专题3.2 一元一次不等式及其解法（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

专题3.2 一元一次不等式及其解法 教学目标 1. 理解一元一次不等式、解、解集的概念，能准确判断一元一次不等式，区分解与解集。 2. 掌握不等式基本性质，熟练运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次不等式。 3. 能在数轴上规范表示解集，体会数形结合思想，培养严谨的代数运算与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一元一次不等式的标准解法步骤，熟练运用不等式性质进行变形，规范求解并检验。 （2）理解解集的意义，能在数轴上正确表示解集，区分空心、实心点与方向，为后续不等式组学习打基础。 2.难点 （1）系数化为1时，两边乘除负数需改变不等号方向，易与解方程混淆，是高频易错点。 （2）含分母、括号的复杂不等式变形，易漏乘常数项、去括号变号错误，步骤混乱导致解集出错。 知识点01 一元一次不等式的定义 一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式是属于不等式． 【即学即练1】1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 3．若不等式是关于x的一元一次不等式，则______． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【即学即练2】4．不等式的解集为________． 5．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 6．解不等式：． 知识点03 一元一次不等式的整数解 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【即学即练3】7．不等式的负整数解可能是（     ） A． B． C． D． 8．不等式 的正整数解有________个． 9．不等式的最小整数解是________． 题型01 一元一次不等式的概念 【典例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 题型02 求一元一次不等式的解集 【典例1】（2026·浙江·中考真题）一元一次不等式的解集是___________． 【变式1】（25-26七年级下·安徽六安·期末）解不等式，并写出此不等式的负整数解． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）解不等式，并将其解集表示在数轴上． 【变式3】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 题型03 在数轴上表示不等式的解集 【典例1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·北京密云·期末）把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期末）关于的不等式的解集如图所示，的值是___________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西延安·期末）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 题型04 一元一次不等式的整数解 【典例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）不等式的非负整数解有（     ）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1】（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）不等式的负整数解是_________． 【变式2】（2026·山东潍坊·三模）不等式的非负整数解有_____个． 【变式3】（25-26七年级下·福建厦门·期末）解不等式，并写出其正整数解． 题型05 含参数的一元一次不等式的解法 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）若不等式的解集为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）已知的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若不等式的解集是，则m的值是_______． 【变式3】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）已知关于x的不等式的正整数解只有4个，则a的取值范围是_________ ． 题型06 一元一次不等式的最值问题 【典例1】（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【变式3】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知，，是三个非正数，并且满足，，设，设为的最大值，则的值为______． 题型07 方程与不等式的综合求参数范围 【典例1】（2026·广西玉林·模拟预测）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知方程的解是负数，则的取值范围________． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最小整数解，则的值为__________． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）关于x的不等式的解集为，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，下列说法不正确的是（   ） A．是它的解 B．是它的解 C．是它的解集 D．是它的解集 5．（25-26八年级下·全国·周测）若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集为_____． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的正整数解为_____． 8．（25-26八年级下·全国·期中）若是关于的一元一次不等式，则____________． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是__________． 10．（25-26七年级下·重庆·开学考试）已知关于x的方程的解为非负数，且关于a、b的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为______． 三、解答题 11．（2025九年级下·贵州·专题练习）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 12．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）解不等式，并写出最小整数解． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求关于的不等式的解集． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)． 一、单选题 1．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若不等式的解集为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）不等式的正整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于的不等式的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）已知的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·上海·期末）已知，关于的不等式的解集是________． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）不等式的最小整数解为________． 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的解集为_____． 9．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）用“”定义一种新运算：对任意实数m和n，规定：．如：．若，则a的取值范围是______． 10．（25-26七年级下·河北保定·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行一次就停止，那么的取值范围是_____． 三、解答题 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下面是小李同学求不等式解集并在数轴上表示解集的解答部分过程： 第一步：； 第二步：________； 第三步：； 第四步：； 第五步：________． (1)请将第二步、第五步补充完整． (2)在数轴上表示这个不等式的解集： 12．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 13．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）定义一种运算※：，如． (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集与的解集相同，求a的值． 14．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）【实践与探究】 【定义概念】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 【提出问题】求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下： 的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．所以，如图①，可以理解为数轴上表示数a的点到原点的距离大于2．所以，绝对值不等式的解集是或．以此类推，如图②，绝对值不等式的解集是． 【解决问题】 (1)绝对值不等式的解集是 ； 【迁移应用】 (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 一元一次不等式及其解法 教学目标 1. 理解一元一次不等式、解、解集的概念，能准确判断一元一次不等式，区分解与解集。 2. 掌握不等式基本性质，熟练运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次不等式。 3. 能在数轴上规范表示解集，体会数形结合思想，培养严谨的代数运算与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一元一次不等式的标准解法步骤，熟练运用不等式性质进行变形，规范求解并检验。 （2）理解解集的意义，能在数轴上正确表示解集，区分空心、实心点与方向，为后续不等式组学习打基础。 2.难点 （1）系数化为1时，两边乘除负数需改变不等号方向，易与解方程混淆，是高频易错点。 （2）含分母、括号的复杂不等式变形，易漏乘常数项、去括号变号错误，步骤混乱导致解集出错。 知识点01 一元一次不等式的定义 一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式是属于不等式． 【即学即练1】1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：一元一次不等式满足三个条件：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1， 选项A： 是分式，不是整式，不符合题意； 选项B：未知数的最高次数为2，不是1，不符合题意； 选项C：含有和两个未知数，不符合题意； 选项D：满足一元一次不等式的所有要求，符合题意． 2．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 3．若不等式是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于的一元一次不等式， ∴，且， 解得． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【即学即练2】4．不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：， 不等式两边同时减去，得． 5．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】根据解不等式的基本步骤解答即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 数轴表示略； 6．解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， x系数化成1，得． 知识点03 一元一次不等式的整数解 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【即学即练3】7．不等式的负整数解可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 两边同除以得， 不等式的负整数解为． 8．不等式 的正整数解有________个． 【答案】3 【分析】先将化为小数，再根据正整数的定义找出满足不等式的所有正整数即可． 【详解】解：， 原不等式可化为， 满足该不等式的正整数为，共个． 9．不等式的最小整数解是________． 【答案】 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集内找出最小整数即可． 【详解】解： ， 因此不等式解集中的最小整数解是． 题型01 一元一次不等式的概念 【典例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵选项A，中不含有未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合题意； ∵选项B，中含有两个未知数，是二元不等式，∴B不符合题意； ∵选项C，中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，∴C不符合题意； ∵选项D，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，符合一元一次不等式的定义，∴D符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 【答案】1 【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式叫做一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 题型02 求一元一次不等式的解集 【典例1】（2026·浙江·中考真题）一元一次不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，对原不等式逐步化简即可得到解集． 【详解】解： 解得． 【变式1】（25-26七年级下·安徽六安·期末）解不等式，并写出此不等式的负整数解． 【答案】不等式的解集为，负整数解为， 【分析】将原不等式消去分母转化为整式不等式求解，再从解集中筛选负整数解． 【详解】解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵ 大于的负整数为，， ∴ 此不等式的负整数解为，． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）解不等式，并将其解集表示在数轴上． 【答案】；将其解集表示在数轴上如图： 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 将其解集表示在数轴上略 【变式3】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，将解集表示在数轴上如图： 【分析】根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得 图略． 题型03 在数轴上表示不等式的解集 【典例1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数轴表示不等式解集的原则：小于向左，大于向右；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点． 【详解】略 【变式1】（25-26七年级下·北京密云·期末）把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 在数轴上表示： 【变式2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期末）关于的不等式的解集如图所示，的值是___________． 【答案】 【分析】先解关于的不等式，用含的代数式表示解集，再根据数轴上表示的解集列出关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：解不等式 ，得， 由数轴可知，不等式的解集为， ， 解得． 【变式3】（25-26七年级下·陕西延安·期末）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】 ； 【分析】按照解一元一次不等式的步骤求出解集，再将解集表示在数轴上即可. 【详解】解：， 两边同乘去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将解集表示在数轴上见答案． 题型04 一元一次不等式的整数解 【典例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）不等式的非负整数解有（     ）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中所有的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：解不等式 ， 两边同除以，得 ， 移项得 ， ∴ 不等式的解集为 ， 满足要求的非负整数为 ，一共 个． 【变式1】（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）不等式的负整数解是_________． 【答案】 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数即可． 【详解】解：， 移项得， 合并得， 因此不等式的负整数解为． 【变式2】（2026·山东潍坊·三模）不等式的非负整数解有_____个． 【答案】3 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集内的所有非负整数，统计个数即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 满足条件的非负整数为 0，1，2， 因此非负整数解共有个． 【变式3】（25-26七年级下·福建厦门·期末）解不等式，并写出其正整数解． 【答案】，正整数解为1，2，3 【详解】解： 解得，正整数解为1，2，3． 题型05 含参数的一元一次不等式的解法 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）若不等式的解集为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先用表示出不等式的解集，再代入题目条件即可得到的值． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， 不等式的解集为， ． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）已知的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：∵不等式 的解集是，不等号方向发生改变， ∴可得， ∴解得． 【变式2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若不等式的解集是，则m的值是_______． 【答案】1 【分析】首先求出不等式的解集为，然后得到． 【详解】解：， ， ∵不等式的解集是， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）已知关于x的不等式的正整数解只有4个，则a的取值范围是_________ ． 【答案】 【分析】根据不等式的解集的正整数解个数求参数的取值范围，根据正整数解的个数确定出所有正整数解，即可得到参数的取值范围． 【详解】解：∵的正整数解只有个， ∴正整数解为， ∴． 题型06 一元一次不等式的最值问题 【典例1】（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 【变式3】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知，，是三个非正数，并且满足，，设，设为的最大值，则的值为______． 【答案】 【分析】先解三元一次方程组，用含的代数式表示，再根据，，是三个非正数求出的取值范围，再将含的代数式代入求解即可． 【详解】解：， 得，解得， 将代入①，解得， ∵，，是三个非正数， ∴，即， 解得， ， ， ∴． 题型07 方程与不等式的综合求参数范围 【典例1】（2026·广西玉林·模拟预测）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程变形，用表示，再根据均为正整数的条件，列举所有符合条件的解，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵ 方程为，且为正整数， ∴ 变形得， ∵是正整数， ∴， 解得， 又∵是正整数， ∴的取值为，对应得到： 当时，； 当时，； 当时，，均满足条件， 因此方程共有个正整数解． 【变式1】（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元一次方程，得到用含表示的，再根据解为负数列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 移项得 ， ， 方程的解为负数， ，即 ， 解得 ， 故选 D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知方程的解是负数，则的取值范围________． 【答案】 【分析】先求解关于的方程，得到用表示的代数式，再根据方程的解是负数，得到关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为，得， 方程的解是负数， ， 不等式两边同乘，得， 解得． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最小整数解，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧． 先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最小整数解，即可求出的值，将的值代入方程即可求出的值． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1得：． 则最小的整数解是4． 把代入得：， 解得：． 故答案为：5． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：不等式的解集为，在数轴上表示正确的是： 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）关于x的不等式的解集为，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集．解题的关键在于正确的解不等式．解一元一次不等式得，由关于x的不等式的解集为，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴解不等式得，即， ∴， 解得． 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于不等式，下列说法不正确的是（   ） A．是它的解 B．是它的解 C．是它的解集 D．是它的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、不等式的解与解集的概念，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤以及准确区分解与解集的定义是解题的关键． 先求解不等式的解集，再逐一验证各选项的正误，找出不正确的说法． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 对于A选项，∵，∴是它的解，A说法正确． 对于B选项，∵，∴是它的解，B说法正确． 对于C选项，不等式的解集是，并非，C说法不正确． 对于D选项，是它的解集，D说法正确． 故选：C． 5．（25-26八年级下·全国·周测）若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 直接把两方程相减，得到关于的表达式，再代入不等式求解即可． 【详解】解：方程组 ，得：， ， ， 解得， 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，通过移项求解不等式即可． 【详解】解：解不等式， 在不等式两边同时加上1，得， 故解集为， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的正整数解为_____． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 通过解不等式得到 x < 5, 再找出满足条件的正整数． 【详解】解：解不等式 ， 两边同时减去得 两边同时除以（负数）, 不等号方向改变, 得 , ∴正整数解为 ． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·期中）若是关于的一元一次不等式，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且． 解得： 故答案为： 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 10．（25-26七年级下·重庆·开学考试）已知关于x的方程的解为非负数，且关于a、b的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数m的和为______． 【答案】 【分析】先解关于的方程，根据解为非负数求出的取值范围；再解关于、的方程组，用表示出，根据解为整数确定的可能整数值，最后计算这些整数的和． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为非负数， ∴， ∴， 解方程组， 由得， 把代入得 ， 解得， ∵方程组的解为整数，且， ∴是的正因数， ∴，，，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为． 三、解答题 11．（2025九年级下·贵州·专题练习）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 12．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）解不等式，并写出最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式最小整数解为． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等式的性质求出方程的解，即可得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可． （2）把a的最大整数代入不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得 ∵关于x的方程的解是非负数． ∴， 解得：， 所以a的取值范围是． （2）解：∵， ∴a的最大整数为2， 当时，则， 解得． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解，再在数轴上表示解集． 【详解】（1）解：， 移项并合并同类项，得， 系数化为1得． 该解集在数轴上表示为 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为 （3）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为 （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为 一、单选题 1．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则可得答案． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： ． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若不等式的解集为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先用表示出不等式的解集，再代入题目条件即可得到的值． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， 不等式的解集为， ． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）不等式的正整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 该不等式的正整数解为，共个． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于的不等式的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解原一元一次不等式，再根据题目给出的解集列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵不等式的解集为， ∴ ， 两边同乘得 ， 移项合并得 ， 解得． 5．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）已知的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：∵不等式 的解集是，不等号方向发生改变， ∴可得， ∴解得． 二、填空题 6．（25-26七年级下·上海·期末）已知，关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先合并同类项整理不等式，再根据未知数系数的正负，确定系数化为1时不等号的方向，最终求解集． 【详解】解：整理原不等式 ，合并同类项得 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ ． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）不等式的最小整数解为________． 【答案】 【分析】先求解不等式得到解集，再在解集范围内找出最小的整数即可． 【详解】解：原不等式为， 解得， 即， ∴ 大于的整数中，最小的整数是， 即不等式的最小整数解为． 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】解： ． 9．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）用“”定义一种新运算：对任意实数m和n，规定：．如：．若，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据新定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 10．（25-26七年级下·河北保定·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行一次就停止，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据程序流程图表示出第一次操作的结果，由题意“恰好进行一次就停止”可知第一次操作的结果大于190，据此列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，第一次操作的结果为：， ∵操作恰好进行一次就停止， ∴， 解得：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下面是小李同学求不等式解集并在数轴上表示解集的解答部分过程： 第一步：； 第二步：________； 第三步：； 第四步：； 第五步：________． (1)请将第二步、第五步补充完整． (2)在数轴上表示这个不等式的解集： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：． （2）略． 12．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】； 解集在数轴上表示如下： 【详解】解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得 两边同除以，得 不等式解集在数轴上表示如下： 13．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）定义一种运算※：，如． (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集与的解集相同，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新定义运算列出不等式即可求解； （）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：解不等式得，， 由得，， ∴， ∵不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 14．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）【实践与探究】 【定义概念】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 【提出问题】求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下： 的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．所以，如图①，可以理解为数轴上表示数a的点到原点的距离大于2．所以，绝对值不等式的解集是或．以此类推，如图②，绝对值不等式的解集是． 【解决问题】 (1)绝对值不等式的解集是 ； 【迁移应用】 (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，由（）得，直接写出解集； （2）依据绝对值不等式（）转化为或，解一元一次不等式得到结果； （3）先利用加减消元法求出，再结合绝对值不等式解法建立关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】（1）解：如图，可以理解为数轴上表示数的点到原点的距离小于或等于． 所以不等式的解集为； （2）解：， 或， 解得：或； （3）解：关于x，y的二元一次方程组， 得，， ， ， ， 或， 解得或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $