1.2 直线的方程 1.2.3 直线的一般式方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线的一般式方程，通过课前预习梳理直线与二元一次方程的关系及定义，结合诊断分析搭建学习支架，从特殊形式方程过渡到一般式，衔接前后知识脉络。 其亮点在于课中探究采用分类讨论（如例1分截距为0和不为0）及含参数问题推理，结合素养小结提炼解题策略，培养数学思维。多样化例题帮助学生用数学语言表达方程转化，提升分析能力，教师可借助系统流程高效教学。

1.2 直线的方程 1 1.2.3 直线的一般式方程 2 探究点一 求直线的一般式方程 探究点二 含参数的直线的一般式方程有 关问题的探究 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程. 2.能讨论特殊形式与一般式的关系,并能熟练地进行互化. 4 知识点一 直线与二元一次方程的关系 （1）平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于, 的 二元一次方程____________________________来表示; （2）任何一个关于,的二元一次方程 , 不全为0 都表示平面直角坐标系中的__________. ,不全为0 一条直线 课 前 预 习 5 知识点二 直线的一般式方程 方程____________________________叫作直线的一般式方程，简称 一般式. ,不全为0 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任何直线方程都能表示为一般式．( ) √ （2）任意一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) × （3）对于二元一次方程，当， 时，方 程表示垂直于 轴的直线．( ) × （4）斜率为2，且经过点 的直线的一般式方程为 .( ) √ 课 前 预 习 7 探究点一 求直线的一般式方程 例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. （1）直线经过， 两点； 解：由题可得 ， 所以该直线的方程为，即 . （2）经过点，且垂直于 轴； 解：经过点，且垂直于 轴的直线的斜率不存在， 其方程为，即 . 课 中 探 究 8 （3）过点 且在两坐标轴上的截距相等. 解：当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设所求直线方程为 ， , 将点的坐标代入上式，得，解得 ， 所以直线方程为 . 当直线在两坐标轴上的截距为0，即直线过原点时，易得直线的方程 为，即 . 综上，直线的方程为或 . 例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. 课 中 探 究 9 变式 写出下列直线的方程,并化成一般式. （1）经过点,斜率是直线的斜率的 ; 解：设所求直线的斜率为,则依题意得 , 因为直线经过点,所以所求直线的方程为 ,即 . 课 中 探 究 10 （2）经过点,且在轴上的截距等于在 轴上截距的2倍; 解：当直线不过原点时,设所求直线的方程为 ,将点 的坐标代入,可得,解得 ,所以直线的方程为 ; 当直线过原点时,设所求直线的方程为 , 则,解得,所以直线的方程为,即 . 综上,所求直线的方程为或 . 变式 写出下列直线的方程,并化成一般式. 课 中 探 究 11 （3）经过, 两点. 解：当时,直线的方程为,即 ; 当时,直线的方程为 , 即 . 因为当时,方程即为 ,所以所求 直线的方程为 . 变式 写出下列直线的方程,并化成一般式. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 求直线的一般式方程的策略. （1）当<m></m>时，方程可化为<m></m>，只需确定<m></m>，<m></m>的值； 当<m></m>时，方程可化为<m></m>，只需确定<m></m>，<m></m>的值.因此， 只要给出两个条件，就可以求出直线方程. （2）在求直线方程时，通常根据给定条件选用四种特殊形式之一求 方程，然后转化为一般式. 课 中 探 究 13 探究点二 含参数的直线的一般式方程有关问题的探究 例2（1）［2025·江苏苏州中学高二质检］已知直线 ，不全为0在轴上的截距大于在 轴上的截距， 则，， 应满足的条件是( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得,,.令，得直线在 轴上的截距 为，令，得直线在轴上的截距为 . 由直线在轴上的截距大于在轴上的截距， 可得 ，即 .故选D. √ 课 中 探 究 14 （2）已知直线 . ①求证:不论为何值,直线 总经过第一象限; 解：证明:直线的方程可化为 , 令解得即直线过定点 , 因为点在第一象限内,所以不论为何值,直线 总经过第一象限. 课 中 探 究 15 ②要使直线不经过第二象限,求 的取值范围. 解：方法一:设为坐标原点,连接,则直线的斜率为 , 故要使直线不经过第二象限,只需直线的斜率,解得 , 即的取值范围为 . （2）已知直线 . 课 中 探 究 16 方法二:当时,直线的方程为,直线 经过第二象限,不符合题 意,故 . 由题意可知直线在轴上的截距为,在轴上的截距为 , 故要使直线不经过第二象限,只需解得 , 故的取值范围为 . 课 中 探 究 变式（1）［2025·江苏盐城高二期中］已知, ，则直线 经过 ( ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 [解析] 因为,，直线方程可变形为 ，所以 斜率,在轴上的截距为 ，因此直线经过第一、三、 四象限，故选B. √ 课 中 探 究 18 （2）［2025·重庆清华中学高二检测］已知直线 的方程为 ，若 在两坐标轴上的截距相等， 求 的值. 解：当过原点时，可得，则 . 当不过原点时，，由题可知即 令，则 ， 则 ； 课 中 探 究 19 令，则 ， 则 . 由题可知，可得，解得 . 综上所述， . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 与含参数的直线的一般式方程有关问题的求解流程： 课 中 探 究 21 课后习题 22 1.过点且斜率为的直线 的一般式方程是( ) A. B. C. D. [解析] 过点且斜率为的直线的方程是 ， 即 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 2.若直线的倾斜角为，则实数 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知，，解得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 3.［2025·山东泰安一中高二月考］已知直线，则当 变动时，所有直线恒过的定点的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由,得，令 解得所以直线恒过定点 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 4.［2025·江苏镇江中学高二月考］已知直线 ， 的倾斜角分别为， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得，,，所以为钝角， 为锐 角，所以 ．故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 5.［2025·福建厦门一中高二调研］如果且 ，那么直线 不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 由，得，且 ， ，， 直线的斜率小于零，在 轴上的截距大于零， 故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 6.（多选题）已知直线 ,则下列说法中错误的是 ( ) A.直线在轴上的截距为 B.当时,直线的倾斜角为 C.当时,直线 的斜率不存在 D.直线的斜率为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 [解析] 对于A,令,可得,故直线在轴上的截距为 ,故A 中说法正确; 对于B,当时,直线的方程为,则直线 的斜率为, 倾斜角为,故B中说法正确; 对于C,当时,直线 的方程为,它的斜率为0,故C中说法错误; 对于D,直线 的方程为,它的斜率为,故D中说法错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 7.若直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1， 那么 的取值范围为______________. [解析] 令，得，令，得 ，所以直线与两坐标 轴所围成的三角形的面积为，且 . 由题意知，所以，所以的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 8.［2025·广东湛江中学高二质检］设直线 的方程为 ．若不经过第一象限，则实数 的取值 范围为________. [解析] 由,得, ， 因为不经过第一象限，所以 解得，所以实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 9.（13分）已知直线，直线过点 ，___ _____． ①直线的斜率是直线的斜率的2倍；②直线 不过原点且 在轴上的截距等于在 轴上的截距的2倍. 在这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问 题．若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 （1）求 的方程； 解:若选择①． 由题可设直线的方程为，因为直线 的斜率是直 线的斜率的2倍，所以 ， 所以直线的方程为，即 ． 若选择②．由题可设直线的方程为 ， 因为直线过点 ， 所以，解得 ． 所以直线的方程为，即 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 （2）若与在轴上的截距相等，求在 轴上的截距． 解:由（1）可知直线的方程为，令 ，可得 ， 所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为 ． 故直线过点，则，得 ． 所以直线的方程为．故直线在 轴上的截距为6． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 10.（13分）已知直线， . （1）证明直线过定点，并求出点 的坐标； 解:由 ,得 ， 所以直线过直线与 的交点， 由解得 所以直线过定点 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 （2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在 轴 上的截距的，求直线 的方程； 解:当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线的方程为 ， 即 . 当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为 ， 则解得 则直线的方程为，即 . 故直线的方程为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 （3）若直线不经过第四象限，求 的取值范围. 解:当时，直线的方程为 ，符合题意. 当时，直线的方程为 ，不符合题意. 当，且时，直线的方程为 ， 因为直线 不经过第四象限， 所以得 解得或. 综上所述,当直线不经过第四象限时, 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 11.直线的倾斜角 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为直线的方程为 ，且 ， 所以直线的斜率 . 又 ，所以.又， 所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 12.（多选题）［2024·湖北黄冈中学高二质检］ 已知直线 过点 ，且与直线以及轴围成一个底边在 轴上 的等腰三角形，则( ) A.直线的方程为 B.直线的倾斜角与直线 的倾斜角互补 C.直线在 轴上的截距为2 D.这样的直线 有两条 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 [解析] 因为直线与及轴围成一个底边在 轴上的等腰三角形，所 以的倾斜角与的倾斜角互补，故B正确； 由直线的斜率为 ，知直线的斜率为，因为直线过点， 所以直线 的方程为，即，故A正确； 将 代入方程中，得，所以在 轴上的截距为1， 故C错误； 过点且斜率为的直线只有一条，故D错误． 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 13.［2025·江苏无锡一中高二质检］若, ， 且，则经过，的直线 的一般方程为 ________________. [解析] 若,,则点 在直线 上,点在直线 上，即 ，都在直线 上， 因为两点确定一条直线,所以经过，的直线 的一般方 程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 14.［2025·江苏新海中学高二月考］已知 ，直线 和直线 与坐标 轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的 的值为__． [解析] 由题知，直线，恒过点，直线在 轴上的截距为 ，直线在轴上的截距为. 因为 ，所以, ，所以四边形的面积 ，故当 时， 四边形的面积最小． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 15.已知函数 ，若 恒成立，则直线 的倾斜角为___. [解析] 由恒成立知，函数的图象关于 对称，所以，所以. 则直线 的斜率， 又直线倾斜角的取值范围为 ，所以该直线的倾斜角为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 16.（15分）已知,，直线 上存 在点，满足，求 的倾斜角的取值范围. 解:分别将点，的坐标代入方程 中， 可知，不能同时在直线上，连接，又, ， 所以点在线段上，当时，不满足题意，所以 , 易知线段的方程为, ， 由 得 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 则直线的斜率，显然，则，且 . 设直线的倾斜角为 ， , 则 . 因为,且，所以,且 ， 即，且 . 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $