专题3.1 认识不等式&不等式的基本性质（5大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

专题3.1 认识不等式&不等式的基本性质 教学目标 1. 理解不等式、不等式的解、解集等概念，会用不等号表示简单数量关系，能在数轴上表示不等式的解集。 2. 掌握不等式的三条基本性质，能区分与等式性质的异同，正确运用性质对不等式进行变形。 3. 能根据实际问题列出简单不等式，体会建模思想，培养符号意识与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）理解不等式的基本性质，能准确运用性质进行不等式的变形，为后续解不等式奠定基础。 （2）掌握不等式解集的意义，会正确在数轴上表示解集，建立数与形的联系。 2.难点 （1）理解不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变，避免与等式性质混淆。 （2）准确区分“不等式的解”与“解集”，能结合题意确定范围，并规范在数轴上表示空心、实心点。 知识点01 不等式的概念 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【即学即练1】1．7月1日是建党节，我县气象局预测这一天的最低温度为，最高温度为，则我县这一天气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最低温度和最高温度的实际含义，气温不低于最低温度，不高于最高温度，据此列出不等式即可得到结果． 【详解】解：∵这一天的最低温度为，最高温度为， ∴气温满足． 2．周老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义，用不等号（包括,,,,等）表示不等关系的式子叫做不等式， 逐一判断式子是否符合要求即可得到结果. 【详解】解：①含不等号，是不等式； ②含不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤含不等号，是不等式； ⑥含不等号，是不等式； ∴不等式一共有4个. 3．如图是某机器零件的设计图纸（图中的长度单位：），用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围）_______． 【答案】 【分析】根据图像信息即可求解． 【详解】解：零件长度的取值范围是：, 即为：． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【即学即练2】4．若，则下列式子一定成立的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质一一辨别即可． 【详解】选项A：∵，∴，即A成立； 选项B：∵，∴，即B不成立； 选项C：∵，∴，即C不成立； 选项D：∵，∴，即D不成立． 5．已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； B、不等式两边先同时乘以，再减，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； C、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； D、不等式两边同时乘以，不等号变号，得到，选项结论正确，符合题意. 6．若，则__________．（填“”或“”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可判断两个式子的大小关系. 【详解】解：∵， ∴ . 知识点03 不等式的解与解集 不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【即学即练3】7．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 8．关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，逐项判断，进行作答，即可求解； 【详解】解：A、是的解集，所以不是此不等式的解，选项A错误； B、是的解集，选项B错误； C、是的解集， 选项C错误； D、是的解集，选项D正确，符合题意； 故选：D； 9．在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，数轴的某一段上面，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右，向左． 【详解】解：由图可知，该解集为：． 故答案为： 题型01 不等式的定义 【典例1】（25-26七年级下·青海玉树·期末）若是不等式，则符号“”不能是（　    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵、、均为不等号，可用于连接不等式，是等号，用于连接等式． ∴符号“”不能是． 【变式1】（25-26七年级下·重庆江津·期末）下列各式中，不是不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的概念判断各选项即可得到答案． 【详解】首先明确不等式的定义：用不等号（包括，，，，等）连接，表示不等关系的式子叫做不等式． ∵ 选项A、，使用不等号表示不等关系，是不等式； 选项B、，只是一个代数式，没有用不等号连接，不表示不等关系，不是不等式； 选项C、，使用不等号表示不等关系，是不等式； 选项D、，使用不等号表示不等关系，是不等式． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期末）下列式子中：① ；②；③ ；④ ；⑤ ．不等式是______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据不等式的定义，找出所有用不等号连接的式子即可． 【详解】解：①是用“ ”连接的式子，是不等式，符合要求； ②是用等号连接的式子，是等式，不是不等式，不符合要求； ③是代数式，没有不等号连接，不是不等式，不符合要求； ④是用“”连接的式子，是不等式，符合要求； ⑤是用“”连接的式子，是不等式，符合要求； ∴不等式有①④⑤． 【变式3】（25-26八年级下·安徽宿州·期中）李老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有_____（填写序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】根据不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，逐个判断各个式子即可． 【详解】解：①，用表示不等关系，是不等式； ②，用表示不等关系，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④，是整式，没有不等关系，不是不等式； ⑤，用表示不等关系，是不等式； ⑥ ，用表示不等关系，是不等式； 因此是不等式的序号为①②⑤⑥． 题型02 列不等式 【典例1】（25-26七年级下·云南红河·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为，则下列不等式对此标志解释正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解限速标志的含义即可得解． 【详解】解：限速标志“限速”表示车辆行驶的速度不能超过， 也就是行驶速度要小于或等于，用不等式表示为． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最低气温是，最高气温是， ． 【变式2】（25-26七年级下·湖南郴州·期末）若一部电梯的载重标准是不超过，设该电梯的载重量为，则x满足的不等式为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，电梯载重量不超过， 【变式3】（25-26七年级下·湖南永州·期中）永州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则该地当日气温的变化范围是______． 【答案】 【详解】解：∵该地当日最高气温为，最低气温为， 则该地当日气温的变化范围是 题型03 不等式的基本性质 【典例1】（25-26七年级下·北京密云·期末）若，则下列各式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不等式两边同时，得，不符合题意； B、不等式两边同时，得，则，符合题意； C、不等式两边同时，得，且，则，不符合题意； D、不等式两边同时，得，不符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·江西南昌·期末）如果，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】重点验证不等式乘负数的变形，结合性质判断各选项正误. 【详解】解：A. 不等式两边同时减1，不等号方向不变，得到，结论正确，不符合题意； B.不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得到，结论正确，不符合题意； C.不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得到，再两边同时加1，不等号方向不变，得到，原结论错误，符合题意； D.不等式两边除以，不等号方向不变，得到，结论正确，不符合题意. 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，，则的值可能是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，小于0的数均可） 【分析】不等式变形后不等号方向改变，据此确定的取值范围，写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵，给不等号两边同乘后得到，不等号方向发生改变， ∴根据不等式的性质可得， ∴的值可以是． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若，则_____________（用“”“”或“”填空）． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质变形即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型04 不等式的解与解集 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）由，得，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时乘以后，不等号方向由“” 变为“”，说明是负数，因此只需判断选项中哪个数是负数即可． 【详解】解：已知，两边同乘后得到，不等号方向改变，说明． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一性质，从而判断出的符号． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知，则x的值不可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值得到，再根据各选项的值即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 各个选项中只有不在这个范围内， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，由方程解出关于的表达式，再根据的取值范围，结合不等式的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：由，得． 因为，所以，因此，即． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以， ∵不等号由“”变成“”， ∴， 故答案为：． 题型05 利用不等式的基本性质解不等式 【典例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果那么 【答案】D 【分析】不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判定． 【详解】解：A．如果，那么，故A不符合题意； B．如果，那么，故B不符合题意； C．如果，那么，故C不符合题意； D．如果，那么，正确，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）运用不等式的性质，将下列不等式化为或的形式． （1）由，得______； （2）由，得______． 【答案】 【分析】主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质，即可求解； （1）根据不等式的性质1，即可求解； （2）根据不等式的性质2，即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 故答案为：． （2）由，得， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·广东河源·月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都加上即可求解； （2）把不等式化为：，再进一步利用不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 (4)，见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可； （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 则不等式的两边同时加上，不等号方向不变，得到， （2）解： ， 则不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （3）解： ， 不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （4）解： ， 则不等式的两边同时减去，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，得到． 一、单选题 1．（2025·河北沧州·模拟预测）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列不等式，根据图中重量的轻重可得结论． 【详解】解：由图可知，， 故选：B． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“不大于”表示小于等于，故不大于用不等式表示为． 3．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥，不等式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题根据不等式的定义判断即可，不等式是用不等号（等）连接表示不等关系的式子，逐个统计符合定义的式子个数即可得到答案． 【详解】解：①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③是等式，不是不等式； ④是代数式，无不等关系，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ⑥，用不等号连接，是不等式； ∴ 不等式共有4个． 4．（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴，A选项正确． ，B选项错误． ，C选项错误． ，D选项错误． 5．（2022·湖南娄底·模拟预测）老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（     ） A． B． C． D．与和的大小无关 【答案】A 【分析】以赔钱时总售价小于总成本为不等关系，列不等式推导与的大小即可得解． 【详解】解：买鱼总成本为元，鱼的总数量为条，总售价为元． ∵赔钱说明总售价小于总成本， ∴， 两边同乘2，得， 移项，得， 即． 二、填空题 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若有理数a、b满足，则________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据不等式的基本性质，即可得到正确结果. 【详解】解：， ． 7．（25-26七年级下·上海宝山·期末）列不等式表示下列数量关系：x的3倍大于x的一半与1的差______． 【答案】 【分析】根据题意列不等式即可． 【详解】解：由题意，得． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ①，是用不等号连接的式子，是不等式； ②，是用不等号连接的式子，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤是用不等号连接的式子，是不等式； ⑥，是用不等号连接的式子，是不等式； 综上所述，是不等式的有①②⑤⑥． 9．（25-26七年级下·湖北恩施·期末）已知，若成立，请写出一个满足条件的的值：_______． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据不等式的基本性质，由已知条件判断的取值范围，再选取一个符合范围的的值作答即可． 【详解】解：，且， ∴根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘同一个数，不等号方向改变，则这个数为负数， ， 任意选取一个小于的数即可，可以取（答案不唯一）． 10．（2026·贵州贵阳·二模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则____0．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，再利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级下·北京·课堂例题）用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意列出不等式即可； （2）根据题意列出不等式即可； （3）根据题意列出不等式即可； （4）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示为：； （2）x减去y不大于表示为：； （3）a的倍与的和是非负数表示为：； （4）a的与b的平方的和为正数：． 【点睛】此题考查了不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． 12．（25-26七年级下·北京·课后作业）实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空． (1)a___________b． (2)___________． (3)___________0． (4)___________0． (5)ab___________0． 【答案】(1)＞； (2)＜； (3)＜； (4)＞； (5)＜ 【分析】（1）根据数轴上a，b对应点在数轴上的位置，即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义，即可求解； （3）根据实数的加法法则即可求解； （4）根据实数的减法法则即可求解； （5）根据实数的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知：， 故答案为：＞； （2）解：由数轴可知：＜， 故答案为：＜； （3）解：∵，＜， ∴， 故答案为：＜； （4）解：∵， ∴， 故答案为：＞； （5）解：∵ ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查数轴，绝对值，实数的加减法和乘法，掌握绝对值的几何意义，实数的加减法法则是关键． 13．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c，d为四个互不相等的有理数． (1)如果，试说明：． 在下列说理中，填空（数学符号或理由）： 解：， _____①_____， 又， （_____②_____）， ． (2)如果a，b，c，d都是正数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 【答案】(1)①；②不等式两边加同一个数，不等号的方向不变； (2)，理由如下： ，， ， ，， ， ， ． 【分析】（1）根据不等式的性质补全说明过程即可； （2）根据不等式的性质得到，，可知． 【详解】（1）略； （2）略． 14．（25-26七年级下·福建厦门·期末）【阅读材料】： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：①___________（用含y的代数式表示）， ，即． 又． 上式三边先同时乘2，得②___________， 再同时加1，得， 的取值范围是． 【完善材料】 (1)材料中①为___________，②为___________； 【方法应用】 (2)若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】 (3)若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有2n个整数时，则的值为___________． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】（1）根据等式的性质和不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可； （3）根据整数个数列方程求解得到的值． 【详解】（1）解：∵， 移项得， 因此①为； 已知，将不等式三边同时乘2，得， 因此②为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 又∵， ∴， 将不等式三边同时乘3，得， 三边同时加8，得， 即的取值范围是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 将不等式三边同时乘3，得， 三边同时减，得， 即的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数， ∴， 解得． 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式．当天气温的最高温度为，最低温度为，因此气温的变化范围应介于这两个温度之间，包括端点．据此即可列出不等式． 【详解】解：根据题意，得当天赫章的气温的变化范围是． 故选：D 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若，且，则a的值可能是（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等式方向改变，即可求解． 【详解】解：∵，且，∴． 选项 A、C、D均非负数，只有选项 B（）为负数， 故选 B． 3．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 4．（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共个； 故选：C． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的大小估算，不等式的性质，熟记常用的完全平方数是关键． 先估算出的取值范围，再利用不等式的性质求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 不等式两边同时减2，得， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则6a________6b，_______，_______（c≠0）．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 ＞ ＞ ＞ 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以或除以同一个正数时，不等号的方向不变． 【详解】解：，且， ； ，且， ； ， ， 又 故答案为：>；>；>． 8．（25-26七年级上·安徽·假期作业）已知，请用“”或“”填空： （1）________； （2）________； （3） ________； （4）________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质2进行作答即可； （3）运用不等式的性质3进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 故答案为：；；； 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac________ab． （2）ab________cb． （3）________． （4）________． 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 【分析】（1）（2）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论； （3）（4）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论． 【详解】解：（1）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （2）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （3）由图可知，．根据不等式的性质1，得． ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （4）由图可知，．根据不等式的性质1，得． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 【详解】解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，将不等式两边同除以3，再同减去2即可； （2）根据不等式的基本性质，将不等式两边同乘以，得到，再两边加上3即可． 【详解】（1）解：； 理由：， ， ； （2）解：． 理由：， ， ． 12．（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． 【详解】（1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 13．（2026八年级下·全国·专题练习）下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 【答案】见解析 【分析】注意不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变． 【详解】解：∵， ∴，即是负数． 在不等式两边同时除以时， 因为除以的是一个负数，根据不等式的性质，不等号的方向应该改变，即，而不是． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 认识不等式&不等式的基本性质 教学目标 1. 理解不等式、不等式的解、解集等概念，会用不等号表示简单数量关系，能在数轴上表示不等式的解集。 2. 掌握不等式的三条基本性质，能区分与等式性质的异同，正确运用性质对不等式进行变形。 3. 能根据实际问题列出简单不等式，体会建模思想，培养符号意识与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）理解不等式的基本性质，能准确运用性质进行不等式的变形，为后续解不等式奠定基础。 （2）掌握不等式解集的意义，会正确在数轴上表示解集，建立数与形的联系。 2.难点 （1）理解不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变，避免与等式性质混淆。 （2）准确区分“不等式的解”与“解集”，能结合题意确定范围，并规范在数轴上表示空心、实心点。 