5.3一元一次方程的应用-第1课时 几何问题 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的几何应用，核心知识点包括等积变形及周长、面积相关问题。课堂导入通过“小明做跑道”情境，先复习长方形周长公式，再结合KT板尺寸问题引出方程建立，搭建从具体情境到抽象模型的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如易拉罐改造、铁丝围长方形）为载体，用表格梳理量的关系，培养数学眼光与推理能力。通过比较不同长方形面积得出规律，强化模型意识，助力学生提升应用能力，也为教师提供结构化的教学流程。

第五章 一元一次方程 5.3 一元一次方程的应用 第1课时 几何问题 七年级上│BS 1. 分析简单问题中的数量关系，建立方程解决问题； 2. 能利用一元一次方程解决简单的图形问题. 学习目标 爸爸，我想做一个“直线竞速”装置.跑道是一条长80厘米、宽2厘米的长方形区域.家里有大小合适的材料吗？ 我今天正好带回来一块长方形的KT板，周长是80厘米，并且长比宽多3厘米.够你做跑道吗？ 新课引入 学校科技节，小明想做一个“直线竞速”装置.跑道是一条长80cm、宽2cm的长方形区域.爸爸有一块长比宽多3cm、周长是80cm的长方形KT板.这块板够小明做跑道吗？ 解：设这块板的宽为 x cm，则它的长为 (x + 3) cm.根据题意，得 2(x + x + 3) = 80. 解得 x = 18.5. 则长 = 18.5 + 3 = 21.5 cm. 因为21.5＜80，所以这块板不够小明做跑道. 新课引入 圆柱体的体积 V = __________. 长方体的体积 V = __________. 长方形的周长 C = __________，面积 S = __________， 正方形的周长 C = __________，面积 S = __________， 圆的周长 C = __________，面积 S = __________， 2(a + b) ab abc a b c 4a a a2 a3 2πr πr2 πr2h r h 正方体的体积 V = __________. 新课引入 以上问题学生回答言之有理即可 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：新、旧包装易拉罐的高、底面直径、容积. ②容积(旧) = 容积(新). 等量关系： ①容积=高×π( )2 新知学习 (2)设新包装的高度为x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗? 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 体积/cm3 3.3 3 12 x (3)根据等量关系，你能列出怎样的方程? 设新包装的高度为xcm，根据等量关系，列出方程: _______________________. 解这个方程，得x=__________. 因此，易拉罐的高度变为__________cm. 14.52 14.52 π×(3.3)2×12=π×32x π×(3.3)2×12 π×32x 新知学习 等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变. 等积变形问题中的等量关系是：变化前图形或物体的体积 (面积) = 变化后图形或物体的体积(面积)． 温馨提示 新知学习 例 用一根长为 10 m的铁丝围成一个长方形. (1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ 分析：长方形的周长 = 铁丝的长度. 解：(1)设此时长方形的宽为 x m，则它的长为 (x + 1.4) m. 根据题意，得 2(x + 1.4) + 2x = 10. 解这个方程，得 x = 1.8. 1.8 + 1.4 = 3.2. 此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m. x + 1.4 x 新知学习 (2)设此时长方形的宽为 x m，则它的长为 (x + 0.8)m. 根据题意，得2(x + 0.8) + 2x = 10. 解这个方程，得 x = 2.1. 2.1 + 0.8 = 2.9. 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为 2.9×2.1 = 6.09 (m2)， 例 用一根长为 10 m的铁丝围成一个长方形. (2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？ x + 0.8 x 新知学习 x + 0.8 x (1)中长方形的面积为： 3.2×1.8 = 5.76 (m2). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09 - 5.76 = 0.33 (m2). 新知学习 例 用一根长为 10 m的铁丝围成一个长方形. (3) 如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与 (2) 中长方形的面积相比又有什么变化？ (3) 设正方形的边长为 x m. 根据题意，得 4x = 10. 解这个方程，得 x = 2.5. 正方形的边长为2.5 m，面积为2.5×2.5 = 6.25 (m2)， 比(2)中长方形的面积增大 6.25 - 6.09 = 0.16 (m2). x 新知学习 x + 1.4 x x + 0.8 x x S = 5.76 m2 S = 6.09 m2 S = 6. 