精品解析：湖南师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期暑假作业过关练习数学试题

2026年秋季高二年级暑假作业过关练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为（ ） A. 1 B. C. D. -1 2. 数据4，4，5，7，7，8，8，8，9，10的第80百分位数为（ ） A. 9 B. 8.5 C. 8 D. 10 3. 点在所在平面内，且满足，则点是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 4. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，.设平面向量，，则向量，能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 的内角A，B，C所对的边分别为，，，，，，则边长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，E为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 在复数集C中，方程有两个根，分别为， B. 若空间中的O，A，B，C满足，则A，B，C三点不共线 C. 是空间的一组基底，若，，则能为空间的一组基底 D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则事件与B相互独立 C. 若A发生时B一定发生，则 D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 四面体的外接球的表面积为 B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 点是四边形内的动点，且直线PH与直线AD的夹角为，则点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，直线，若，则______________. 13. 如图，在边长为2的正方体中，点到平面的距离为______________. 14. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量（单位：），绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计位居民某年的月均用水量的众数； （2）已知该市有万居民，估计全市居民中月均用水量低于的人数； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值. 16. 在锐角中，，，分别是角A，B，C的对边，若且. （1）求B； （2）求周长的取值范围. 17. 如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. （2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）证明：，都有； （2）当时，求不等式的解集； （3）是否存在实数，对任意一个整数，关于的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二年级暑假作业过关练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为（ ） A. 1 B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【详解】由， 所以复数的模为. 2. 数据4，4，5，7，7，8，8，8，9，10的第80百分位数为（ ） A. 9 B. 8.5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】数据从小到大排列为4，4，5，7，7，8，8，8，9，10，第80百分位数为 3. 点在所在平面内，且满足，则点是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 【答案】B 【解析】 【详解】∵， ， 同理可得：，， 所以点是的垂心. 4. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，.设平面向量，，则向量，能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基底的等价条件，结合古典概型、对立事件的概率公式求解即可. 【详解】已知，，若，不能作为基底，则，即， 当时，；当时，；当时，， 两次投掷得到点数的总可能性有种， 所以所求的概率. 5. 的内角A，B，C所对的边分别为，，，，，，则边长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 因为所以， 所以，解得， 由余弦定理得， 所以. 6. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，存在平面使得且，因为，平面，故， 因为，故，所以，A正确； 对于B，若，则与可能相交或平行，B错误； 对于C，若，则与无公共点，又，则与平行或异面，C错误； 对于D，若，，则或，D错误. 7. 如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，E为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】取的中点，连接，因为是的中点，则， 连接，则直线与所成角为或其补角， 由题设，令，而，，两两垂直，为等边三角形， 所以，，， 在中，， 故直线与所成角的余弦值为． 8. 如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，将的表达式利用极化恒等式化简，再由三点共线可求出最大值. 【详解】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知， 所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立． 所以的最大值为2． 故选：B． 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 在复数集C中，方程有两个根，分别为， B. 若空间中的O，A，B，C满足，则A，B，C三点不共线 C. 是空间的一组基底，若，，则能为空间的一组基底 D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法、空间三点共线、基底、复数的几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A：方程，解得，故A正确； 对于B：，可得， 所以A，B，C三点共线，选项B错误； 对于C：假设共面，则存在实数x，y， 使得，即， 即，因为不共面， 所以无非零解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项C正确； 对于D：设，则，因为， 所以，所以， 所以复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，故D错误. 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则事件与B相互独立 C. 若A发生时B一定发生，则 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错误； 对于B，因为，，则， 因为， 所以事件与B相互独立，故B正确； 对于C，若A发生时B一定发生，则，则，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，故D正确． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 四面体的外接球的表面积为 B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 点是四边形内的动点，且直线PH与直线AD的夹角为，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用补形法可判断A选项；作出辅助线，得到，即、、、四点共面，当与重合时满足要求，但不能与重合，可判断B选项；作出辅助线，得到平面截正方体截面为平行四边形，当与点重合时，面积最大，此时面积为，当与点无限接近时，面积接近于，可判断C选项；作出辅助线，得到点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧，可求出点的轨迹长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，将四棱锥补成长方体， 所以，四面体的外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即四面体的外接球的直径为， 所以，四面体的外接球的表面积为，A正确； 对于B选项，连接，，，因为且， 故四边形为平行四边形，所以，因为P，N分别是中点， 则，所以，即，，，四点共面， 而平面与的交点唯一，故即为，又不为的端点， 因此不存在满足条件的点，B正确； 对于C选项，如图，在平面上作，垂足为点， 过点在平面内作交BC或者于， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 平面截正方体截面为平行四边形， 当与点重合时，面积最大，此时，，面积为 当Q与点无限接近时，面积接近于0， 过且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为，C错误； 对于D选项，依题意，直线PH与直线的夹角为， 取的中点，连接PO，则， 则平面，取AB的中点，以为圆心，为半径作圆，交，于X，Y， 则点H的轨迹为以O为圆心，1为半径的部分圆弧， 又，故 所以点的轨迹长度为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，直线，若，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行，且，即可求出的值. 【详解】因为，则且，所以. 13. 如图，在边长为2的正方体中，点到平面的距离为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式，结合等体积法求解即可. 【详解】由题意，，则为等边三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 则，即， 所以，解得. 14. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解. 【详解】如图所示正四面体，记棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 所以九个球的表面积之和， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准（单位：），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量（单位：），绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计位居民某年的月均用水量的众数； （2）已知该市有万居民，估计全市居民中月均用水量低于的人数； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值. 【答案】（1），众数为 （2）万 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图性质列方程求，由众数定义和频率分布直方图求众数； （2）根据频率分布直方图得到位居民中月均用水量低于的频率，用频率估计概率，即可求解; （3）根据百分数定义列方程求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 所以， 由图可知，月均用水量位于的频率最大，由此众数为. 【小问2详解】 月均用水量低于的频率为， 所以全市居民中月均用水量低于的人数为万. 【小问3详解】 月均用水量不超过的频率为， 月均用水量不超过的频率为，因此， ，所以. 16. 在锐角中，，，分别是角A，B，C的对边，若且. （1）求B； （2）求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据以及和差角公式即可求B; （2）利用正弦定理将进行边化角，再利用辅助角公式将周长转化为正弦型函数，利用正弦型函数性质求取值范围. 【小问1详解】 由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴且，∴，∴. 【小问2详解】 设周长为L，则，只需确定的取值范围， 由正弦定理得， 因此， 由得， 因为为锐角三角形，所以解得， 所以周长 因为，所以，， 所以， 即 17. 如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. （2）存在点Q为PB的中点， 【解析】 【分析】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. （2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 【答案】（1） （2）要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. （3） 【解析】 【分析】（1）要拿到30天会员，必须三道题全部答对；三题答题相互独立，直接用独立事件概率乘法公式计算三题全对的概率； （2）第一题固定答题2，剩余只有两种答题顺序. 获奖条件是出现连续两题答对，分别写出两种顺序下获奖的概率，比较大小，选择概率更大的顺序即可； （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题，分别写出三种情况的概率，写出不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 甲获得30天会员的概率为. 【小问2详解】 当时，各种答题顺序的情况如下： 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. 【小问3详解】 根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 因为，所以只需满足即可，即，解得. 因为，所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）证明：，都有； （2）当时，求不等式的解集； （3）是否存在实数，对任意一个整数，关于的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）因为，所以，都有. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用三角函数平方关系及平方差公式证明； （2）利用条件转化得到三角不等式，因式分解后结合给定区间判断一个因式恒正，再解剩余三角不等式，最后取交集求得 的范围; （3）先对方程因式分解拆成两个方程，分别分类讨论求解，得到全部通解，再列举区间内解，根据至少三个不同实数解的条件确定正数的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且，所以， 所以，则 则 又，所以，所以， 所以，则， 所以，，解得，， 又，所以. 【小问3详解】 假设存在正数，对于任意，关于的方程在 区间内至少有三个不同实数解. 所以， 所以①，或② 对于方程①，若，则，方程①不成立，所以 所以对于任意恒成立，所以，所以. 对于方程②， （Ⅰ）若，则，当为奇数时，，方程②无解； （Ⅱ）若，则对于任意，，所以，得. （Ⅲ）若，则对于任意，，则，则 （Ⅳ）若，则，所以且， 所以，因此方程②无解. 综上，原方程的解为或或. 若，则方程的解为，，；若，则方程的解为，，； 所以若，对任意一个整数， 关于的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解， 故正数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $