1.2 直线的方程 1.2.1 直线的点斜式方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过课前预习回顾斜率公式导出点斜式，再由点斜式推导斜截式，构建“定义-推导-应用”的知识支架，衔接斜率与直线方程的前后脉络。 其亮点在于以诊断分析辨明概念误区，例题变式强化推理能力，素养小结提炼方法，如例4结合面积问题培养数学思维与模型意识。助力学生提升方程应用能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

1.2 直线的方程 1 1.2.1 直线的点斜式方程 2 探究点一 直线的点斜式方程 探究点二 直线的斜截式方程 探究点三 点斜式、斜截式方程的简单应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能根据斜率公式导出直线的点斜式方程. 2.能利用直线的点斜式方程导出直线的斜截式方程. 3.能描述点斜式方程的适用范围. 4 知识点一 直线的点斜式方程 定义：方程__________________叫作直线的点斜式方程，简称点斜式. 提示：（1）点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在. （2）当直线与轴垂直时，直线方程为；当直线与 轴平行或 重合时，直线方程可写为；特别地，轴的方程是 . 课 前 预 习 5 知识点二 直线的斜截式方程 定义：已知直线的斜率为，与轴的交点是，则直线 的方 程为,即，称为直线在 轴上的______. 方程由直线的斜率和它在 轴上的______确定，这个方程也叫作直 线的斜截式方程，简称斜截式. 截距 截距 提示：（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. （2）截距不是距离，在轴轴上的截距是直线与轴轴 交点的 纵（横）坐标，所以截距可以取一切实数. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）直线恒过定点 .( ) √ （2）若直线过点，且倾斜角为 ，则其方程是 . ( ) × （3）轴所在直线的方程为 ,该方程可化为点斜式方程.( ) √ （4）所有的直线都有点斜式和斜截式方程.( ) × 课 前 预 习 7 2.方程与方程 表示的是同一条直线吗? 解： 不是. 因为方程表示的直线不含点 ,方程表示 的直线含点 ，故它们不是同一条直线. 课 前 预 习 8 探究点一 直线的点斜式方程 例1 根据下列条件，分别写出直线的点斜式方程： （1）经过点,且斜率 ; 解：因为直线的斜率,且经过点 , 所以直线的点斜式方程为 . （2）经过点，且倾斜角为 ； 解：因为直线的倾斜角为 ，所以斜率为 ， 所以直线的点斜式方程为 . 课 中 探 究 9 （3）经过点，且与 轴平行； 解：由题意知，直线的斜率为 ，所以直线的点斜式方程为 ，即 . （4）经过， 两点. 解：因为直线经过，两点，所以直线的斜率为 ， 所以直线的点斜式方程为（或 ）. 例1 根据下列条件，分别写出直线的点斜式方程： 课 中 探 究 10 变式 根据下列条件，分别写出直线的点斜式方程： （1）经过点，且倾斜角为 ； 解：因为直线的倾斜角为 ，所以斜率为 ， 所以直线的点斜式方程为 . （2）经过点，且与 轴平行； 解：由题意知，直线的斜率为 ， 所以直线的点斜式方程为，即 . 课 中 探 究 11 （3）经过点，且与 轴垂直． 解：由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为 ，该 直线没有点斜式方程. 变式 根据下列条件，分别写出直线的点斜式方程： 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 利用点斜式求直线方程的方法： （1）用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率<m></m>和该直线上的 一个点<m></m>，然后将<m></m>,<m></m>，<m></m>代入<m></m>即可.注意 在斜率存在的条件下,才能求直线的点斜式方程;若斜率不存在,则直 线方程为<m></m>； （2）已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线 的方程. 课 中 探 究 13 探究点二 直线的斜截式方程 例2 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程： （1）斜率为2,在 轴上的截距是5; 解：所求直线的斜截式方程为 . （2）倾斜角为 ，与 轴的交点的横坐标是2； 解： 直线的倾斜角为 ， 该直线的斜率为 ， 设直线的斜截式方程为 ，由题知点 在该直线上， ，解得 ，故直线的斜截式方程为 . 课 中 探 究 14 （3）倾斜角为 ,与 轴的交点到坐标原点的距离为3. 解： 直线的倾斜角为 , 斜率为 . 直线与 轴的交点到坐标原点的距离为3, 直线在轴上的截距为3或 , 所求直线的斜截式方程为或 . 例2 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程： 课 中 探 究 15 变式 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程： （1）直线的倾斜角为 ，且在 轴上的截距是2； 解：直线的斜率为,可得直线的斜截式方程为 . （2）直线过点，且在轴上的截距是 ； 解：由题可知直线过点和， 直线的斜率为 , 可得直线的斜截式方程为 . 课 中 探 究 16 （3）倾斜角是直线的倾斜角的，且过点 . 解：易知直线的倾斜角为 , 所求直线的倾斜角 是直线的倾斜角的 ， 所求直线的倾斜角为 ， 所求直线的斜率为 , 又直线过点， 直线在轴上的截距是, 所求直线的斜截 式方程为 . 变式 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程： 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 直线的斜截式方程的求解策略： （1）求直线的斜截式方程,首先要求出直线的斜率<m></m>与它在<m></m>轴上的 截距<m></m>，然后将<m></m>,<m></m>代入<m></m>即可. （2）当斜率<m></m>或在<m></m>轴上的截距<m></m>未知时,可利用待定系数法求解. 课 中 探 究 18 探究点三 点斜式、斜截式方程的简单应用 角度1 直线方程与其图象的判断 例3 ［2025·江苏金陵中学高二月考］直线 与直线 在同一平面直角坐标系内的位置关系 为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 19 [解析] 对于A，由得，，而由得， ，矛盾； 对于B，由得，，而由得， ，矛盾； 对于C，由得，，而由得，，矛盾； 对于D，由 得，，而由得， ，符合题意. 故选D. 课 中 探 究 20 变式 方程 表示的直线可能是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ,代入直线方程，可得 ,即，所以直线恒过点 ．故选B. √ 课 中 探 究 21 角度2 与坐标轴围成的三角形 例4 已知直线的斜率为 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6， 则直线 的方程为_____________． [解析] 设直线的方程为,所以直线与轴、 轴的交点 坐标分别为，. 由题意可得,解得 , 所以直线的方程为 . 课 中 探 究 22 变式 写出一个同时具有下列性质的直线 的斜截式方程：_________ _______________. ①直线经过点；②直线与，轴所围成的三角形的面积为 . [解析] 由题意知直线的斜率存在，设为，则直线 的方程为 ,令，解得，令 ,解得. 所以直线与, 轴所围成的三角形的面积为， 则或，可得 或， 故直线的方程为或 . 课 中 探 究 23 ［素养小结］ （1）直线方程与其图象的判断一般看两个方面:一看斜率的正负,二 看截距的正负. （2）在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示在<m></m>轴、<m></m>轴上的截 距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截 距并不一定是正数，当截距的符号不确定时，要进行分类讨论. 课 中 探 究 24 拓展 已知直线过点，且分别与轴的负半轴、 轴的正半 轴交于点，，为原点，则 面积的最小值为____. 24 [解析] 由题可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为 ,则直线的 方程为， 因为直线分别与轴的负半轴、 轴的正半轴交于点，，所以. 令,则 ,即,令,则,即 , 所以 , 其中，当且仅当，即 时，等号成立， 所以,即 面积最小值为24. 课 中 探 究 25 课后习题 26 1.［2025·江苏东台一中高二期中］直线的方程是 ，则直 线在 轴上的截距是( ) A.2 B. C.4 D. [解析] 直线的方程是，当时，，所以直线 在轴上的截距是 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 2.已知直线的倾斜角为 ，且过点，则在 轴上的截距为 ( ) A. B. C.1 D. [解析] 由题可知直线的斜率为，故直线 的点斜式方程 为， 易知当时，，因此在 轴上的截距为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 3.已知直线的方程是 ，则( ) A.直线过定点，斜率为 B.直线过定点，斜率为 C.直线过定点 ，斜率为1 D.直线过定点，斜率为 [解析] 由，可得 ，所以直线 过定点，斜率为 ．故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 4.下列直线中过第一、二、四象限的是( ) A. B. C. D. [解析] 若直线过第一、二、四象限，则, ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 5.方程 表示的直线可能是图中的( ) A. B. C. D. √ [解析] 直线的斜率是，在轴上的截距是. 当 时,,则直线 过第一、二、三象限, 四个选项都不符合； 当时,,则直线 过第二、三、四象限,仅有选项B符合． 故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 6.（多选题）［2025·江苏连云港高二期中］ 设直线过两点 和 ，则( ) A.的斜率为 B.的倾斜角为 C.在轴上的截距为6 D.在轴上的截距为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 [解析] 由题可知，的斜率，故A错误； 设直线 的倾斜角为 ，则 ，因为， 所以 ，故B正确； 易知直线的点斜式方程为 ， 整理得，令，则，令，则， 故 在轴上的截距为6，在轴上的截距为，故C正确，D错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 7.若直线的斜率为，在轴上的截距为，则 的方程为 ______________. [解析] 由题可知，直线的斜率为，且过点，故直线 的方 程为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 8.［2024·江苏苏大附中高二月考］已知直线经过点 ，且倾斜 角为直线的倾斜角的一半，则 的方程为____________． [解析] 易知直线的斜率为 ，所以该直线的倾斜角 为 ，故直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为. 由直线 过点，得直线的方程为， 即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 9.（13分）根据下列条件分别写出直线的方程： （1）斜率为2，在轴上的截距是 ； 解:因为直线的斜率为2，在轴上的截距是 ， 所以直线的方程为 . （2）过点，且斜率为 ； 解:因为所求直线过点，且斜率为 ，所以所求直线的方 程为，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 （3）直线过点， ； 解:因为所求直线过点，，所以 ， 所以所求直线的方程为，即 . （4）过两点， ，且直线的斜率为12. 解:因为直线的斜率为12， 所以,解得 , 故,则直线的方程为，即 . 9.（13分）根据下列条件分别写出直线的方程： 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 10.（13分）已知直线经过点，且其斜率为 ． （1）若在两坐标轴上的截距之和为零，求 的点斜式方程； 解:由题意知， 的斜率不为0， 因为直线经过点,所以的点斜式方程为 ， 则它在轴、轴上的截距分别为和 ，所以 ，解得或 ， 所以的点斜式方程为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 （2）若，与轴、轴的交点分别为，，当 （其中为坐标原点）的面积最小时，求 的斜截式方程． 解:由（1）知，，，因为,所以 的 面积，当且仅当 时，等号成立， 所以的斜截式方程为 ． 10.（13分）已知直线经过点，且其斜率为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 11.［2025·湖北十堰一中高二月考］直线 与 在同一平面直角坐标系中的位置可能 是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析] 对于A，若的位置正确，则，，即 ， ，此时的位置不正确，故A错误； 对于B，若 的位置正确，则，，即，， 此时 的位置不正确，故B错误； 对于C，若的位置正确，则，，即， ， 此时的位置正确，故C正确； 对于D，若 的位置正确，则，，即，， 此时 的位置不正确，故D错误. 故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 12.［2025·浙江诸暨中学高二期中］已知直线过点 ，且与坐标 轴交于点，，若的面积为24，其中 为坐标原点，则这样 的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 由题知，直线的斜率存在，且不过原点，所以设直线 的方程 为，，所以直线与 轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为， 所以 的面积为,整理得 ，所以或 由 ,得,解得 ； 由，得，解得 . 所以满足条件的直线有3条.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 13.（多选题）［2025·江苏南通中学高二期末］ 已知直线 过点 ，且与轴和轴围成有一个内角为 的直角三角形，则满足 条件的直线 的方程可以是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 由题意知，直线的倾斜角可以是或或或，所以直线 的 斜率或或 或 ， 所以直线的方程可以为 或 或或 . 由，整理得，此时直线过原点，无法与 轴和轴围成直角三角形,舍去. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 14.［2025·江苏锡山中学高二月考］已知， ，若点 在线段上，则 的最小值为____. [解析] 由题可知直线的斜率为，所以直线 的方程为 ，即. 所以线段 的方程为 ， 所以， 因此， 的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 15.［2025·江苏南京一中高二期中］已知， ， 则下列直线的方程不可能是 的是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] ， 直线在 轴 上的截距不小于2，且当时，该直线在 轴上的截距为2，故D中 直线的方程可能为； 当时， ，故B中直线的方程不可能是； 当时，或 ，故A，C中直线的方程可能为 . 故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 16.（15分）若两条相交直线，的倾斜角分别为， ，两直线的 斜率均存在，分别为，，且，， 满足________ （从 ； 两个条件中，任选一个补充在上 面问题中并作答，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）. （1）若，的交点坐标为，过点，过点 ， 求出， 满足的关系； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 解:依题意知，直线的方程为，直线 的方程为 ， 因为过点，所以且 ， 即且 . 又过点，所以且，即 且 . 若选①，则，所以 ，可得 且， . 若选②，则，所以 ，可得 且， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 （2）在（1）的条件下，若直线 向右平移4个单位长度，再向上平 移2个单位长度后与原直线重合，求实数， 的值． 解:将直线 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到 的直线的方程为 ， 即，所以，解得 ，此时 直线的方程为 ， 所以，解得 . 若选①，则，所以，解得 . 若选②，则，所以，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 $