在第一象限内交于 点，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 （2）求当取得最小值时，直线 的方程. 解:当直线的斜率不存在，即,时， . 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，因为直 线的斜率存在，所以，且 . 又，所以或 . 由得 即， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 则 ， 即 ， 当时， ，整理得 ，得，即 的最小值为3， 此时，解得 ， 则直线的方程为，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $