1.4 两条直线的交点 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点”，系统讲解交点与二元一次方程组解的对应关系，通过联系直线方程旧知，构建从求交点坐标、判断位置关系到直线系方程的知识支架，助力学生形成完整知识脉络。 其亮点在于采用分层训练（基础、中档、拔高），结合思维导图整合知识，例题与变式题对接高考。通过解方程组判断直线位置、用直线系方程求过交点直线等实例，培养数学运算与数形结合素养，既帮助学生提升解题能力，也为教师提供一体化教学资源，提高教学效率。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第一章 直线与方程 1.4 两条直线的交点 本节理解两条直线交点与二元一次方程组解的对应关系，会通过解方程组求两直线交点坐标，能根据方程组解的情况判断两直线位置关系，发展数学运算与数形结合素养。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括53张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 两条直线的交点 1 两条直线的交点 设两条直线的方程分别是， .如果这 两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公 共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点 必是直线和 的交点. 4 2 方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组 的解 一组 无数组（此时方程组中的两个 方程可化为同一个方程.） 无解 直线， 的公共点 一个 无数个（此时方程组中的两个 方程可化为同一个方程.） 零个 直线， 的位置关系 相交 重合（此时方程组中的两个方 程可化为同一个方程.） 平行 知识剖析 （1）求两条直线的交点坐标，只需将两条直线的方程联立，解方程组即 可，体现了用代数方法研究几何问题的思想. （2）与相交的条件是或,均不为0 . （与 的条件对比记忆） . . 5 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P29例1]判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标. （1）， ； 【解析】联立直线与的方程得方程组解得 所以与相交，且交点坐标为 . 6 （2）， ; 【解析】联立直线与 的方程得方程组 ，整理得，即方程②可以化为方程①，所以与 重合． （3）， . 【解析】联立直线与 的方程得方程组 由 ，可知该方程组无解． 所以与无公共点，即 . 7 释疑惑 重难拓展 知识点2 过两直线交点的直线系方程 1 过两条直线交点的直线系方程 教材深挖 POINT 该结论即教材第32页 【习题1.4】第9题. 设直线,不同时为0 ， ,不同时为0，则过, 的交点的直线系方程为 其中,为参数，且 .特别 地，该直线系方程也可以改写为 （其中 为参数）（*）.（注意，此时直线系中不包括直线 ） . . 8 知识剖析 点斜式和斜截式 都是交点直线系方程. ①将点斜式整理为,对照交点直线系方程，其中 就是 ,是直线，是直线,故是过点 （此即点斜式下直线所过定点的坐标）除 外的所有直线; ②同①可说明直线系方程为已知,为参数是过点 （此即斜截 式下直线所过定点的坐标）除（即 轴）外的所有直线. . . . . 9 2 直线过定点问题 对于方程中含参数的直线过定点问题,一般先将直线方程化为以下形式: .再令 其解就是该直线所过定点的坐标.（有时也把 平面内恒过定点的直线的全体称为中心直线系） 10 学思用·典例详解 例2-2 直线 恒过定点________. 【解析】由题意可知，可化为,令 得 则该直线恒过点 . 11 例2-3 ［教材改编P30例3］(2026·重庆市杨家坪中学月考)经过点 和两直线 ， 交点的直线方程为______________. 【解析】 设所求直线方程为（其中 为常 数），点在该直线上，所以，解得 . 故所求直线的方程为，即 . 解方程组得所以直线和的交点坐标为 ，由 直线的两点式方程可得，即所求直线方程为 .（也可由截距式 方程求得） 12 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 直线的交点问题 1 两条直线相交的判定和求交点坐标问题 例4 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标. （1）， ； 【解析】解方程组得 所以与相交，且交点坐标为 . 13 （2）， ; 【解析】直线的方程可整理为，即直线,的方程相同，所以 与 重合． （3）， . 【解析】联立直线与 的方程得方程组 由，得，则方程组无解,所以与 无公共点， 即 . 14 2 求参数的值或取值范围 例5 这两条直线和的交点在第四象限，则 的取值范 围是( ) A A. B. C. D. 15 【解析】易知,联立方程得 解得 , 所以交点坐标为 . 因为交点在第四象限，所以 解得 ． 3 三条直线相交问题 例6 [多选题](2026·河南省开封市期中)已知三条直线 ， ，不能构成三角形，则实数 的取值为( ) ACD A. B. C. D.6 17 【解析】由于三条直线，， 不能构 成三角形，则直线必然存在平行关系或交于一点. ①当与 平行时， 则，解得 ； ②当与 平行时， 则，解得 ; ③当三线交于同一点时，（解本题时容易忽略三线共点时也满足“不能构成三角形” 这一情况，导致漏解） 由解得 代入，解得 ． . . 18 三条直线相交问题的解题思路 1.已知三条直线相交于同一点,求直线方程中的参数,只需求出其中两条直线的交点,利 用该点也在第三条直线上即可求解. 2.已知三条直线有两个不同的交点，需满足其中两条直线平行且与第三条直线相交 于不同的两点. 3.已知三条直线有三个不同的交点,需满足其中任意两条直线的交点不在第三条直线上. 19 【学会了吗丨变式题】 1.若三条直线，和0交于一点，则 的值为 ( ) B A. B. C.2 D. 【解析】 方程组的解为 两直线和的交点坐标为 ． 直线，和 交于一点， ， . 20 题型2 求过两直线交点的直线方程 例7 (2026·天津市第二南开学校月考)已知直线经过直线 和 的交点，且垂直于直线，则直线 的方程为_________ _____. 21 22 【解析】 由得即点的坐标为，因为直线 与 直线垂直，所以直线的斜率为1，由点斜式得直线 的方程为 ,即 . 由得即点的坐标为，因为直线 与直线 垂直，所以可设直线的方程为，把点 的坐标代入得 ，解得.故直线的方程为 . 23 因为直线过点,且直线与直线 不垂直， （因为后续设出的直线系方程不包括直线 ,所以要先说明所求直线不 会是 ,即两直线不垂直） 故直线的方程可设为（其中 为常数）， 即 ， 因为直线与直线 垂直， 所以，解得 . 故直线的方程为 . . . 24 求过两直线交点的直线方程的方法 （1）方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直 线方程. （2）直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求 出参数，最后确定直线方程. 25 【学会了吗丨变式题】 2.若直线经过直线和 的交点且与两坐标轴围成的 三角形的面积为，则直线 的方程为______________________________. 或 26 【解析】 由得直线,的交点为 ，由题意可知 直线在轴、轴上的截距均不为零，故可设直线的方程为 .由题 意得即（无解，舍去）或解得 或 所以直线的方程为或,即 或 . 27 由得即直线,的交点为,由题意得直线 的 斜率存在且，设直线的方程为 . 令，得;令，得 . 由，解得或 . 当时，直线的方程为,即 ; 当时，直线的方程为,即 . 28 易知直线与坐标轴围成的三角形的面积 ， 所以直线的方程不可能是.又直线过,的交点，故可设直线 的方程 为 为常数 , 即 . 由题意得 , 令,得；令，得 . 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积 , 所以,解得或 . 当时，直线的方程为 ; 当时，直线的方程为 . 29 名师点评 方法3设的是过两条直线交点的直线系方程，避开了求两条直线的交点，使用 这种方法前必须验证（或 ）是否符合所求直线需满足的条件，否则可能出现漏解. 30 题型3 直线过定点问题 例8 已知为直线的方程．求证：不论 取何实数，直 线 都过定点，并求出这个定点的坐标． 思路点拨 可用特殊值法,分别令 ,1，将得到的直线方程联立求得交点坐标， 代入验证即可；也可化成 的形式求解． 31 【解析】 对于方程，令,得 ；令 ,得 . 解方程组得两直线的交点的坐标为．将代入直线 的方程 的左边，得 . 这表明不论取何实数，直线都过定点 ． 整理直线的方程，得，不论取何实数，直线 的 方程均为直线系的形式，因此直线过定点．令 解 得 故不论取何实数，直线都过定点 ． 32 证明直线过定点的方法 要证明直线系中的直线过一定点，就要证明它是一个共点的直线系．一般有两种方法. （1）特殊值法，利用“不论参数取何值方程都有解”，给参数赋予两个特殊值，得到 直线系中的两条直线的方程，联立两方程解出的， 的值即所求定点的坐标，再代 入原方程验证即可. （2）将直线方程整理为 的形式，从而将直 线过的定点转化为两直线与 的交点，解方程 组 求出交点坐标，即得所求的定点坐标. 33 【学会了吗丨变式题】 3.已知点为直线上任意一点，动直线 经过的定点的 坐标为_________. 【解析】由已知得，即动直线方程为 ，此方程可 变形为 ， 令解得即动直线 经过的定点的坐标为 ． 34 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.直线与直线 的交点为( ) B A. B. C. D. 【解析】联立两直线方程，得解得 交点为 ． 35 2.(2026·海南省三亚市中国人民大学附属中学三亚学校期中)已知直线 与直线的交点在第一象限，则实数 的取值范围为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】联立方程得解得 ， 因为直线与直线的交点在第一象限，则 解 得．故实数的取值范围为 . 36 3.(2026·浙江省绍兴鲁迅中学月考)无论 为何值，直线 都过一个定点，则该定点为( ) C A. B. C. D. 【解析】直线 整理得 ，故解得 故该直线恒过定点 ． 37 4.过直线和的交点且与直线 平行的直线的方程 为( ) D A. B. C. D. 【解析】解方程组得 直线和的交点为 . 设与直线平行的直线的方程为 ， 把代入，得 ， 所求直线方程为 ． 38 5.已知点,点在直线上，若直线垂直于直线 ， 则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为直线垂直于直线,且直线的斜率为 ， 所以直线的斜率，所以直线的方程为 ，即 .由题意知，点为直线和 的交点，解方 程组得所以点的坐标为 ． 39 6.[多选题]直线不过第二象限，则 的取值可以为 ( ) CD A. B.1 C.2 D.3 【解析】 直线 不过第二象限， ①当（切勿遗漏斜率不存在的情况，此时直线与轴垂直）时，直线 符 合题意， ②当时，可化为,则 解得 . 综上，的取值范围为，故选 ． . . 40 7.直线，和交于一点，则 的值为____. 【解析】联立方程得解得 直线，和 交于一点， 点也在直线上，即，解得 ． 41 8.已知直线经过直线和的交点 ，且垂直于直线 ，则直线 的方程为______________. 42 【解析】 由得即点的坐标为，因为直线 与直 线垂直，所以直线的斜率为1，由点斜式得直线 的方程为 ,即 . 由得即点的坐标为，因为直线 与直线 垂直，所以可设直线的方程为，把点 的坐标代入得 ，解得.故直线的方程为 . 直线的方程可设为（其中 为常数），即 ，因为直线与直线 垂直，所以 ，解得.故直线的方程为 . 43 B 综合练丨高考模拟 建议时间：25分钟 9.已知直线 和 ,则( ) C A.和 可能重合 B.和 不可能垂直 C.直线上存在一点，使得以为中心旋转后与 重合 D.以上都不对 44 【解析】直线的斜率为 ，,直线的斜率为，所以和 不可 能重合,故A错误. 当 时,两直线垂直，故B错误. 因为，所以直线与必相交，当 位于交点处时， 以为中心旋转可使与 重合，故C正确. 45 10.(2026·北京市第二中学段考)已知三条直线， ， 将平面分为六个部分，则满足条件的 的值共有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 【解析】因为三条直线，， 将平面分 为六个部分，所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交.当三条直线交 于一点时，由可得将代入可得 ， 即；当两条平行线与第三条直线相交时，可得或，所以 或 ．故选C． 46 11.［多选题］(2026·江苏省连云港市赣马高级中学质检)若三条直线 ， 及恰有两个不同的交点，则实数 的值为( ) AC A.1 B.2 C. D. 【解析】， 两条直线， 相 交． 若三条直线，及 恰有两个不同的交点， 则直线与直线或 平行． 若与直线平行，则 ; 若与直线平行，则 . 或 ． 47 12.已知直线，若 ,则直线过定点________;若 ，则直线过定点_ _____. 【解析】对于，令，则;令,则 . 由得 故当时，直线过定点 . 对于，令，则;令，则 . 48 由得 故当时，直线过定点 . 13.已知为实数．设直线的方程为，直线 的方程为 ． （1）若与平行，求 的值； 【答案】由题意知时，与 不平行. 与平行，，解得 . 50 （2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点 一定在某一条定直线上． 【答案】由（1）知，当与相交时， . 经过验证，时，直线与重合， .联立两直线方程 解得 , 又 ， 点恒在直线上，即点一定在直线 上. 51 C 培优练丨能力提升 14.已知，直线 和直线 与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最 小的 的值为__． 【解析】可化为,由 得 可化为 , 52 图D 1.4-1 由得故直线，恒过定点，直线 的 纵截距为，直线的横截距为 ，如图D 1.4-1，因为 ,所以四边形的面积 （将阴影部分分 割为一个三角形和一个梯形，分别算面积），故面积最小时， . . . 53 $