5.3 一元一次方程的应用 第三课时课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的应用，核心内容为行程问题（追及、相遇、环形跑道），通过“兔子乌龟赛跑”“小明上学”等生活情境导入，以线段图为学习支架，帮助学生从具体情境抽象出数量关系，衔接方程建模方法。 其亮点在于借助线段图培养几何直观（数学眼光），通过合作探究发展推理意识（数学思维），总结“路程和/差=总距离”等模型提升模型意识（数学语言）。实例丰富，如环形跑道问题分析行程关系，练习融入《九章算术》古题，助力学生掌握解题方法，教师可直接用于结构化教学。

第五章一元一次方程 第三课时 5.3一元一次方程的应用 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课。今天，我们将一起走进一个奇妙的世界——图形的世界。大家看，我们的周围充满了各种各样的形状，从宏伟的建筑到小小的文具，都蕴含着数学的奥秘。这节课，我们将正式开启第一章的学习：丰富的图形世界，首先来认识一下我们生活中无处不在的立体图形。准备好了吗？让我们一起出发吧！ ‹#› 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 一元一次方程的应用 1.能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题。 2.进一步领会采用代数方法解应用题的优越性。 重点 难点 一级标题：黑体， 2 情境引入 假如兔子每分钟跑30m，乌龟每分钟爬1m，它们同时同地同向出发，兔子跑了2min后觉得领先太多，就躺下睡觉了.乌龟出发多久后追上兔子？ 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 情境引入 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他. (1) 问题中有哪些已知量和未知量?爸爸追上小明用了多长时间？ 已知量：小明家与学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明先出发的时间； 未知量：爸爸追小明所用的时间、爸爸追小明期间小明所走的路程、爸爸追小明的路程. 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 假设爸爸追上小明用了x分钟. 180x 80×5 80x 追上 爸爸追赶小明时走的路程：180x 小明5 min走的路程：80×5 小明在爸爸追时走的路程：80x （2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 （3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。 由题意得 80×5 + 80x = 180x。 解：设爸爸追上小明用了 x min， 解得 x = 4。 180×4 = 720 (m)，1000 - 720 = 280 (m)。 答： 爸爸追上小明用了 4 min。追上小明时，距离学校还有 280 m。 小明家 学校 80×5 80x 180x 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 (4)爸爸追上小明时，距离学校还有多远？ 180×4 1 000 m ？ 解：180×4=720(m) 1 000－720=280(m) 所以，爸爸追上小明时，距离学校还有280 m. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 归纳： 追及问题 (1)对于同向同地不同时的问题 （出发地、追及地相同，出发时间不同） S甲＝S乙先＋S乙后． 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 归纳： 追及问题 (2)对于同向同时不同地的问题 （两者出发地不同，但同时出发）， S甲－S乙＝两出发地的距离. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 甲、乙两人相距280米，同时出发，相向而行，甲从A地出发每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米，那么甲出发几秒后与乙相遇? 甲 乙 280米 A B 8米/秒 6米/秒 相遇 【分析】等量关系：甲走的时间=乙走的时间 甲的行程+乙的行程=A、B两地间的距离 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 甲 乙 280米 解：设甲出发t秒后与乙相遇. 根据题意，得 8t+6t=280. 解得 t=20. 所以，甲出发20秒后与乙相遇. A B 8米/秒 6米/秒 相遇 【分析】等量关系：甲走的时间=乙走的时间 甲的行程+乙的行程=A、B两地间的距离 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 归纳： 相遇问题 往往根据路程之和等于总路程列方程． S甲＋S乙＝两地距离． 甲的行程 乙的行程 相遇地 甲出发地 乙出发地 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 例1 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 260 起点 起点 260 260x 300x 260x 300x 追及问题 相遇问题 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 解：（1）设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程 260 + 260x = 300x。 解这个方程，得 x = 6.5。 因此，小华用 6.5 min 追上小明。 追及问题 260 起点 260x 300x 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 （2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇， 根据等量关系，可列出方程 260x + 300x = 400 - 260。 解这个方程，得 x = 0.25。 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。 起点 260 260x 300x 相遇问题 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 环形问题中的相等关系： 两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)， 甲的行程 － 乙的行程 ＝ 一圈周长。 两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇) 甲的行程 ＋ 乙的行程＝ 一圈周长。 【方法总结】 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 针对训练：甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，甲的速度为 360 米/分，乙的速度是 240 米/分.两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？ 解：设 x 分钟后两人第一次相遇， 由题意，得 360x－240x＝400. 解得 所以 ÷400＝5 (圈). 答：两人一共跑了 5 圈. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 思考∙交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么?与同伴进行交流。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示: 实际问题 数学问题 （一元一次方程） 实际问题的解 数学问题的解 （一元一次方程的解） 抽象 寻找等量关系 解释 验证 解方程 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 S甲＋S乙＝两地距离. 追及问题： 同时不同地：S甲－S乙＝两出发地的距离. 同地不同时：S甲＝S乙先＋S乙后. 相遇问题： 借助“线段图”分析行程问题中的数量关系： 环形跑道问题： ①同时同地、同向而行 （追及）： ②同时同地、背向而行 （相遇）： S快－S慢＝环形周长 S快+S慢＝环形周长 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 练习 1. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中 有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安. 今乙发 已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”其大意如下：甲从长安出 发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安. 若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？ 设甲经过 天后与乙相遇，则下列方程正确的是 ( ) D A. B. C. D. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 2. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载 了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十 里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑 得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走 12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天 数是( ) D A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 3. 一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划 回到原 来出发的码头.若这艘轮船在静水中的速度是 ，水流速 度是，则这艘轮船最多顺水走( ) ，就必须返回. B A. 30 B. 22.5 C. 18 D. 16 【点拨】设这艘轮船最多顺水走 ，就必须返回，根据题 意，得 ， 解方程，得，所以这艘轮船最多顺水走 ，就 必须返回.故选B. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 4. A，B 两地相距 60 千米，甲、乙两人分别从 A，B 两地出发相向而行，甲的速度是 8 千米/时，乙的速度是 6 千米/时．经过多长时间两人相距 4 千米？ 8x 6x 60 4 A B 8x 6x 60 4 A B 解：设经过 x 小时两人相距 4 千米，根据题意，得 8x＋6x＝60－4 或 8x＋6x＝60＋4. 解得 x＝4 或 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 5.小明家离学校 2.9 千米，一天小明放学走了 5 分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走 60 米，爸爸骑自行车每分钟骑 200 米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？ 解：设小明爸爸出发 x 分钟后接到小明， 由题意得 200x＋60(x＋5)＝2900. 答：小明爸爸从家出发 10 分钟后接到小明. 解得 x＝10. 200x 米 60(x+5) 米 2.9 千米 A B 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 6. A，B两地相距80千米，甲、乙两人同时分别从A，B两地出发相向而行，甲的速度是9千米/时，乙的速度是6千米/时．经过多长时间两人相距5千米？ 9x 6x 80 5 A B 解：设经过x小时后两人相距5千米. 根据题意，得 9x+5+6x=80. 解得 x=5. 所以，经过5小时后两人相距5千米. 情况一 【分析】等量关系： 甲路程+乙路程+5=80. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 6. A，B两地相距80千米，甲、乙两人同时分别从A，B两地出发相向而行，甲的速度是9千米/时，乙的速度是6千米/时．经过多长时间两人相距5千米？ 解：设经过x小时后两人相距5千米， 根据题意得 9x-5+6x=80. 解得 x= . 所以，经过 小时后两人相距5千米. 情况二 9x 6x 80 5 A B 【分析】等量关系： 甲路程-5+乙路程=80. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 $