1.1 直线的斜率与倾斜角(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件围绕直线的斜率与倾斜角，系统梳理概念、计算公式及两者关系，通过课前预习的知识点梳理与诊断分析导入，课中设置三个探究点层层递进，构建从基础理解到综合应用的学习支架。 其亮点在于课中探究结合实例设计问题链，如例3通过线段相交求斜率范围，变式训练培养逻辑推理与数学运算素养，素养小结强化知识体系构建。分层习题满足不同需求，助力学生提升思维能力，也为教师提供清晰教学路径。

1.1 直线的斜率与倾斜角 1 探究点一 直线的斜率 探究点二 直线的倾斜角 探究点三 直线倾斜角与斜率的关系及简 单应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念及它们之间的关系. 2.掌握过两点的直线的斜率计算公式. 3.了解直线的倾斜角的取值范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. 4.通过对斜率和倾斜角的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养． 3 知识点一 直线的斜率 对于直线上的任意两点，，如果 ，那么直 线的斜率______；如果,那么直线 的斜率________. 提示：对于与轴不垂直的直线 ，它的斜率也可以看作 . 不存在 课 前 预 习 4 知识点二 直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把 轴 绕着交点按________方向旋转到与直线重合时，所转过的 ___________称为这条直线的倾斜角 规定 与 轴平行或重合的直线的倾斜角为___ 范围 } 逆时针 最小正角 0 课 前 预 习 5 知识点三 直线的倾斜角与斜率的关系 设直线的倾斜角为 ,斜率为 . 直线情形 的大小 的大小 的范围 与 轴平行 0 0 从左下方向右上 方倾斜 ______ ___0 与 轴垂直 不存在 不存在 从左上方向右下 方倾斜 ______ ___0 提示：所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任意一条直线都有且只有一个斜率和它对应.( ) × （2）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．( ) × （3）当直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;当直线的倾斜角是 钝角时,直线的斜率为负.( ) √ 课 前 预 习 7 2.直线的倾斜角越大，它的斜率越大吗？ 解：不是.当直线的倾斜角 时，直线的斜率不小于0， 越大，直线的斜率越大； 当 时，直线的斜率小于0， 越大，直线的斜率越大； 当直线的倾斜角 为时，直线 的斜率不存在. 课 前 预 习 8 探究点一 直线的斜率 例1 分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求 出该直线的斜率. （1）， ； 解：存在，直线的斜率为 . （2）， ； 解：存在，直线的斜率为 . 课 中 探 究 9 （3）， . 解：当时，直线的斜率不存在；当时，直线 的斜率 存在，为 . 课 中 探 究 10 变式 已知, . （1）求直线 的斜率； 解：因为,，所以 . （2）设为轴上一点，若直线的斜率是直线 的斜率的2倍， 求 的坐标； 解：设，因为,，所以， . 又直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以 ，解得 ，即的坐标为 . 课 中 探 究 11 （3）设为轴上一点，且,,三点共线，求 的坐标. 解：设,因为,,三点共线,所以，故 ，解得 ，即的坐标为 . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 研究直线的斜率问题时，通常需要先讨论斜率存在与否，斜率存在 时，再用公式<m></m>求解. 课 中 探 究 13 探究点二 直线的倾斜角 例2 分别求图中各直线的倾斜角. （1） 解：如图①，由图可知为直线 的倾斜角． 易知 ， ， 即直线的倾斜角为 . 课 中 探 究 14 （2） 解：如图②，由图可知为直线 的倾斜角，易 知 ， ， ， 即直线的倾斜角为 . 课 中 探 究 15 （3） 解：如图③，由图可知为直线 的倾斜角， 易知 ， ， ，即直线的倾斜角为 . 课 中 探 究 16 变式（1）（多选题）若直线与轴交于点,其倾斜角为 ,将直线 绕点按顺时针方向旋转后得到直线,则直线 的倾斜角可能为 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为直线的倾斜角的取值范围为, 所以当 时, 直线的倾斜角为； 当时,直线 的倾斜角为 .故选 . √ √ 课 中 探 究 17 （2）已知直线的倾斜角 ，直线 与 的交点为，直线，与轴分别交于点, ， 且 ，如图，则直线 的倾斜角为 ______． [解析] 设直线的倾斜角为，因为 ， 所以 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求直线的倾斜角的方法：结合图形，利用三角形中的有关结论或特 殊三角形（如直角三角形）求角. 