1.3 两条直线的平行与垂直(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“两条直线的平行与垂直”，系统梳理判定条件，课前通过诊断分析和问题回顾斜率、倾斜角旧知，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于课中探究通过分类讨论斜率存在与否，结合例题解析培养数学思维中的逻辑推理，素养小结系统归纳方法，课后习题分层设计融入实际问题，助力学生用数学语言表达规律，教师使用能高效落实知识点，提升学生应用意识。

1.3 两条直线的平行与垂直 1 探究点一 两条直线平行的判定 探究点二 两条直线垂直的判定 探究点三 利用一般式解决直线的平行和 垂直问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. 2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 3.运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何 问题. 3 知识点一 两条直线平行 类型 斜率, 存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 ________ 两条直线的斜率都不存在 图示 ______________________________________ ______________________________________ 课 前 预 习 4 知识点二 两条直线垂直 类型 斜率, 存在 斜率不存在 前提条件 ， ， 图示 ______________________________________ __________________________ 对应关系 对于斜率分别为,的直线 , , ___________ 若的斜率不存在, 的 斜率为0,则_______ 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）“直线与平行”是“直线与 的斜率相等”的充要条件.( ) × （2）“直线,的斜率之积为”是“直线, 互相垂直”的充要条件. ( ) × （3）如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等.( ) √ （4）已知直线的倾斜角为 ,直线的倾斜角为 ,若 ,则 .( ) × 课 前 预 习 6 2.成立的前提条件是什么? 成立 的前提条件是什么? 解： 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存 在；与不重合． 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． 课 前 预 习 7 探究点一 两条直线平行的判定 例1 根据下列条件,判断直线与直线 是否平行或重合： （1）经过点,,经过点, ; 解：由题意知，直线的斜率,直线 的斜率 ，所以 , 又，，所以,,, 四点不共线, 所以 . 课 中 探 究 8 （2）的倾斜角为 ,经过点, ; 解：由题意知，直线的斜率为,直线 的斜率为 , 所以或与 重合. （3）平行于轴,经过点, ; 解：由题意知，的斜率不存在,且不与轴重合, 的斜率不存在,且 与轴重合,所以 . 例1 根据下列条件,判断直线与直线 是否平行或重合： 课 中 探 究 9 （4）， . 解：的斜率,的斜率,根据且与 在轴上的截距不相等，可知与 平行. 例1 根据下列条件,判断直线与直线 是否平行或重合： 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 利用两条直线的斜率判断两条直线是否平行的方法如下: 课 中 探 究 11 探究点二 两条直线垂直的判定 例2 根据下列条件,判断直线与 是否垂直: （1）的倾斜角为,经过, 两点; 解：因为的倾斜角为,所以的斜率为 . 因为经过, 两点, 所以的斜率为 . 因为,所以 . 课 中 探 究 12 （2）的斜率为,经过, 两点; 解：因为经过,两点,所以的斜率为 . 因为的斜率为,且,所以与 不垂直. （3）的斜率为,的倾斜角为 , 为锐角,且 ; 解：记的斜率为,则 ， 因为,所以,解得或 . 因为 为锐角,所以 . 因为的斜率为,且,所以 . 例2 根据下列条件,判断直线与 是否垂直: 课 中 探 究 13 （4）， . 解：的斜率,的斜率 , 因为，所以与 垂直． 例2 根据下列条件,判断直线与 是否垂直: 课 中 探 究 14 变式 在平面直角坐标系中,四边形的四个顶点为 , ,,,其中且 .试判断四边形 的形状并证明. 解：四边形为矩形.证明如下:由斜率公式,得 , , ,,, , ,,, ,四边形为平行四边形. 又, . 又,与不垂直, 四边形 为矩形. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线的斜率都存在 （所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在）的 前提下，只需看它们的斜率之积是否等于<m></m>即可，但应注意有一条 直线与<m></m>轴垂直，另一条直线与<m></m>轴平行（或重合）时，两直线也垂直. 课 中 探 究 16 探究点三 利用一般式解决直线的平行和垂直问题 例3 求证: （1）若直线,直线 ，且 ，则，且当斜率存在时， ， 当斜率不存在时, . 课 中 探 究 17 证明:对于直线,直线 . ①当, ,即两直线斜率都存在时，可得 ， . 若，则且，即 且 . ②当,时，直线的斜率不存在，因为 ，所以 ,所以两条直线的斜率都不存在. 所以,且 . 综上，当时， . 当斜率存在时,,当斜率不存在时, . 课 中 探 究 （2）若直线,直线 ，且 ，则 . 证明： 对于直线,直线 . ①当,,即两直线斜率都存在时，可得 和 . 因为，所以，即 . 例3 求证: 课 中 探 究 19 ②当,时，直线 的斜率不存在， 因为，所以且,即直线 斜率为0,所以 . 当,时，直线的斜率不存在，因为，所以 且,即直线斜率为0,所以.因此当 时， . 课 中 探 究 20 变式 已知直线， ， 求实数 的值，使得： （1）， 相交； 解：当，相交时， ． 当，即时，解得 或 ． 所以当，且时，和 相交． 课 中 探 究 21 （2） ； 解：当时，，解得 ． 所以当时， ． （3） . 解：因为当时，不平行于 ， 所以，所以，且，解得 ． 变式 已知直线， ， 求实数 的值，使得： 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 利用一般式解决直线的平行和垂直问题时,要对参数进行分类讨论,关 注直线斜率是否存在、斜率是否为零等特殊情况. 课 中 探 究 23 课后习题 24 1.若直线的斜率为2,,则直线 的斜率为( ) A. B.2 C. D. [解析] 因为直线的斜率为2,,所以直线的斜率为 ,故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 2.过点和点的直线与 轴的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.以上都不对 [解析] 点和点的纵坐标都等于2， 直线 的方程 为，则， 直线与 轴平行．故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 3.已知直线，，若 ， 则 的值为( ) A. B.2 C.3 D.4 [解析] 因为， ，所以 ， 又，所以 ，所以，解得 ， 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 4.［2025·江苏如东中学高二月考］已知直线 ， ，则“”是“ ”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 由，可得，解得， 所以“ ”是“ ”的必要且不充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 5.过点且与直线平行的直线 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设直线的方程为，因为直线 过点 ，所以，解得，所以直线 的方程为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 6.［2025·江苏徐州一中高二月考］过点 且垂直于直线 的直线 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可得直线的斜率为，则直线 的斜率为 ，因为直线过点，所以直线的方程为 ， 即 ．故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 7.若直线和直线 重合，则实 数 的值为____. [解析] 由，得， 两条直线重合，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 8.在中，,,,则边上的高 所在的直线方 程为________________. [解析] 由已知可得，则边上的高 所在直线的斜 率，则直线的方程为 ，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 9.（13分）已知直线与直线 平行，且与坐标轴围成的三 角形的面积为6，求直线 的方程． 解:因为直线与直线平行，所以设直线 的方程为 . 对于，令，可得，即直线与 轴 的交点为，令，可得，即直线与 轴的交点 为 ， 故直线与坐标轴围成的三角形的面积 ， 解得，故直线的方程为 或 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 10.（13分）在平行四边形中，，， ． （1）求点 的坐标； 解:设点的坐标为，因为四边形 为平行四边形，所以 ， ， 所以解得 所以 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 （2）试判定平行四边形 是否为菱形. 解:连接，，因为， ， 所以，所以，所以平行四边形 为菱形． 10.（13分）在平行四边形中，，， ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 11.已知平行四边形的顶点，边 所在直线的方程是 ，对角线的交点为，则边 所在直线的方程为 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 [解析] 由题意知，由边所在直线的方程是 ， 可设直线的方程为且 . 又对角线的交点为，所以，关于点对称， 即点为线段 的中点，所以. 由点在直线上，可得 ， 解得，所以直线的方程为 ．故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 12.已知点是直线 外一点,则方程 表示( ) A.过点且与垂直的直线 B.过点且与 平行的直线 C.不过点且与垂直的直线 D.不过点且与 平行的直线 [解析] 方程 可化简为 ,所以直线 必过 点. 方程 所表示的直线的斜率与 的斜率相同，因此方程表示过点且与 平行的直线. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 13.（多选题）［2025·江苏苏州中学高二期中］ 已知直线 ， ，则( ) A.当变化时，的倾斜角不变 B.当 变化时， 过定点 C.与可能平行 D.与 不可能垂直 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 [解析] 对于A，当变化时，直线的斜率 ， 所以的倾斜角不变，故A正确； 对于B，直线 恒过定点，故B正确； 对于C，假设与 平行，则， 即，这与 相矛盾，假设不成立，所以与不可能平行，故C不正确； 对于D，假设与 垂直，则，即， 所以与 可能垂直，故D不正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 14.［2025·安徽合肥一中高二质检］已知直线 ， 互相垂直，则 的取值范围 为_ _____. [解析] 直线 ， 互相垂直， ，. ，，， 的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 15.［2025·江苏常州横林中学高二期中］瑞士数学家欧拉在《三角形 的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心都在同一 条直线上．这条直线被称为欧拉线．在中， ， ，，若直线与 的欧拉 线平行，则实数 的值为( ) A. B. C. 或3 D.3 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 由题可知，的重心为,即 . 易知为直角三角形，所以的外心为斜边中点 ,即 ,所以的欧拉线方程为,即 . 因为与平行，所以 , 解得 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 16.已知集合 与集合 ,，若 ，则 实数 的值为_______. 或 [解析] 由，得， . 因为,所以,,所以直线 , 与,有交点. 因为 ，所以两直线重合，所以， 得 ，解得或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 $