1.2 直线的方程 1.2.2 直线的两点式方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，课前预习通过定义解析、适用条件提示及诊断分析，衔接斜率公式与点斜式方程，为新知导出构建学习支架，帮助学生实现知识的自然过渡。 其亮点在于以“探究点”为核心，结合三角形中线方程、截距关系等实例，引导学生用数学眼光观察几何问题，通过分类讨论截距是否为0等推理过程培养数学思维，素养小结明确方程适用条件强化数学语言表达。学生能提升问题解决能力，教师可依托结构化内容高效开展教学。

1.2 直线的方程 1 1.2.2 直线的两点式方程 2 探究点一 利用两点式求直线方程 探究点二 利用截距式求直线方程 探究点三 直线截距式方程的运用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后练习 3 【学习目标】 1.能根据斜率公式与点斜式方程导出直线的两点式方程. 2.能利用直线的两点式方程及截距的概念,导出直线的截距式方程. 3.能描述截距式方程的适用范围,并能依据不同条件合理选择直线方 程的形式求解. 4 知识点一 直线的两点式方程 定义：已知直线经过两点, ，则方程_______________ _ 叫作直线的两点式方程,简称两点式. 提示：（1）直线的两点式方程应用的前提条件是且 ， 故当直线的斜率不存在或斜率为零时，不可以用两点式方程. （2）直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变 形为 ，它是两点式的变形，可 以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线． 课 前 预 习 5 知识点二 直线的截距式方程 定义：若直线经过点,,且,，其中 称为直线 在轴上的截距，称为直线在 轴上的截距，则方程__________叫 作直线的截距式方程,简称截距式. 提示：（1）直线的截距式方程应用的前提条件是且 ,即两 个截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示 与坐标轴平行（或重合）的直线. （2）过原点的直线在轴， 轴上的截距都为0. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）经过两点, 的直线方程可以 是,也可以是 .( ) √ （2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示.( ) √ （3）过除原点外的一个定点,且在两坐标轴上的截距相等的直线有且 只有1条.( ) × 2.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示吗？ 解：能.因为能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标轴，所以斜 率一定存在，即可用点斜式方程表示． 课 前 预 习 7 探究点一 利用两点式求直线方程 例1 在中,已知,, . （1）求 边所在直线的方程; 解：因为, , 所以边所在直线的方程为,即 . 课 中 探 究 8 （2）求 边上的中线所在直线的方程. 提示：若平面上的点，，线段的中点 ， 则， . 解：设边的中点为 , 则,,所以 , 又因为边上的中线所在的直线过点,所以 边上的中线所 在直线的方程为,即 . 课 中 探 究 9 变式（1）经过,两点的直线 的方程为______________． [解析] 直线过两点， ，由直线的两点式方程，得 ，即 ． （2）在中，点，，，为边 的中点， 为边的中点，则中位线 所在直线的方程为______________. [解析] 由题意可得的坐标为，的坐标为 ，由直线的两 点式方程，得，化简得 . 课 中 探 究 10 ［素养小结］ （1）由两点式求直线方程的步骤: ①设出直线所经过的两个点的坐标; ②根据题中的条件,列出相关方程,解出点的坐标; ③由直线的两点式写出直线方程. （2）当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满 足两点式方程的适用条件（两点的连线不平行于坐标轴）,若满足,则 考虑用两点式求直线方程. 课 中 探 究 11 探究点二 利用截距式求直线方程 例2（1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 的方程； 解：当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线 的方程为， . 又过点，所以 ， 解得，所以直线的方程为，即 . 课 中 探 究 12 当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0，即直线 过原点时， 设直线的方程为 ， 因为过点，所以，解得，所以直线 的方程为 ，即 . 综上，直线的方程为或 . 课 中 探 究 13 （2）已知直线在轴上的截距比在 轴上的截距大1,且过定点 ,求直线 的方程. 解：设直线在轴上的截距为,则在轴上的截距为 , 由题易知且,所以直线的方程为, 将点 的坐标代入,解得或 , 所以直线的方程为或 . 课 中 探 究 14 变式 求过点,且在轴上的截距为在 轴上的截距2倍的直线的方程. 解：设直线在轴、轴上的截距分别为, . 当且时,由直线的截距式方程，得 , 由题可知,且,可得, , 此时直线的方程为,即 . 当时,设直线的方程为 , 由题可知,此时直线的方程为 . 综上所述,所求直线的方程为或 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 应用直线的截距式方程的注意事项. （1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交,那么可考虑选用直线的截距 式方程,用待定系数法确定其系数即可. （2）选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能 否与两坐标轴垂直. （3）要注意直线的截距式方程的逆向应用. 课 中 探 究 16 探究点三 直线截距式方程的运用 例3 直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于点，， 为 坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件： 的周长为 12； 的面积为6.若存在，求出直线方程；若不存在，请说明 理由． 解：设直线方程为 ， 若满足条件①，则 ， 又 直线过点 , . 课 中 探 究 17 由可得，解得 或 所求直线的方程为或 ， 即或 . 课 中 探 究 若满足条件②，则 ， 由题意得 ， 由整理得 ， 解得或 所求直线的方程为或 ， 即或 . 综上所述，存在同时满足①②两个条件的直线，其方程为 . 课 中 探 究 变式 求过点,且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线 的 方程. 解：由题意知直线不过原点,且直线 在两坐标轴上的截距都存在,设 直线的方程为 . 由题意得 即或 可得或故直线的方程为或 . 课 中 探 究 20 课后练习 21 1.过两点, 的直线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 过两点,的直线的两点式方程为 ,即 .故选C. √ 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 2.直线在轴上的截距为,在轴上的截距为 ,则 ( ) A., B., C., D., [解析] 令,解得,故;令,解得,故 .故 选B. √ 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 3.过两点，的直线在 轴上的截距为( ) A. B. C. D. [解析] 过两点，的直线的方程为 ， 令，解得 ，故选A. √ 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 4.［2025·江苏南通高二期末］直线在轴、 轴上的截距 分别为( ) A.2,3 B.,3 C., D.2, [解析] 在方程中，令，解得，令 ，解得 ，故直线在轴、轴上的截距分别是 ，3，故选B. √ 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 5.［2025·江苏常州横林中学高二期中］已知直线过点 ，且在两 坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为( ) A. B. C.或 D.或 [解析] 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线方程为 ； 当直线 在两坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为 ，将代入，可得 ，此时直线方程为 ． 综上，直线的方程为或 ．故选C. √ 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 6.（多选题）过点 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线 方程可能是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 [解析] 根据题意知直线的斜率存在且不为0,设直线方程为 . 当时,；当 时, 直线在两坐标轴上截距的绝对值相等, ,或 ,可得 或或, 直线的方程为 或 或. 故选 . 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知，，则在轴上的截距是，且经过线段 中 点的直线方程为_________________． [解析] 因为，，所以线段的中点为 . 又所求直线在轴上的截距为，故所求直线的方程为 ， 即 . 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 8.［2025·山东潍坊一中高二月考］已知直线过点，在 轴和 轴上的截距分别为，，且满足，则直线 的方程为_______ _____________________. 或 [解析] 若，则直线过原点，此时直线 的斜率 ，直线的方程为. 若，设直线 的方程为，即， 因为点在直线上，所以 ， 从而直线的方程为，即 . 综上所述，直线的方程为或 . 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 9.（13分）已知直线的倾斜角的正弦值为，且直线 与坐标轴围成 的三角形的面积为6，求直线 的方程. 解:设直线的方程为，倾斜角为 ， 由，得 ． 所以解得 故所求的直线方程为或或或． 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 10.（13分）已知直线经过点，，，则直线 能否同时经过点和点？若能，求出 的值；若不能， 请说明理由． 解:不能，理由如下. 由题意得,直线的两点式方程为 ,整理得 ． 若直线经过点，则 ，即， 解得或 ． 若直线经过点，则，即 ， 方程无实数根． 综上可知，直线能经过点，此时或，不能经过点 . 所以直线不能同时经过点和点 . 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 11.直线与直线 在同一平面直角坐标系中的位置可 能是( ) A. B. C. D. √ [解析] 直线在轴上的截距为,在轴上的截距为 ; 直线在轴上的截距为,在轴上的截距为 .故选B. 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 12.［2025·江苏新海中学高二期中］光线从点射出，到 轴上 的点后，被轴反射到轴上的点，又被 轴反射，这时反射线恰 好过点，则 所在直线的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 根据题意，作出如图所示的光线路径，则点 关于轴的对称点为，点 关 于轴的对称点为，则所在直线即为 所在 直线，其方程为，整理得 .故 选A. 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 13.［2025·江苏无锡一中高二月考］已知，，若 是直线上一动点，则 的最大值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 [解析] 易求得直线的方程为，在直线 上， ， ，当且仅 当时， 取得最大值，最大值为3.故选A. √ 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 14.［2024·湖北黄冈中学高二期末］已知在中， ， ，，则过点将 的面积平分的直线的方程为 _______________. [解析] 由，，得边的中点为，则过点 将 的面积平分的直线过点，故所求直线方程为 ， 即 . 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 15.［2025·福建莆田一中高二调研］已知直线 ，且,当直线 与两坐标轴的正半轴围 成的三角形的面积最大时， ___． 2 [解析] 由题意得，，所以 ，则 ，所以当时， 取得最大值. 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 16.过点作直线，若直线经过点,，且 ， ，则符合条件的直线 的条数为___. 4 [解析] 因为直线过点和，所以可设直线 的方程为 .因为直线过点，所以，即 . 又，，所以当时，直线和轴垂直，和 轴无交点， 直线不过，故当时不满足条件. 当 时，，当时，； 当时， ；当时，；当时，； 当或或 时，由①知，满足条件的正整数 不存在. 综上，满足条件的直线有4条． 课 后 练 习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 $