知识点01 不等式的概念 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【即学即练1】1．7月1日是建党节，我县气象局预测这一天的最低温度为，最高温度为，则我县这一天气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 2．周老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图是某机器零件的设计图纸（图中的长度单位：），用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围）_______． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【即学即练2】4．若，则下列式子一定成立的是（     ）． A． B． C． D． 5．已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若，则__________．（填“”或“”） 知识点03 不等式的解与解集 不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【即学即练3】7．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 8．关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 9．在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 题型01 不等式的定义 【典例1】（25-26七年级下·青海玉树·期末）若是不等式，则符号“”不能是（　    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·重庆江津·期末）下列各式中，不是不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期末）下列式子中：① ；②；③ ；④ ；⑤ ．不等式是______．（填序号） 【变式3】（25-26八年级下·安徽宿州·期中）李老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有_____（填写序号）． 题型02 列不等式 【典例1】（25-26七年级下·云南红河·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为，则下列不等式对此标志解释正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖南郴州·期末）若一部电梯的载重标准是不超过，设该电梯的载重量为，则x满足的不等式为________． 【变式3】（25-26七年级下·湖南永州·期中）永州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则该地当日气温的变化范围是______． 题型03 不等式的基本性质 【典例1】（25-26七年级下·北京密云·期末）若，则下列各式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江西南昌·期末）如果，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，，则的值可能是__________．（写出一个即可） 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若，则_____________（用“”“”或“”填空）． 题型04 不等式的解与解集 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）由，得，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知，则x的值不可能是（    ） A． B． C． D．0 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，且，则的取值范围是______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 题型05 利用不等式的基本性质解不等式 【典例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果那么 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）运用不等式的性质，将下列不等式化为或的形式． （1）由，得______； （2）由，得______． 【变式2】（24-25八年级下·广东河源·月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 一、单选题 1．（2025·河北沧州·模拟预测）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥，不等式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2022·湖南娄底·模拟预测）老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（     ） A． B． C． D．与和的大小无关 二、填空题 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若有理数a、b满足，则________．（填“>”、“<”或“=”） 7．（25-26七年级下·上海宝山·期末）列不等式表示下列数量关系：x的3倍大于x的一半与1的差______． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 9．（25-26七年级下·湖北恩施·期末）已知，若成立，请写出一个满足条件的的值：_______． 10．（2026·贵州贵阳·二模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则____0．（填“＞”“＜”或“=”） 三、解答题 11．（25-26七年级下·北京·课堂例题）用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 12．（25-26七年级下·北京·课后作业）实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空． (1)a___________b． (2)___________． (3)___________0． (4)___________0． (5)ab___________0． 13．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c，d为四个互不相等的有理数． (1)如果，试说明：． 在下列说理中，填空（数学符号或理由）： 解：， _____①_____， 又， （_____②_____）， ． (2)如果a，b，c，d都是正数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性． 14．（25-26七年级下·福建厦门·期末）【阅读材料】： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：①___________（用含y的代数式表示）， ，即． 又． 上式三边先同时乘2，得②___________， 再同时加1，得， 的取值范围是． 【完善材料】 (1)材料中①为___________，②为___________； 【方法应用】 (2)若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】 (3)若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有2n个整数时，则的值为___________． 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若，且，则a的值可能是（    ） A．0 B． C．2 D． 3．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为______． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则6a________6b，_______，_______（c≠0）．（填“＞”“＜”或“=”） 8．（25-26七年级上·安徽·假期作业）已知，请用“”或“”填空： （1）________； （2）________； （3） ________； （4）________． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac________ab． （2）ab________cb． （3）________． （4）________． 10．（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 12．（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 13．（2026八年级下·全国·专题练习）下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $