5.3.2 “盈不足”问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“盈不足”问题，系统梳理定义、解题口诀、公式模板及四步骤，通过分书情境和《九章算术》古题导入，引导学生从具体分配问题抽象出方程模型，以定义、口诀、例题等构建学习支架。 其亮点在于融入古代数学问题，用表格分析数量关系，体现数学眼光和模型意识，分层练习覆盖不同题型并结合易错点总结，培养数学思维和运算能力。采用情境导入与合作探究，知识结构化小结助力学生提升应用意识，为教师提供系统资源，提高教学效率。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 5.3.2 “盈不足”问题 第五章 一元一次方程 北师大版七年级上册数学5.3.2“盈不足”问题 一、本节核心知识点 1. 盈不足问题定义 “盈不足”问题也叫分配问题，是一元一次方程经典应用题。题目特点：把一定数量的物品，平均分给若干人，出现分多了（盈）、分少了（不足）两种不同分配结果，求人数和物品总数。 2. 核心解题口诀（必考） 物品总数不变、人数不变，根据两次不同分配方案，利用总数相等列方程。 核心等量关系：第一种分配总数量 = 第二种分配总数量 3. 两类经典题型公式模板 （1）一盈一不足（最常考） 题意：每人分a个，多m个；每人分b个，少n个。 设人数为x人，列方程：$$ax+m=bx-n$$ （2）两次都盈 / 两次都不足 题意1（两次都盈）：每人分a个多m个，每人分b个多n个。 方程：$$ax+m=bx+n$$ 题意2（两次都不足）：每人分a个少m个，每人分b个少n个。 方程：$$ax-m=bx-n$$ 4. 标准解题四步骤 ① 审：找准两次分配的“每人数量、盈余数量、不足数量”； ② 设：一般设人数为x（设份数为未知数最简便）； ③ 列：根据物品总数不变列一元一次方程； ④ 解：解方程求出人数，再代入求物品总数。 5. 经典例题（考试原题模板） 例题：一批糖果分给学生，每人分4颗，多10颗；每人分6颗，少8颗。求学生人数和糖果总数。 解：设学生有$$x$$人。 根据糖果总数不变列方程：$$4x+10=6x-8$$ 移项：$$10+8=6x-4x$$ 合并同类项：$$2x=18$$ 系数化为1：$$x=9$$ 糖果总数：$$4\times9+10=46$$（颗） 答：学生有9人，糖果有46颗。 6. 高频易错点 ① 找错等量关系，忘记总数不变核心； ② 符号出错：盈是+，不足是-，最容易写反； ③ 求出人数后，忘记计算物品总数，答题不完整； ④ 混淆两次分配的每人分配数量。 二、同步练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 盈不足问题的核心不变量是（） A. 每人分配数量 B. 物品总数 C. 盈余数量 D. 不足数量 2. 分配物品多出来的数量叫做（） A. 不足 B. 盈 C. 差 D. 总数 3. 每人分3个多5个，物品总数列式为（） A. $$3x-5$$ B. $$3x+5$$ C. $$3x$$ D. $$x+5$$ 4. 每人分5个少4个，物品总数列式为（） A. $$5x+4$$ B. $$5x-4$$ C. $$5x$$ D. $$x-4$$ 5. 解决盈不足问题通常设未知数为（） A. 物品总数 B. 人数 C. 盈余数 D. 不足数 6. 一盈一不足问题列方程依据是（） A. 人数相等 B. 物品总数相等 C. 每人数量相等 D. 差值相等 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 盈不足问题中，盈指分配后物品________。 2. 盈不足问题中，不足指分配后物品________。 3. 盈不足问题列方程的核心依据是________不变。 4. 每人分2个多3个，总数=________。 5. 每人分4个少2个，总数=________。 6. 解盈不足问题一般设________为x。 三、判断题（每题3分，共18分） 1. 盈不足问题两次分配的物品总数是相等的。（） 2. “多出来”在列式中用减法。（） 3. “不够分”在列式中用减法。（） 4. 盈不足问题只能设物品总数为未知数。（） 5. 两次分配的每人数量不同，是题型特点。（） 6. 求出人数后还需要计算物品总数。（） 四、应用题（每题17分，共34分） 1. 把笔记本分给学生，每人分3本，剩余6本；每人分5本，缺少4本。求学生人数和笔记本总数。 2. 一堆苹果分给小朋友，每人分2个，多8个；每人分4个，刚好分完。求小朋友人数和苹果总数。 三、参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 二、填空题 1. 多余、剩余 2. 不够、缺少 3. 物品总数 4. $$2x+3$$ 5. $$4x-2$$ 6. 人数 三、判断题 1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 四、应用题 1. 解：设学生有$$x$$人。 列方程：$$3x+6=5x-4$$ 移项合并：$$2x=10$$，解得$$x=5$$ 笔记本总数：$$3\times5+6=21$$（本） 答：学生有5人，笔记本有21本。 2. 解：设小朋友有$$x$$人。 列方程：$$2x+8=4x$$ 移项合并：$$2x=8$$，解得$$x=4$$ 苹果总数：$$4\times4=16$$（个） 答：小朋友有4人，苹果有16个。 能根据古代数学问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想. 借助古代数学问题，体会利用表格分析数量关系是一种有效方法. 经历运用方程解决古代数学问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识. 把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？ 创设情境，导入新课 探究点　利用一元一次方程解决古代数学问题 1.《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？ (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？ 活动引入，合作探究 已知量：每人出8钱和7钱时出钱总数与物价的差距； 未知量：人数与物价. 等量关系：每人出的钱数×人数-多出的钱数=每人出的钱数×人数+少出的钱数 (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？ (2)设人数为x，其他未知量能用含x 的代数式表示并完成下表. (3)根据等量关系， 列出方程 设人数为x. 根据等量关系，列出方程：______________　 解这个方程，得 x ＝________ 因此，人数为________，物价为_________钱. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 x 出钱总数 物价 8x 8x-3 x 7x 7x+4 8x-3=7x+4 7 7 53 思考：如果设物价为 y 钱， 用含 y 的代数式表示其他未知量，并补充表格. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 物价 y 出钱总数 人数 y+3 y y-4 根据等量关系， 列出方程 设物价为 y. 根据等量关系，列出方程：______________　 = 2.《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百， 盈三千四百；人出三百，盈一百.问：人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱. 合伙人数、金价各是多少？ (1)问题中的等量关系是怎样的？ 每人出的较多钱数×人数－多出的钱数＝每人出的较少钱数×人数－多出的钱数. (2)设人数为x，补充下列表格 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数 x 出钱总数 金价 400x 400x-3400 x 300x 300x-100 设合伙数为x. ，则金价可表示为_________________ 根据等量关系，列出方程：______________　 解这个方程，得 x ＝________ 因此，人数为________人，金价为_________钱. (400x-3400)钱或(300x-100)钱 400x-3400=300x-100 33 33 9800 300×33-100=9800 设金价为y钱，则人数可表示为____________ 根据等量关系，列出方程：______________　 思考　 (1)设金价为y钱，能列出怎样的方程？ 有关量 每人出400钱 每人出300钱 金价 y 出钱总数 人数 y+3400 y y+100 (2)《九章算术》给出了一种算法： 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价＝每人出的钱数×人数－剩余钱数. 此种求法与方程的求解过程相比有什么不同？ 第二次出钱总数-物价=第二次剩余钱数 第一次出钱总数-物价=第一次剩余钱数 ① ② ①和②两边分别相减得到 两次出钱总数之差＝两次剩余钱数之差 所以 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差. 两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数， 1. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问 开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客， 一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每 一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间 客房住9人，那么就空出一间客房.设有x间客房， 可列方程为 ⁠. 7x＋7＝9(x－1)　 随堂练习 2. 小明根据方程5x＋2＝6x－8编写了一道应用 题，请你把空缺的部分补充完整. 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师， 如果每人做5个，那么就比计划少2个； ⁠ ，请问手工小组有几 人？(设手工小组有x人) 如果每人 做6个，那么就比计划多8个　 随堂练习 3. 今年植树节，九年级(1)班同学参加义务植树活 动，共同种植一批樟树苗，如果每人种4棵，那么剩 余25棵；如果每人种5棵，那么还缺20棵，求该班的 学生人数和樟树苗的棵数. 书写规范 解：设 ⁠， 由题意，得 ⁠， 解得 ⁠. 所以 ⁠. 答： ⁠. 该班的学生人数为x　 4x＋25＝5x－20　 x＝45　 4x＋25＝4×45＋25＝205(棵)　 该班的学生人数为45，樟树苗的棵数为205 随堂练习 1. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文 是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三.问人数、 物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多 二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？ 设人数为人，货物总价为 钱，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 15 2. “曹冲称象”是流传很广的故事，按照他的 方法，先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵 出.然后往船上抬入20块等质量的条形石，并在船上留3名搬 运工，这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条 形石，船上只留1名搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知1 名搬运工的体重均为120斤，设每块条形石的质量是 斤，则 正确的是( ) 考试考法 16 A. 依题意得 B. 依题意得 C. 该象的质量是5 040斤 D. 每块条形石的质量是260斤 √ 返回 考试考法 17 3. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生 活.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每名快递 员派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件，还差14件， 则该快递分派站现有快递员____名. 10 返回 考试考法 18 4. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中 有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四， 每人八竿恰齐足.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地 玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰 好用完.”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数. 【解】设牧童人数为人,根据题意,得 ,解得 .所以牧童人数为7人. 返回 考试考法 19 5. 某学校组织师生去邻市中小学素质教育实践学校研学.已 知此次共有名师生乘坐 辆客车前往目的地，若每辆客车坐 40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空 出一辆客车.以下四个方程： ； ； ； .其中正确的是( ) B A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 考试考法 20 课堂小结 古代数学问题 数学问题 （一元一次方程） 表格分析 寻找等量关系 $