25 m2 比较这 3 小题的结果，有什么发现？ 结论： 用同样长的铁丝围成四边形， 围成正方形面积最大. 新知学习 思考·交流 在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量?列方程的思路是什么? 所列方程的左边和右边表示的都是长方形的周长. 列方程的思路是在分析清楚问题所涉及量之间的等量关系的基础上，将同一个量(或相等的量)用不同代数式表达出来. 新知学习 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： (1) 审：弄清题意，找出等量关系； (2) 设：设出合适的未知数； (3) 列：表示出等量关系，列出一元一次方程； (4) 解：解一元一次方程； (5) 检：检验解是否是方程的解，是否是实际问题的解； (6) 答：写出实际问题的答案. 方法总结 新知学习 变式 如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为50cm，则大长方形的面积是( ) A．90cm2 B．100cm2 C．120cm2 D．150cm2 解析：设小长方形的宽为x cm， 由图可得小长方形的长为2x cm， 所以2(2x + 2x + x) = 50， 解得x = 5， 所以大长方形的宽为10cm，长为15cm， 所以大长方形的面积为10×15 = 150(cm2). D 新知学习 1. 如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为 6 cm 的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为 8 cm 的长条. 如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是 (　　) A. 20 cm B. 24 cm C. 48 cm D. 144 cm B 随堂练习 2. 从一个底面半径是 10 cm 的凉水杯中，向一个底面半径为 5 cm，高为 8 cm 的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降( ) A. 8cm B. 2cm C. 5cm D. 4cm B 3. 有一块棱长为 4 厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长 4 厘米、宽2 厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是 _________ 厘米. (不计损耗) 8 随堂练习 4. (2023北京) (传统文化)对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 .某人要装裱一 副对联，对联的长为100cm，宽为27cm. 若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍， 求边的宽和天头长． 随堂练习 解：设边的宽为x cm，则天头长为 6x cm， 地头长为 4x cm，根据题意得， 100 + (6x + 4x)=4×(27 + x + x)， 解得 x = 4， 所以天头长：6x = 6×4 = 24， 答：边的宽为4cm，天头长为24cm. 随堂练习 5.(真实问题情境)一种牙膏出口处直径为 5 mm，小明每次刷牙都挤出 1 cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用 36 次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出 1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得 π×( )2×10×36 = π×( )2×10x. 解得 x = 25. 答：这一支牙膏能用 25 次． 随堂练习 6. 将6块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为m，宽为n的长方形中，当两块阴影部分A，B的面积相等时，求小长方形其较短一边长的值(用含m的式子表示). 方法一：解：设小长方形较短的一边长为a，则较长的一边长为m - 3a， SA = (m - 3a)(n - 3a)，SB = 3a(n - m+3a)， 根据题意得，(m - 3a)(n - 3a) = 3a(n - m + 3a)， 化简，得 m = 6a， 所以 . m n A B 随堂练习 6. 将6块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为m，宽为n的长方形中，当两块阴影部分A，B的面积相等时，求小长方形其较短一边长的值(用含m的式子表示). 方法二：解：设小长方形较长的一边长为b，则较短的一边长为 ， SA = b[n- (m - b)]，SB = (m - b)(n - b)， 根据题意得，b[n- (m - b)] = (m - b)(n - b)， 解得 . 所以小长方形其较短一边长的值为 . m n A B 随堂练习 解题步骤 等积变 形问题 几何问题 ①审② 设③ 列④ 解⑤ 检⑥ 答. 等量关系：变化前图形或物体的体积 (面积) = 变化后图形或物体的体积(面积) 课堂小结 $