1.5　培优课　对称问题课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦对称问题，涵盖中心对称、轴对称及应用（光的反射、距离最值），通过典型例题导入，从点关于点对称逐步延伸到直线对称、实际应用，构建递进式学习支架。 其亮点是“通性通法”总结解题逻辑，结合光的反射、距离最值实例，培养数学思维与模型意识。学生能掌握方法提升能力，教师可借助系统资源实施分层教学，提高教学效率。

培优课　对称问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 中心对称问题 【例1】　（1）求点 P （ x0， y0）关于点 A （ a ， b ）的对称点P' 的坐标； 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：根据题意可知点 A （ a ， b ）为PP'的中点，设点P'的 坐标为（ x ， y ）， 则根据中点坐标公式，得所以 所以点P'的坐标为（2 a － x0，2 b － y0）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）求直线3 x － y －4＝0关于点（2，－1）的对称直线 l 的方程. 解：法一　设直线 l 上任意一点 M 的坐标为（ x ， y ），则 此点关于点（2，－1）的对称点为 M1（4－ x ，－2－ y ）， 且 M1在直线3 x － y －4＝0上， 所以3（4－ x ）－（－2－ y ）－4＝0，即3 x － y －10＝0. 所以所求直线 l 的方程为3 x － y －10＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 法二　在直线3 x － y －4＝0上取两点 A （0，－4）， B （1，－1）， 则点 A （0，－4）关于点（2，－1）的对称点为 A1（4，2）， 点 B （1，－1）关于点（2，－1）的对称点为 B1（3，－1）. 可得直线 A1 B1的方程为3 x － y －10＝0， 即所求直线 l 的方程为3 x － y －10＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 法三　由平面几何知识易知所求直线 l 与直线3 x － y －4＝0平行， 则可设 l 的方程为3 x － y ＋ c ＝0（ c ≠－4）. 在直线3 x － y －4＝0上取一点（0，－4）， 则点（0，－4）关于点（2，－1）的对称点（4，2）在直线3 x － y ＋ c ＝0上， 所以3×4－2＋ c ＝0，所以 c ＝－10. 所以所求直线 l 的方程为3 x － y －10＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 1. 解决点关于点对称问题的方法 点 P （ x0， y0）关于点 A （ m ， n ）的对称点P'（x'，y'）可利用中 点坐标公式求得，由得 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称 点，再由对称点确定对称直线； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利 用对称直线与原直线平行求直线方程； 特别地，直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0关于原点对称的直线方程是 A （－ x ）＋ B （－ y ）＋ C ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若点 P （3，4）是线段 AB 的中点，且点 A 的坐标为（－1，2），则点 B 的坐标为 ⁠. 解析：设点 B （ x ， y ），∵点 P （3，4）是线段 AB 的中点，且点 A 的坐标为（－1，2），∴解得 x ＝7， y ＝6，∴点 B 的 坐标为（7，6）. （7，6）　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 已知直线 l1：2 x ＋ y ＋2＝0与 l2：4 x ＋ by ＋ c ＝0关于点 P （1，0） 对称，则 b ＋ c ＝ ⁠. 解析：在直线 l1：2 x ＋ y ＋2＝0上取点 M （－1，0）， N （0，－ 2）， M ， N 关于点 P （1，0）对称的点分别为 M1（3，0）， N1 （2，2）.∵点 M1（3，0）， N1（2，2）在直线 l2：4 x ＋ by ＋ c ＝ 0上，∴12＋ c ＝0，8＋2 b ＋ c ＝0，解得 c ＝－12， b ＝2，∴ b ＋ c ＝－10. －10 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型二 轴对称问题 【例2】　已知直线 l ： y ＝3 x ＋3，求： （1）点 P （4，5）关于直线 l 的对称点的坐标； 解：设点 P 关于直线 l 的对称点为P'（x'，y'），则线段PP' 的中点在直线 l 上，且直线PP'垂直于直线 l ，即 解得 所以点P'的坐标为（－2，7）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）直线 y ＝ x －2关于直线 l 的对称直线的方程. 解：解方程组得 则点（－ ，－ ）在所求直线上. 在直线 y ＝ x －2上任取一点 M （2，0）， 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 则解得 点M'（－ ， ）也在所求直线上. 由两点式得直线方程为 ＝ ， 化简得7 x ＋ y ＋22＝0，即为所求直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 1. 解决点关于直线对称问题的方法 已知 P （ x ， y ），直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0，求点 P 关于直线 l 的 对称点P'（x'，y'）可以分三步来求： 第一步，直线PP'和 l 垂直，故 kPP'· kl ＝－1（ kl ≠0）； 第二步，PP'的中点在直线 l 上，即（ ， ）满足直线方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0，得到 A · ＋ B · ＋ C ＝0； 第三步，联立两式可解出x'，y'. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 解决直线关于直线对称问题的方法 已知直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0，求直线 l1关于直线 l2的对称直线的方程： （1）如果 l1∥ l2，则设所求直线方程为 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0（ m ≠ C1），然后在 l1上找一点 P ，求出点 P 关于直线 l2的对称点P' （x'，y'），再代入 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0即可解出 m ； （2）如果 l1不平行于 l2，则先找出 l1与 l2的交点 P ，然后在 l1上确定 一点（不同于交点），找出这一点关于 l2的对称点P'，由直线 方程的两点式确定所求直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知直线 l1： x － y ＋3＝0，直线 l ： x － y －1＝0. 若直线 l1关于直线 l 的对称直线为 l2，求直线 l2的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：法一　因为 l1∥ l ，所以 l2∥ l ，设直线 l2的方程为 x － y ＋ m ＝0（ m ≠3， m ≠－1）. 因为直线 l1， l2关于直线 l 对称，所以 l1与 l 间的距离等于 l2与 l 间 的距离. 由两条平行直线间的距离公式，得 ＝ ，解得 m ＝－5或 m ＝3（舍去）. 所以直线 l2的方程为 x － y －5＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 法二　由题意知 l1∥ l2，设直线 l2的方程为 x － y ＋ m ＝0（ m ≠3， m ≠－1）. 在直线 l1上取点 M （0，3），设点 M 关于直线 l 的对称点为M'（ a ， b ），于是有解得即点M'的坐标为 （4，－1）. 把点M'的坐标代入 l2的方程，得 m ＝－5，所以直线 l2的方程为 x － y － 5＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型三 对称问题的应用 角度1　光的反射问题 【例3】　已知光线从点 A （－2，1）射出，经直线2 x － y ＋10＝0反 射，且反射光线所在直线过点 B （－8，－3），则反射光线所在直线 的方程是（　　） A. x －3 y －1＝0 B. 3 x － y ＋21＝0 C. x ＋3 y ＋17＝0 D. 3 x ＋ y ＋15＝0 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　设 A （－2，1）关于直线2 x － y ＋10＝0的对称点为 C （ x ， y ），则解得即 C （－ 6，3），所以反射光线所在直线方程为 y －3＝ ·（ x ＋6），即3 x － y ＋21＝0.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 利用对称解决光线反射问题的方法 　　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线 关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点关于法线对称.利 用点的对称关系可以求解. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 角度2　利用对称解决有关最值问题 【例4】　在直线 l ： x － y －1＝0上求两点 P ， Q . 使得： （1） P 到 A （4，1）与 B （0，4）的距离之差最大； 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：如图，设点 B 关于 l 的对称点B'的坐标 为（ a ， b ），连接BB'，则 kBB'· kl ＝－1，即 ×1＝－1， ∴ a ＋ b －4＝0，　① ∵BB'的中点（ ， ）在直线 l 上， ∴ － －1＝0，即 a － b －6＝0.　② 由①②得 ∴点B'的坐标为（5，－1）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 于是AB'所在直线的方程为 ＝ ， 即2 x ＋ y －9＝0. 易知｜ PB － PA ｜＝｜PB'－ PA ｜，当且仅当 P ， B'， A 三点共线时，｜PB'－ PA ｜最大. ∴联立直线 l 与AB'的方程，解得 x ＝ ， y ＝ ， 即直线 l 与AB'的交点坐标为（ ， ）. 故点 P 的坐标为（ ， ）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2） Q 到 A （4，1）与 C （3，0）的距离之和最小. 解：如图，设点 C 关于 l 的对称点为C'，可 求得C'的坐标为（1，2）， ∴AC'所在直线的方程为 x ＋3 y －7＝0. 易知 QA ＋ QC ＝ QA ＋QC'，当且仅当 Q ， A ，C' 三点共线时， QA ＋QC'最小. ∴联立直线AC'与 l 的方程，解得 x ＝ ， y ＝ ， 即直线AC'与 l 的交点坐标为（ ， ）. 故点 Q 的坐标为（ ， ）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 利用对称性求距离最值问题的方法 　　要解决在直线 l 上求一点，使这点到两定点 A ， B 的距离之和 （差）的最值问题，一般借助平面几何知识（三角形任意两边之和大 于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边）及对称性解决.即： （1）若两点 A ， B 位于直线 l 的同侧，要求直线 l 上到 A ， B 距离之和 最小的点，只需作 A （或 B ）关于直线 l 的对称点A'（或B'）， 得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线 l 的交点即可； 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）若两点 A ， B 位于直线 l 的同侧，要求直线 l 上到 A ， B 距离之差 最大的点，则只需求出直线 AB 的方程，再求其与直线 l 的交点 即可； （3）若两点 A ， B 位于直线 l 的异侧，要求直线 l 上到 A ， B 距离之差 最大的点，则只需作 A （或 B ）关于直线 l 的对称点A'（或 B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线 l 的交点即可. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 一条光线从点 A （－1，3）射向 x 轴，经过 x 轴上的点 P 反射后经过 点 B （3，1），则点 P 的坐标为（　　） A. （0，0） B. （1，0） C. （2，0） D. （3，0） 解析：　由题可得 B （3，1）关于 x 轴的对称点为B'（3，－1）， 则直线AB'的方程为 ＝ ，可得 y ＝－ x ＋2，令 y ＝0， 可得 x ＝2，所以点 P （2，0）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 已知直线 l ： x －2 y ＋8＝0和两点 A （2，0）， B （－2，－4），在直线 l 上求一点 P ，使｜ PB － PA ｜最大. 解：易知 A ， B 两点在直线 l 的同侧， 当且仅当 A ， B ， P 三点共线时，｜ PB － PA ｜取得最大值， 又直线 AB 的方程为 y ＝ x －2， 则得 故所求的点 P 的坐标为（12，10）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 1. 点 A （－3，1）， C （1， y ）关于点 B （－1，－3）对称，则 y 的 值为（　　） A. －5 B. －6 C. －7 D. －8 解析：　由已知得 ＝－3，解得 y ＝－7. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 点（3，9）关于直线 x ＋3 y －10＝0对称的点的坐标是（　　） A. （－1，－3） B. （17，－9） C. （－1，3） D. （－17，9） 解析：　设点（3，9）关于直线 x ＋3 y －10＝0对称的点的坐标为 （ a ， b ），则由解得即得该 点坐标为（－1，－3）.故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 3. 直线 x －2 y －1＝0关于直线 y － x ＝0对称的直线方程是（　　） A. 2 x － y ＋1＝0 B. 2 x ＋ y －1＝0 C. 2 x ＋ y ＋1＝0 D. x ＋2 y ＋1＝0 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　由得其交点为（－1，－1），则点 （－1，－1）在所求直线上，在直线 x －2 y －1＝0上任取一点 P （1，0），设点 P 关于直线 y － x ＝0的对称点为 P '（ x0， y0），则 解得即 P '（0，1），又点 P '也在所求直 线上，则所求直线方程为 ＝ ，即2 x － y ＋1＝0，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 4. 一束光线从原点 O （0，0）出发，经过直线 l ：8 x ＋6 y ＝25反射后 通过点 P （－4，3），求反射光线的方程及光线从 O 点到达 P 点所 走过的路程. 解：如图，设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为（ a ， b ）， 由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解得∴ A 的坐标为（4，3）. ∴反射光线的反向延长线过 A （4，3）， 又由反射光线过 P （－4，3）， A ， P 两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为 y ＝3. 联立解得 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 由于反射光线为射线，故反射光线的方程为 y ＝3 . 由光的性质可知，光线从 O 到 P 的路程即为 AP 的长度， 由 A （4，3）， P （－4，3）知， AP ＝4－（－4）＝8， 即光线从 O 经直线 l 反射后到达 P 点所走过的路程为8. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $