精品解析：湖南省株洲市第二中学2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

株洲市二中2026年下学期高二年级入学考试 数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，. 2. 若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量的夹角为锐角求出的取值范围，再判断属于哪种关系. 【详解】向量的夹角为锐角，则，且向量不共线， 当向量共线时，， 则， 若，则成立，反之不成立， 故“”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为，故. 4. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A， 即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况， 则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×= 故选B. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值. 【详解】由. 由. 由. 所以. 故选：B 6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图还原该平面图形，结合台体的体积公式运算求解. 【详解】在直观图中，因为，，， 则，， 在原图中，，，，即圆台的高为. 所以圆台的体积为. 7. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点 构造平面，通过线面垂直判定证明平面，结合在面内确定轨迹为线段，再由中位线求出 长度得到轨迹长. 【详解】如图，取棱PD的中点G，连接FG，EG． 因为F，G分别是棱AD，PD的中点，所以． 因为平面ABCD，所以平面ABCD． 因为平面ABCD，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面EFG，平面EFG，， 所以平面EFG，则平面EFG． 因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段EG． 因为，所以． 因为E，G分别是棱CD，PD的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 由题得，周期， 因为在上没有零点，所以， 得，即，得， 假设函数在上有零点， 令，得，解得, 则，得， 又，当时，得， 当时，得， 所以函数在上没有零点时，的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得得0分． 9. 已知是两条不重合的直线，是三个互不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中平行与垂直的判定定理和性质定理逐一判断各选项即可． 【详解】由m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，知： 在A中，若m∥β，n∥β，m，n⊂α，则α与β相交或平行，故A错误； 在B中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，得m⊥γ，n⊂γ，则由面面垂直的性质定理得m⊥n，故B正确； 在C中，若m⊥α，α⊥β，α∩β=n，那么由线面垂直的性质定理得m⊥n，故C错误； 在D中，若m∥α，，α∩β=n，那么由线面平行的性质定理得m∥n，故D正确. 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：根据线面垂直、面面垂直、线面平行的性质定理分析结论，考虑所有可能，判断正误，本题属于中档题. 10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可. 【详解】为奇函数，故，即①， 又为偶函数，故②， 则由①②可得，， 则，则的一个周期为4， 在①中令有， 又当时，，则，则， 所以， 故A正确； 由②可得，，则， 即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数， 则是上的减函数， 因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误； 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数， 由题意得与的图象如下： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点， 所以有5个零点，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体的截面面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若与侧面所成角为，则线段长度最小值为 D. 若点为棱中点，点在线段上移动（含端点），则与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接根据直线与平面的性质作出截面并计算可得；对B通过等体积转换法，只需要计算到截面的距离最大值即可，在平面图形中通过计算可得距离最大值，进而可得体积最大值；对C先由线面角可得点在侧面上的轨迹是一段圆弧，由圆的几何性质可得最小值；对D取棱的中点，再过点作，进而可得就等于与平面所成角，再直角三角形计算角的正弦值，并通过函数的单调性可得范围. 【详解】对A选项，设平面与棱交于点，连接，如图： 因为，平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面，所以. 因为点是棱的中点，所以点是棱的中点，因此，所以四边形是平行四边形. 又因为在正方体中，，，平面， 所以平面，平面，所以，因此平行四边形是矩形. 在直角三角形中，，所以， 所以矩形的面积，故A正确； 对B选项，因为，设点到平面的距离为，如图： 设过点作交于. 因为在正方体中，，，平面， 所以平面，平面，所以. 又因为，，平面，所以平面. 所以就是点到平面的距离，当且仅当与重合时，到平面的距离有最大值. 因为，，， 在直角三角形中，，所以. 所以三棱锥的体积，故B正确； 对C选项，连接，由B选项分析知平面，且， 所以平面，因此就是与侧面所成角，即. 在直角三角形中，，所以. 在侧面中，动点到定点的距离为，因此动点在一段圆弧上，如图： 由圆的几何性质，线段，故C错误； 对D选项，取棱的中点，连接，再过点作. 因为是棱的中点，所以， 因此，所以，. 由A选项分析知平面，平面，所以. 因为，，，平面，因此平面. 又因为，，所以，且是动点， 所以平面或平面，且平面， 故就等于与平面所成角. 在直角三角形中，， 当时，； 当时，在单调递增，所以. 综上所述，，即与平面所成角正弦值的取值范围为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 要使分式有意义，则的取值范围为___. 【答案】且 【解析】 【分析】0的0次幂没有意义，偶次根号下被开方数为非负数，分母不能是0. 【详解】 13. 已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得，所以， 又由， 即， 所以. 故答案为：. 14. 已知是空间单位向量，，若空间向量满足且对任意、，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据最值的定义，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可. 【详解】由可知： 当时，有最小值1， 因为是空间单位向量，,空间向量满足, 所以, 显然当时，有最小值，最小值为1，所以， 解得：，即当时成立，因此， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据最值的定义利用配方法是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值 （2）估计本次联考该校数学成绩的众数和中位数；（中位数精确到0.1） （3）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 【答案】（1） （2）众数为105，中位数为 （3） 【解析】 【小问1详解】 依题意， ，解得， 【小问2详解】 数学成绩的众数为 由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为， 所以该校数学成绩的中位数，则 ，解得 ； 【小问3详解】 抽取的5人中，分数在内的有 （人），在内的有1人， 记在内的4人为，在内的1人为A， 从5人中任取3人，，共10个， 选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种， 所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面． （1）证明：； （2）若均在球的球面上，且球的表面积为． （i）求的长； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴为正三角形，即有， 在等腰梯形中，， 则， ∴，∴， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴． （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）依次求证、，进而得到平面，即可求证； （2）（i）求证为的外接圆圆心且半径以及平面即可分析计算求解； （ii）方法一：过作于，求证为二面角的平面角， 并计算即可求解；方法二：建立适当空间直角坐标系，求出两平面法向量，由向量法公式计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）∵，∴为等边三角形， ∴，即为四边形外接圆的圆心， ∴为的外接圆圆心，半径，且平面， ∵平面，∴，且， ∴球的半径， ∵，∴，∴， ∴． （ii）方法一：过作于， ∵平面，∴平面， 又∵平面，∴，∴为二面角的平面角， ∵，∴二面角的平面角的余弦值为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 方法二：如图所示，建立以为坐标原点，方向为轴正方向的空间直角坐标系， ∴，∴， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， ∴，∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知． （1）若函数的定义域为，求k的值； （2）若，且恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若存在实数m，使得关于x的方程．恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的性质得到，求出不等式的解析，再结合，求出的值； （2）首先分析的取值情况，依题意及幂函数的性质可得在上单调递减，即可确定的解析式，则问题即恒成立，根据函数的奇偶性，只需研究的情况即可，结合二次函数的性质计算可得； （3）由（2）可得方程在上有个不同的根，令，分析的取值情况，则问题转化为，即，再令，关于的方程在上有两个不等的根，结合一元二次方程根的分布问题得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 解：函数的定义域为，则， 所以，解得，又， 所以或； 【小问2详解】 解：因为且， 若为奇数，则为偶数，则为偶数， 若为偶数，则为奇数，则为偶数， 且， 因为，所以在上单调递减， 若，即或时符合题意， 若，即或时，不符合题意， 若，则为偶函数且在上单调递减，则在上单调递增，不符合题意； 所以， 则不等式恒成立，即恒成立， 因为为偶函数，由恒成立，只需研究的情况即可， ①当时显然成立， ②当时恒成立， 若解得或，当时显然成立，当时不等式即，解得，不符合题意； 若，即时，显然不成立， 若，即或时，函数的对称轴为，开口向上， 当时，又，所以恒成立，符合题意， 当时，则，解得（舍去）或， 综上可得：或； 【小问3详解】 解：由（2）可得， 即， 因为方程在上有个不同的根， 即在上有个不同的根， 令，， 当时，， 所以在上单调递增，则； 当时，， 所以在上单调递减，则． 方程可变形为， 即， 令，则方程为，要使得原方程有个不同的正根， 则关于的方程在上有两个不等的根，， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 19. 已知分别为定义在R上的偶函数与奇函数，且满足. （1）求和； （2）定义，. （i）若存在正整数n，使得对任意的恒成立，求实数a的取值范围； （ii）若对任意的恒有，求n的最大值. 【答案】（1），； （2）（i）；（ii）21 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程，求出和； （2）（i）当时，不等式化为，根据函数单调性得到的取值范围为，举出反例得到若，则对任意正整数，不等式不恒成立，从而得到结论； （ii）只需，设的最大值为，故只需，解不等式得n的最大值为21. 【小问1详解】 ①， 故 ， 因为分别为定义在R上的偶函数与奇函数， 所以， 故②， 式子①+②得， 故， 所以， 式子②-①得， 所以， 【小问2详解】 ， （i）当时，， 不等式化为， 令，则需对任意恒成立， 设， 要想对任意恒成立，只需， 解得， 综上，当时，； 下证：若，则对任意正整数，不等式不恒成立， ， 若，取，此时，或， 当为奇数时，，代入不等式得，解得， 与矛盾， 当为偶数时，，代入不等式得，解得，与矛盾， 若，取，此时，， 代入不等式可得，解得，与矛盾， 因此，当时，存在，使得对任意的恒成立； （ii）对任意的恒有，只需， 令，， 则，设的最大值为， 当时，，此时对任意的恒有， 当时，，且在约束条件下， ， 最大值为，故， 例如，当时，， 故只需，即，，， 其中， 故， 若对任意的恒有，则n的最大值为21. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中2026年下学期高二年级入学考试 数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得得0分． 9. 已知是两条不重合的直线，是三个互不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 11. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截该正方体的截面面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若与侧面所成角为，则线段长度最小值为 D. 若点为棱中点，点在线段上移动（含端点），则与平面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 要使分式有意义，则的取值范围为___. 13. 已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为________. 14. 已知是空间单位向量，，若空间向量满足且对任意、，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值 （2）估计本次联考该校数学成绩的众数和中位数；（中位数精确到0.1） （3）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，平面． （1）证明：； （2）若均在球的球面上，且球的表面积为． （i）求的长； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知． （1）若函数的定义域为，求k的值； （2）若，且恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若存在实数m，使得关于x的方程．恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围． 19. 已知分别为定义在R上的偶函数与奇函数，且满足. （1）求和； （2）定义，. （i）若存在正整数n，使得对任意的恒成立，求实数a的取值范围； （ii）若对任意的恒有，求n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $