第1章 04-1.2.3 直线的一般式方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“直线的一般式方程”，通过复习直线的点斜式、斜截式等旧知导入，系统呈现方程形式、互化条件、法向量应用等核心内容，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 其亮点在于精选各地月考真题与教材改编题，通过概念辨析（如方程互化条件判断）、逻辑推理（如倾斜角旋转计算）培养数学思维，结合直线过定点、面积最值等实例强化数学语言表达。学生能提升解题能力，教师可直接用于课堂练习与分层教学。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.2　直线的方程 1.2.3　直线的一般式方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的一般式方程 1.[2026河南南阳开学考试]下列说法中不正确的是 (　　　) A.平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示 B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点 C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行 D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当直线的斜率k存在时,其方程可写成y=kx+b,可变形为kx-y+b=0,此时A=k,B=-1,C=b;当直 线的斜率不存在时,其方程可写成x=x1,可变形为x-x1=0,此时A=1,B=0,C=-x1,显然A,B不同时为0,A中说法 正确; 对于B,当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)即Ax+By=0,显然有A×0+B×0=0,即直线过原点,B中说 法正确; 对于C,当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=- ,它表示的直线与x轴平行,C中说法正确; 对于D,若直线方程为x=1,则不能化为点斜式,D中说法错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南通大学附属中学月考]直线l:x- y+ =0与y轴交于点P,将l绕点P逆时针旋转105°得到直 线l',则直线l'的方程为 (　　　) A.x+y-1=0　　　     B.x+y+1=0 C.x+y- =0　　　    D. x+y-1=0     A     解析　直线l:x- y+ =0即y= x+1, 则直线l的斜率为 ,倾斜角为30°, 令x=0,得y=1,所以P(0,1), 则直线l'的倾斜角为30°+105°=135°,斜率为tan 135°=-1, 所以直线l'的方程为y=-x+1,即x+y-1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南南阳方城百师联盟月考]已知直线l的一个法向量为l=(2,1)且过点(3,-2),则直线l的一般式方 程为________________.     2x+y-4=0     解析　因为直线l的一个法向量为l=(2,1),所以可设直线l的方程为2x+y+n=0, 因为直线l过点(3,-2),所以6-2+n=0,解得n=-4, 所以直线l的一般式方程为2x+y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[教材习题改编]已知直线3x1+4y1=1和3x2+4y2=1,且x1≠x2,则经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线l的一般式 方程为_________________.     3x+4y-1=0     解析　由3x1+4y1=1,3x2+4y2=1, 得点A(x1,y1)在直线3x+4y-1=0上, 点B(x2,y2)在直线3x+4y-1=0上, 即A,B都在直线3x+4y-1=0上, 因为两点确定一条直线, 所以由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线的方程为3x+4y-1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏宿迁沭阳南湖高级中学调研]设直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0,若直线l在两坐标轴上的截 距互为相反数,则a=____________.     1或-2     解析　已知直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0, 当a=-1时,直线l的方程为y+2=0,不符合题意,故a≠-1. 令x=0,得y=a-1;令y=0,得x= . 由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,得 +a-1=0,解得a=1或a=-2, 当a=1时,直线l:2x+y=0,其在两坐标轴上的截距均为0,符合题意; 当a=-2时,直线l:x-y-3=0,其在x轴、y轴上的截距分别为3,-3,符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西赣州实验中学月考]已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R). (1)若方程表示一条直线,求实数m的取值范围; (2)若方程表示的直线的斜率不存在,求实数m的值,并求出此时的直线方程; (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为-3,求实数m的值; (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°,求实数m的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当x,y的系数不同时为零时,方程表示一条直线, 令m2-2m-3=0,因式分解得(m-3)(m+1)=0,解得m=-1或m=3, 令2m2+m-1=0,因式分解得(2m-1)·(m+1)=0,解得m=-1或m= , 所以若方程表示一条直线,则m≠-1,即实数m的取值范围为{m∈R|m≠-1}. (2)当y的系数2m2+m-1=0且x的系数m2-2m-3≠0时,直线的斜率不存在, 由2m2+m-1=0,得m= 或m=-1, 由m2-2m-3≠0,得m≠-1且m≠3, 故m= , 此时x的系数为m2-2m-3= -2× -3=- ,方程为- x+5=0,整理得3x-4=0, 第1讲　描述运动的基本概念 即此时的直线方程为3x-4=0. (3)若方程表示的直线在x轴上有截距,则x的系数m2-2m-3≠0,即m≠-1且m≠3, 直线在x轴上的截距为-3,即y=0时,x=-3,将其代入方程得-3(m2-2m-3)+6-2m=0, 解得m=- 或m=3(舍去),故m=- . (4)若直线的倾斜角为45°,则x、y前面的系数都不为零,即m≠- 且m≠-1且m≠3, 此时直线的斜率k=- =1, 所以m= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线方程几种形式的相互转化 7.[2026江苏南通海安实验中学学情检测]如果AC<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0不经过 (　　　) A.第一象限　　　    B.第二象限 C.第三象限　　　    D.第四象限     B     解析　因为AC<0,且BC>0,所以A,B,C均不为零, 故方程Ax+By+C=0可写成y=- x+ , 因为AC<0,BC>0,所以直线的斜率k=- >0,在y轴上的截距- <0, 所以直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限. 方法技巧　解决直线过象限问题时,通常将直线方程写成斜截式,根据斜率和在y轴上的截距的符号判 断. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏无锡江阴第二中学月考]已知直线l的方程为xsin α+ y-1=0,α∈R,则直线l的倾斜角范围是  (　　　) A. ∪ 　　　    B. ∪  C. ∪ 　　　    D. ∪      B     解析　直线l的方程xsin α+ y-1=0可写成y=- x+ , 即直线l的斜率k=- , 因为-1≤sin α≤1,所以- ≤k≤ , 结合正切函数的图象,可得直线l的倾斜角范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026安徽蚌埠A层高中联考]已知直线l:-kx+y-1+3k=0(k∈R)过定点Q,则下列说法正确的是  (　　　　) A.直线l过定点Q(3,1) B.若直线l不经过第四象限,则k的取值范围为[0,+∞) C.若直线l在x轴上的截距为-3,则k=  D.若直线l分别交x,y轴的正半轴于点A,B,则当 · 取得最小值时,直线l的方程为x+y-4=0     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,直线l:-kx+y-1+3k=0即k(-x+3)+(y-1)=0,∴直线l过定点Q(3,1),故A正确; 对于B,直线l:-kx+y-1+3k=0即y=kx+1-3k, ∵l不经过第四象限,∴ 解得0≤k≤ ,故k的取值范围是 ,故B错误; 对于C,易知k≠0时,直线l在x轴上的截距存在,令y=0,得直线l在x轴上的截距为 =-3,解得k= ,C正确; 对于D,设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,∵A,Q,B三点共线,∴ = (点拨:直线AQ与直线BQ的斜率相等),整 理得 + =1,则 · =(3-a,1)·(-3,b-1)=3a+b-10=(3a+b)  +  -10= + ≥2 =6, 当且仅当 = ,即a=b=4时等号成立, ∴当 · 取得最小值时,直线l的方程为 + =1,即x+y-4=0,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.2　直线的方程 1.2.3　直线的一般式方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　直线方程的综合应用 1.[2026江苏苏州外国语学校阶段检测]已知直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,直线l2的倾斜角为2θ,且直线l2 在y轴上的截距为3,则直线l2的一般式方程为 (　　　) A.x+y-3=0　　　    　B.4x-3y+9=0 C.3x-4y+3=0　　　    D.2x+y-3=0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,斜率为 ,∴tan θ= , ∵l2的倾斜角为2θ, ∴l2的斜率为tan 2θ= = , 又l2在y轴上的截距为3,∴l2的方程为y= x+3,即4x-3y+9=0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏盐城五校联盟联考]已知点A(3,4),B(-2,-1),若直线l:mx+y-2m-1=0与线段AB相交,则m的取值 范围是 (　　　) A. 　　　    B.(-∞,-3]∪  C. 　　　  　  D. ∪[3,+∞)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线l的方程可写成y-1=-m(x-2),因此l恒过点(2,1)(记为C),且斜率为-m,易得kAC= =3,kBC= =  ,   由图可知,要使l与线段AB有交点, 则-m≤ 或-m≥3,即m≤-3或m≥- . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏南京七校联合调研]下列说法正确的有 (　　　) A.直线的倾斜角越大,斜率越大 B.经过不同两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线方程是(y1-y2)(x-x1)-(x1-x2)(y-y1)=0 C.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为x+y-2=0 D.经过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点,当OA+OB取最小值时,直线l 的方程为x+2y-6=0     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,设两直线的倾斜角分别为 , , > ,但两直线的斜率tan =- <tan = ,A错误. 对于B,当y2≠y1,x2≠x1时,直线的两点式方程为 = ,可化为(y1-y2)(x-x1)-(x1-x2)(y-y1)=0; 当y2=y1时,直线方程为y=y1,满足(y1-y2)(x-x1)-(x1-x2)(y-y1)=0; 当x2=x1时,直线方程为x=x1,满足(y1-y2)(x-x1)-(x1-x2)(y-y1)=0. 故经过不同两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线方程是(y1-y2)(x-x1)-(x1-x2)(y-y1)=0,B正确. 对于C,当直线在两坐标轴上的截距均为0时,直线方程为y=x; 当直线在两坐标轴上的截距不为0时,设直线方程为 + =1,将(1,1)代入,得 + =1,∴a=2, 则直线方程为 + =1,即x+y-2=0,C错误. 对于D,设直线方程为 + =1(a>0,b>0),将P(4,1)的坐标代入,得 + =1, 第1讲　描述运动的基本概念 则OA+OB=a+b=(a+b) =4+1+ + ≥5+2 =9, 当且仅当 即a=6,b=3时等号成立, 因此OA+OB取最小值时,a=6,b=3,此时直线方程为 + =1,即x+2y-6=0,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[教材深研拓展]设直线l经过点P0(x0,y0),若v=(m,n)是它的一个方向向量,P(x,y)(x≠x0)是直线l上任意一 点,则向量 与v共线,根据向量共线的充要条件,存在唯一的实数t,使 =tv,即(x-x0,y-y0)=t(m,n),所以  我们把该式称为直线的参数方程.若直线的参数方程为 (t为参数),则其倾斜 角为_________. 解析　由题意得直线的一个方向向量为(sin 30°,cos 30°), 设直线的倾斜角为α(0≤α<π), 所以tan α= = ,所以α= . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏南京第五高级中学学情调研]已知直线l经过点(1,2). (1)若直线l在x轴和y轴上的截距互为相反数,求直线l的方程(写成一般式); (2)若直线l与两坐标轴的正半轴能够围成三角形,求该三角形面积最小时直线l的方程(写成斜截式). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,该直线方程为y=2x,即2x-y=0; 当直线l在两坐标轴上的截距不为0时,设该直线方程为 - =1, 则 - =1,解得a=-1,因此直线方程为x-y+1=0. 综上,直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0. (2)依题意,设直线方程为 + =1(a>0,b>0),则 + =1. 由1= + ≥2 ,得ab≥8,当且仅当 = = ,即a=2,b=4时取等号, 因此三角形面积S= ab≥4,即当a=2,b=4时,三角形面积取得最小值4,此时直线方程为 + =1,即y=-2x+ 4. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026湖北武汉第六中学月考]已知动直线l:3(n+1)x+(n-1)y-6n-2=0(n∈R)过定点P. (1)求P的坐标; (2)已知直线l与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点. ①是否存在直线l满足:△AOB的周长为12且面积为6?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由; ②PA+ PB取得最小值时,求直线l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)直线l的方程可化为n(3x+y-6)+3x-y-2=0, 由 解得 故动直线l过定点P . (2)①存在满足条件的直线l. 设直线l的方程为 + =1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b), 将P 代入得 + =1(*). 由△AOB的周长为12,面积为6, 得  令a+b=t,则t>0,a2+b2=t2-24, 第1讲　描述运动的基本概念 所以t+ =12,整理得24t=168,解得t=7, 所以 解得 或  其中 不满足(*), 满足(*). 所以存在直线l满足题意,其方程为 + =1,即3x+4y-12=0. ②由(1)可知直线l过定点P , 设直线l的倾斜角为α,则α∈ , 所以PA= ,PB=- , 所以PA+ PB= - × = - =2× , 第1讲　描述运动的基本概念 令m=cos α-sin α= cos ,则sin αcos α= . 因为α∈ ,所以α+ ∈ , 所以cos ∈ ,所以m∈[- ,-1). 则PA+ PB=2× = (m∈[- ,-1)), 因为y= -m在[- ,-1)上单调递减,所以y= 在[- ,-1)上单调递增, 故当m=- ,即α= 时,PA+ PB取得最小值,为 =4 . 此时直线l的方程为y-2=tan × ,即3x+3y-10=0. 第1讲　描述运动的基本概念 $