课 中 探 究 19 拓展 （多选题）若直线的倾斜角为 ，且，则直线 的倾 斜角可能为( ) A. B. C. D. √ √ √ [解析] 当 时，的倾斜角为 （如图①）； 当 时，的倾斜角为 （如图②）； 当 时，的倾斜角为 （如图③）， ① ② ③ 课 中 探 究 20 即当 时， 的倾斜角为 ； 当 时，的倾斜角为 （如图④）． 故直线的倾斜角可能为 , , ， 但不可能为 ．故选 . ④ 课 中 探 究 21 探究点三 直线倾斜角与斜率的关系及简单应用 例3 ［2025·陕西安康高新中学高二期中］已知直线过点 ，且 与以和 为端点的线段相交. （1）求直线的斜率 的取值范围； 解：如图所示， 易知, ， 因为直线过点，且与以和 为端点的线 段相交， 所以结合图形可知直线的斜率的取值范围为 . 课 中 探 究 22 例3 ［2025·陕西安康高新中学高二期中］已知直线过点 ，且 与以和 为端点的线段相交. （2）求直线的倾斜角 的取值范围. 解：由（1）可知，，直线的倾斜角为 ， 直线的倾斜角为 ， 由此可得直线的倾斜角 的取值范围为 . 由图可知，当直线 的斜率不存在时，符合题意， 此时直线的倾斜角 . 综上，直线的倾斜角 的取值范围为 . 课 中 探 究 23 变式 在中，，， . （1）分别求直线，， 的斜率和倾斜角； 解：由题可得， ， . 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的取值范围是 ， 所以直线的倾斜角为0，直线的倾斜角为，直线 的倾斜角为 . 课 中 探 究 24 变式 在中，，， . （2）若为边上的一个动点，求直线 的倾斜角的取值范围. 解：如图，当由点移动到点时，直线 绕点 由按逆时针方向转到，所以 的取值范围 为， 故直线 的倾斜角的取值范围为 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 直线的斜率与其倾斜角关系的分析,首先要考虑倾斜角为直角的情况, 其次要分倾斜角在<m></m>和<m></m>上两种情况,根据正切函数的单调性 加以研究. 课 中 探 究 26 拓展 已知三条直线，，的斜率分别为，， ，倾斜角分 别为 ， ， ，且，探索 ， ， 的大小关系． 解：直线的斜率与直线的倾斜角 的关系为 , .易知在, 上均单调递增， 且当时， ， 当时， . 当时， ， ， ， 课 中 探 究 27 由在上单调递增，得 . 当时， ， ， ， 由在上单调递增，得 . 当时，， ， ， 由在上单调递增，得 . 当时， ,， ， 由在上单调递增，得 . 课 中 探 究 课后习题 29 1.给出下列说法： ①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角可以为 ； ③倾斜角为 的直线只有一条； ④直线的倾斜角 的集合 }与直线集合建立了一一 对应关系． 其中正确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 [解析] 对于①，若两直线的倾斜角都等于 ，则它们的斜率不存在， 故不正确； 对于②，直线的倾斜角的取值范围是， 因此不可能为 ，故不正确； 对于③，倾斜角为 的直线有无数条，故不正确； 对于④，不同的直线可以有相同的倾斜角，则直线的倾斜角 的 集合 与直线集合不是一一对应关系，故不正确． 所以正确说法的个数是0．故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 2.［2025·江苏苏州高二期中］已知经过点,的直线 的 斜率为2，则实数 的值为( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 因为经过点,的直线的斜率为2，所以 ， 且，解得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 3.［2025·浙江诸暨中学高二质检］若经过点和 的直线的倾斜角为钝角，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得，则 ， 所以 ，故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 4.直线经过，两点，直线的倾斜角是直线 的倾斜 角的2倍，则 的斜率为( ) A. B. C.1 D. [解析] 直线经过，两点， 直线 的斜率为 ， 直线的倾斜角为. 直线的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，的倾斜角为， 的斜率为 ，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 5.［2025·江苏海安中学高二期末］已知直线的斜率为1，直线 的 倾斜角比直线的倾斜角小 ，则直线 的斜率为( ) A. B. C. D.1 [解析] 设直线的倾斜角为 ，则. 因为 ，所以 . 因为直线的倾斜角比直线的倾斜角小 ，所以直线的倾斜角 为 ，则直线的斜率为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 6.（多选题）［2025·江苏南京师大附中高二期中］ 若直线 过点 ，且与以，为端点的线段有公共点，则直线 的斜 率可能是( ) A.1 B.2 C.8 D.6 [解析] 因为，， ，所以根据直线的斜率公式可得 ，. 因为直线与线段 有公共点，所以,即. 故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 7.已知直线的倾斜角为 ，则 的取值范围是_____________ ____. [解析] 设直线的倾斜角为 ，则 的取值范围是 . 由题意知 ，则 ，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 8.［2025·湖南岳阳一中高二月考］已知过点,的直线 的倾斜角 的取值范围是，则实数 的取值范围是_________ __. [解析] 当时，直线的倾斜角为，满足题意； 当 时，直线的斜率为，则由题意得 ，或 ，所以或，解得 或 . 综上，实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 9.（13分）已知直线经过点，，求 的值，使得： （1）直线与 轴平行； 解：若直线与轴平行，则斜率为0,即,解得 . （2）与 轴平行； 解：若直线与轴平行，则斜率不存在，此时 . （3）的斜率为 . 解：若直线的斜率为,则,解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10.（13分）如图，菱形的顶点 为坐标原点， 边在轴的正半轴上，已知 ，分 别求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及 斜率. 解：因为， ，所以直线，的倾斜角都 是 ，斜率都是 . 又因为，所以直线，的倾斜角都是 ，斜率也都为0. 由菱形的性质可得 ， ，所以直线 的倾 斜角为 ，斜率为，直线 的倾斜角为 ，斜率为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 11.［2025·江苏徐州三中高二期中］已知点， ，若 ，则直线 的倾斜角的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 [解析] 设直线的倾斜角为 ，因为点， ，所以直 线的斜率. 由，得 的取值范围为， 即 的取值范围为，因为 ， 所以 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 12.［2025·江苏南京一中高二期末］在等边三角形中， 与原点 重合，若的斜率为，则 的斜率可能为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设的倾斜角为,的倾斜角为,则 或 . 因为，所以当 时， ； 当 时， .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 13.（多选题）［2025·河南南阳高二月考］ 已知直线,, 的斜率 分别是,,，倾斜角分别是 , , ，且 ，则下列关 系可能正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 当或 时， ； 当 时,； 当 时，.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 14.［2025·浙江宁波中学高二期中］在平面直角坐标系中，已知直线 沿轴正方向平移3个单位长度，再沿 轴负方向平移2个单位长度回 到原来的位置，则直线的斜率 ____. [解析] 设直线上任意一点，将直线沿 轴正方向平移3个 单位长度，则点移动后为， 再沿 轴负方向平移2个单位长度，则点移动后为 ，都在直线 上， 直线的斜率 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 15.三名同学相约在暑假进行社会实践活动，同去某工 厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示， 其中的横、纵坐标分别为第 名同学上午的工作时间 和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第 名同学 A. B. C. D.不能确定 下午的工作时间和加工的零件数，,2,3，记为第 名同学在这 一天平均每小时加工的产品个数，则,, 中最大的为( ) √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 设,，根据题意可知 表示第名同学上午的工作时间，表示第 名同学 上午加工的零件数，表示第 名同学下午的工作 时间，表示第 名同学下午加工的零件数. 所以， 因此，可理解为线段的中点与原点连线的斜率（如图）， 由图可知 最大，故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 16.（15分）台球运动中反弹球技法是常见的技巧， 其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标 球后，目标球撞击台边，然后按照光线反射的方向 弹出，要想让目标球沿着理想的方向反弹，就要事 先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这 样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点 无旋转射入，经过轴（桌边）上的点 反弹后，经过点 ，求点 的坐标. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 解:设，可知点关于 轴对称的点为， 则 ，， 由题可知，,, 三点共线， 所以，即，解得 ， 故点的坐标为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 $