湖南衡阳市衡阳县第一中学2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

高二数学入学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟．满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 6. 已知函数满足，若，，，则关于m的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两个正四棱锥组成的八面体EABCDF所有顶点都在同一个球面上，正方形ABCD边长为4，，则从点A出发沿着该八面体表面到点C的最短路程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的正切值为 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 随着居民收入水平提高，大众旅游时代全面来临．暑假期间，甲、乙两名同学独立地从龙岩、漳州、厦门、泉州四个城市中等可能地随机选择一个作为短途旅游目的地．设事件“甲选择龙岩”，事件“乙选择龙岩或厦门”，事件“两人选择的城市相同”，事件“至少有一人选择龙岩”，则（ ） A. 事件A与事件C相互独立 B. 事件A与事件D相互独立 C. 事件B与事件C相互独立 D. 事件B与事件D相互独立 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 到平面的距离为定值 C. 与平面夹角的最大值是 D. 二面角正切值的取值范围是 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则________． 13. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为_____． 14. 已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校测绘社团测量湘江对岸一栋地标建筑AB的高度时，由于建筑底部B无法直接到达，测量小组在岸边选取了两个观测点C，D进行测量．首先在点C处测得A的仰角为45°，然后沿河岸步行400米到达点D处，在点D处测得A的仰角为30°．已知，且观测点与B都在同一水平面内． （1）求的大小； （2）求AB的高度； （3）若从观测点C向后（沿BC的延长线）退至点E，要使在E处测得A的仰角为15°，求后退距离．（结果保留根号） 16. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是与的交点，，，平面，，是棱上的一点． （1）当为中点时， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积． （2）若二面角为直二面角，求的长． 18. 已知函数. （1）求函数的对称中心与对称轴； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 19. 反函数是指一对图象关于直线对称的函数，如函数与函数，判定反函数的条件是对定义域内任意的x都有．现定义“半反函数”：若函数与函数满足对定义域内任意的x都有成立，则称函数为函数的“半反函数”；如与，满足，故函数为函数的“半反函数”．已知，． （1）判断下列命题是否为真命题，并说明理由： ①函数为函数的“半反函数”； ②函数为函数的“半反函数”． （2）判断在上的单调性，并用定义法证明． （3）已知存在两个零点，，存在两个零点，，请比较与的大小关系． 高二数学入学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟．满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2）400米． （3）米． 【16题答案】 【答案】（1），． （2）85分． （3）． 【17题答案】 【答案】（1）（ⅰ）因为底面为菱形，是与的交点，所以为中点. 又为中点，所以是的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面． （ⅱ） （2） 【18题答案】 【答案】（1）对称中心为；对称轴为； （2）和； （3）或. 【19题答案】 【答案】（1）①为假命题，理由如下： 判断是否为的“半反函数”， 即验证对定义域内任意x，是否有． 的定义域为． ． 分类讨论：当时，：； 当时，：. 故不是的“半反函数”． ②为真命题，理由如下： 即验证对定义域内任意x，是否有． 的定义域为. . 函数为函数的“半反函数”． （2）在上单调递增， 证明：，， 分子有理化有， . 因为，， 所以，又，所以， 故在上单调递增． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $