专题2.6 勾股定理的逆定理（6大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理的逆定理这一核心知识点，衔接勾股定理“形到数”的关系，构建“数到形”的转化支架，系统涵盖定理含义理解、证明思路掌握及判定应用等内容。 资料通过分类题型（如网格判断、实际应用）与典例变式设计，结合购物车支架计算、村庄距离最短路径等实例，培养几何直观与推理意识，规范书写提升数学表达能力，课中助教师分层教学，课后助学生查漏补缺。

专题2.6 勾股定理的逆定理 教学目标 1. 理解勾股定理逆定理的含义，能准确表述定理内容，知晓其与勾股定理的区别与联系。 2. 掌握逆定理的证明思路，能运用定理判断三角形是否为直角三角形，规范书写推理过程。 3. 能结合实际问题，灵活运用逆定理解决相关几何计算与判定问题，提升逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）勾股定理逆定理的核心内容及应用方法，能快速通过三边数量关系判定直角三角形。 （2）逆定理的推理逻辑，明确“数到形”的转化思路，掌握规范的判定步骤与书写格式。 2.难点 （1）勾股定理逆定理的证明过程，理解构造全等直角三角形的思维逻辑，突破“辅助线构造”的思维障碍。 （2）逆定理与勾股定理的综合运用，能根据实际问题灵活选择定理，避免混淆定理的适用场景。 知识点01 勾股定理逆定理 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边． ②当满足时，是斜边，是直角． ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 【即学即练】1．下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴不能构成直角三角形，符合题意； B、∵，， ∴能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，， ∴能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴能构成直角三角形，不符合题意． 2．在中，，，上的中线，则________． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 3．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 题型01 判断三边是否构成直角三角形 【典例1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各选项两较短边的平方和与最长边的平方是否相等即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 【答案】B 【分析】运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故3，4，6不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； B、，故6，8，10能作为直角三角形三边，该选项符合题意； C、，故5，12，15不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； D、，故7，23，24不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·湖北恩施·期末）已知的三边分别为，，，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：、设，，， ， ， 解得， ∴最大的角， ∴不是直角三角形，该选项符合题意； 、设， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，该选项不符合题意； 、，， ， ∴， ∴为直角三角形，该选项不符合题意； 、∵， ∴为直角三角形，该选项不符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期中）在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 题型02 网格中判断直角三角形 【典例1】（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，点、、在边长为的小正方形方格的格点上，则是（     ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】用勾股定理分别算出三边平方，先判断两边相等得等腰，再用勾股逆定理判断直角，确定是等腰直角三角形． 【详解】解：根据题意可知，，， 可得，， 故是等腰直角三角形． 【变式1】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 【变式3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 题型03 利用勾股定理的逆定理求解 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形面积公式计算面积即可． 【详解】∵ ， ∴ 该三角形是直角三角形，长为和的边为直角边， ∴ 该花坛的面积 ． 【变式1】（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ . 【变式2】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【答案】24 【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 【变式3】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 题型04 利用勾股定理的逆定理证明 【典例1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ∴，即是直角三角形． 【分析】根据勾股定理以及逆定理求解即可． 【详解】略 【变式1】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，E是上的一点，，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即可得出． （2）由（1）得出，设，则，在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴是直角三角形． 设， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即． 【变式2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，点O在的内部，且，，，，． (1)求的长． (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)证明：，，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得． （2）略 【变式3】（25-26八年级下·云南·期中）如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 【答案】(1)证明：∵ ∴， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴． 题型05 勾股定理逆定理的实际应用 【典例1】（25-26八年级下·四川广安·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 【变式1】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离，根据的面积求出即可． 【详解】解：由题意得米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，． ∴（平方米）． 过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离． ∵， ∴， ∴米， ∴最近的距离是米． 【变式2】（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 【变式3】（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 【答案】140 【分析】先在中，利用三边关系判断是否为直角，若，则在中用勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 即． 在中，，， 由勾股定理得： ， （米）． 题型06 勾股定理及其逆定理的综合应用 【典例1】（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理得，即得，进而得到是直角三角形，且，再根据绿地的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块绿地的面积， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理及逆定理，熟练运用轴对称解决线段和最值问题是解题关键． 连接，设与交于点，设，由折叠的性质可得，，，，．由线段公理可得，当、、三点共线时， 周长最小，此时点与点重合．使用勾股定理的逆定理可判断出，则．使用勾股定理构造方程并求解出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·陕西·期末）如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求这块试验田的面积； (2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理得到，再利用勾股定理逆定理可得，然后根据求解： （2）由垂直平分线的性质可得，设，则，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：，，， ， 又，，， ，即， ， 答：这块试验田的面积为； （2）解：连接， 在的垂直平分线上， ， 设，则， 由（1）知， ，即， 解得， 答：点到点的距离为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（    ） A．7，24，25 B．5，13，15 C．2，3，4 D．8，12，20 【答案】A 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，∴能构成直角三角形，故A符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴这样的三角形不存在，故D不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 3．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 4．（25-26七年级上·山东淄博·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形。 【详解】选项A：∵ ，设， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴其中最大角： ， ∴ 不是直角三角形。 选项B：∵ ，∴， ∴是直角三角形（勾股定理逆定理）。 选项C：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形。 选项D：∵ ，设， ∵， ∴ ， ∴ 是直角三角形。 综上，只有选项A不是直角三角形, 故选A 二、填空题 5．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 6．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，点、分别是、的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D是的中点可求出的长，由勾股定理的逆定理证明，再由斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长． 【详解】解：已知点D是的中点，， ∴ ， ∵ ∴， ∵， ， 根据勾股定理的逆定理，可得， 即， ∵E是的中点， ∴． 7．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，若于D，则CD的长 ． 【答案】/7.2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式求解，通过计算三边的平方关系判断三角形是否为直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法建立等式求解的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由得到，再根据角平分线得到即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 10．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)四边形ABCD的面积为36 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及四边形面积的计算，解题的关键是连接，将四边形分割为两个直角三角形分别求解． （1）在中，用勾股定理求的长； （2）利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再分别计算两个直角三角形的面积并求和得四边形面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴四边形的面积 ． 答：四边形的面积为． 11．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，还需注意方程思想在这类问题中的应用． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理公式的变形可求得是直角三角形，即可证明． （2）先求出的长度，设所求线段为，利用（1）的结论，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：点是边的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ． （2）解：点是边的中点，， ， 在中，，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西柳州·期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解： ∵A选项最长边为4，， ∴不能组成直角三角形； ∵B选项最长边为5，， ∴能组成直角三角形； ∵C选项最长边为6，， ∴不能组成直角三角形； ∵D选项中， ∴不能构成三角形，排除． 2．（25-26八年级下·山西大同·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理可证明该沙田是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）． 3．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）在正方形网格中画格点三角形，下列是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A．∵，，， ∴三角形不是直角三角形； B．∵，，，， ∴三角形不是直角三角形； C．∵，，，， ∴三角形是直角三角形； D．∵，，，, ∴三角形不是直角三角形． 4．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口后分别位于点Q，R处，且相距．如果“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号航行的方向是（     ） A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】C 【分析】根据路程=速度时间求出的长，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据方位角的定义求解 【详解】解：由题意得：，， ， ，， ， 是直角三角形，且， “远航”号沿北偏东方向航行， ， ， “海天”号航行的方向是北偏西． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·周测）给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号） 【答案】 ①③④⑥⑦ ①④⑥⑦ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的三边关系定理的应用，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据三角形三边关系定理和勾股定理逐一判断每组数据． 【详解】解：根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，可判断： ①，，，能构成三角形； ②，不大于，不能构成三角形； ③，，，能构成三角形； ④，，，能构成三角形； ⑤，不大于，不能构成三角形； ⑥，，，能构成三角形； ⑦，，，能构成三角形. 故可构成三角形的有①③④⑥⑦. 对于能构成三角形的组，应用勾股定理判断： ①，是直角三角形； ③，不是直角三角形； ④，是直角三角形； ⑥，是直角三角形； ⑦，是直角三角形， 故可构成直角三角形的有①④⑥⑦. 故答案为：①③④⑥⑦；①④⑥⑦． 7．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行． 【答案】西北 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为___________． 【答案】150 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． 已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：150． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 10．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 三、解答题 11．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，，，试求线段的长． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 12．（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图， 校园里有一块三角形花园， 其中，，． (1)判断花园的形状，并说明理由； (2)现要扩大花园，在边的延长线上找一点D，使边的长为， 求的长． 【答案】(1)花园是直角三角形，理由如下： ∵，且， 即， ∴为直角三角形，， (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解∶略； （2）解：∵， ∴由勾股定理得， ∴． 13．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，，点为外一点，且，． (1)尺规作图：求作点，并连接，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）以为圆心，线段的长度为半径画弧，再以为圆心，线段的长度为半径画弧，两弧交点即为点； （2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证，则可解． 【详解】（1）解：略； （2）解：在中，，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 14．（21-22八年级下·贵州黔西南·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)的长为5； (2)四边形的面积为36 【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：在中，由于，即， ∴是直角三角形， ∴． 15．（25-26七年级下·广东深圳·期末）图是某超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 【答案】(1)是直角三角形；理由如下： 购物车侧面简化示意图中，支架，，两轮中心的距离， ，即， 是直角三角形． (2) 【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ，，， ， 由（1）得，是直角三角形， ， ， 购物车上篮子的左边缘到的距离为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.6 勾股定理的逆定理 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01勾股定理的逆定理 2.知识清单 题型01判断三边是否构成直角三角形 勾股定理的 题型02网格中判断直角三角形 题型03利用勾股定理的逆定理求解 逆定理 3.题型精讲 题型04利用勾股定理的逆定理证明 题型05勾股定理逆定理的实际应用 题型06勾股定理和逆定理的综合应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解勾股定理逆定理的含义，能准确表述定理内容，知晓其与勾股定理的区别与 联系。 2.掌握逆定理的证明思路，能运用定理判断三角形是否为直角三角形，规范书写推 教学目标 理过程。 3.能结合实际问题，灵活运用逆定理解决相关几何计算与判定问题，提升逻辑推理 能力。 1.重点 (1)勾股定理逆定理的核心内容及应用方法，能快速通过三边数量关系判定直角三 教学重难点 角形。 (2)逆定理的推理逻辑，明确“数到形”的转化思路，掌握规范的判定步骤与书写 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 格式。 2.难点 (1)勾股定理逆定理的证明过程，理解构造全等直角三角形的思维逻辑，突破“辅 助线构造”的思维障碍。 (2)逆定理与勾股定理的综合运用，能根据实际问题灵活选择定理，避免混淆定理 的适用场景。 知识清单 知识点01勾股定理逆定理 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 注意：· ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边.· ②当满足2+b=c2时，c是斜边，∠C是直角. ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方 及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形.· 【即学即练】1.下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是() A.2,3,4B.5,12,13 C.6,8,10 D.2,2.5,1.5 2.在△ABC中，AB=17cm,BC=30cm,BC上的中线AD=8cm,则AC= cm 3.如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=10,CD=15,AD=17,∠CAB=90° D C ()求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01判断三边是否构成直角三角形 【典例1】(25-26八年级下·福建厦门期末)以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( A.2,2,2B.3,4,5 C.3,5,7 D.4,4,5 【变式1】(25-26八年级下·甘肃陇南·期中)下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是() A.3,4,6 B.6,8,10 C.5,12,15 D.7,23,24 【变式2】(25-26八年级下·湖北恩施期末)已知△ABC的三边分别为a,b,C,下列条件中，不能判定 △ABC为直角三角形的是() A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.a:b:c=3:4:5 C.∠A=∠B+∠C D.a2+b2=c2 【变式3】(25-26八年级下·北京期中)在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，若 (b-a)b+a)=c2,则∠B=一 题型02网格中判断直角三角形 【典例1】(25-26八年级下四川巴中·期末)如图，点A、B、C在边长为1的小正方形方格的格点上， 则△ABC是() B A.等边三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【变式1】(25-26八年级上山西忻州阶段检测)如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C,D均在格 点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是() 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ● A.△ABC B.△BCD C.△ADC D.△ABD 【变式2】(2026辽宁朝阳·二模)如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点， 点A,B,C,D均是格点，则∠AOC的度数为 D 【变式3】(25-26八年级上·贵州遵义期末)已知在4×5的网格中，每个小正方形的边长为1，AB点均 在格点上.以AB为边作直角三角形ABC(C点在格点上)，能作 个. 题型03 利用勾股定理的逆定理求解 【典例1】(25-26八年级下·全国课后作业)小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是8m, 6m,10m,则该花坛的面积是() A.120m2 B.72m2 C.60m2 D.24m2 【变式1】(25-26八年级下河北邢台期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=5, BC=7,CD=1,则四边形ABCD的面积为() A.14 B.16 C.25 D.32 【变式2】(25-26八年级下山东济宁·期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13,BC=12, 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=4,BD=3,则阴影部分图形的面积为 D 【变式3】(2425八年级上·安徽宿州阶段检测)如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长， 过点A作AD⊥CE,垂足为D,若AD=7,AB=20,BC=15,DC=24, E (1)∠B= (2)记△ADE的面积为S,△BCE的面积为S2,则S2-S的值为」 题型04利用勾股定理的逆定理证明 【典例1】(25-26八年级下·福建厦门期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AD=2,BD=1 ,CD=4,求证：△ABC是直角三角形. B 【变式1】(25-26八年级下广东广州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,E是AC上的一点，CE=5, BC=13,BE=12. B (I)求证：BE⊥CE: 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求线段AB的长. 【变式2】(25-26八年级下·安徽马鞍山期末)如图，点O在△ABC的内部，且∠AOC=90°，A0=3, C0=4,AB=12,BC=13. B (1)求AC的长. (2)求证：△ABC是直角三角形. 【变式3】(25-26八年级下·云南期中)如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13 (1)求证：∠ACB=90° (2)作CD⊥AB,D为垂足，求CD的长. 题型05勾股定理逆定理的实际应用 【典例1】(25-26八年级下·四川广安·期末)如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架 AC=24cm,CB=18cm,两轮中心的距离AB=30cm,则点C到AB的距离为()cm, 2 A.5 B. 36 。学 D. 【变式1】(25-26七年级下·四川绵阳期末)如图，村庄C在新修的村道B端北偏西35°方向100米处， 同时在新修的村道A端南偏西55°方向240米处，村道AB长为260米.现需在村道AB上修建一个公交车 停靠站D,要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是() 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ C.1200 1300 A. 88米 B 90米 3米 D. 12米 【变式2】(25-26八年级下·重庆潼南期末)如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A,河边有两 个入口B,C,通过道路BA,CA可前往观景点A.因景区改造，需要关闭通道CA,为方便游客观景，分 散人流，决定新修道路AD(点D在BC上).经测量：AB=1.5km,AD=1.2km,BD=0.9m.则AD 是否为从A到河边的最近道路一（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）· B D 【变式3】(25-26八年级下·安徽池州：期末)某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由 于在BC上有一处古建筑，使得BC的长不能直接测出，于是工作人员在BC上取一点D,测得AD=120米， BD=50米后，又测得AB=130米，AC=150米，则BC的长为米. D 题型06勾股定理及其逆定理的综合应用 【典例1】(25-26八年级下广西百色期中)如图，四边形ABCD中，AB=17,BC=8,CD=12, AD=9,∠D=90°.则∠ACB=() D 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.70° B.80° C.90° D.100° 【变式1】(25-26八年级上河北石家庄·期末)如图所示的是一块不规则的绿地，已知 ∠ADC=90°，AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,则这块绿地的面积为m2 B 【变式2】(25-26八年级上·上海期末)如图，△ABC中，AB=8,AC=15,BC=17,将△ABC沿射线 BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上的一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长 为 M 【变式3】(25-26七年级下·陕西期末)如图，某试验基地有一块四边形试验田ABCD,基地管理处计划 修一条A到C的小路，经测量，∠D=90°，AD-7m,DC=24m,AB=20m,CB=15m」 B (I)求这块试验田ABCD的面积： (2)基地现计划在AB上建立一个观测点E,要求点E在AC的垂直平分线上，请你计算出点E到点B的距 离. 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26八年级上·甘肃酒泉·期中)下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是() A.7,24,25B.5,13,15 C.2,3,4 D.8,12,20 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上河南郑州期中)如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点A,B,C构 成一个三角形，则这个三角形是() B A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对 3.(25-26八年级上湖北武汉·月考)如图，在正方形网格，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，则 ∠CAD-∠BAC的度数为()· A.42° B.30° C.38 D.45° 4.(25-26七年级上：山东淄博期中)满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是() A.∠A:∠B:∠C=5:12:13 B.b2=c2-a2 C.∠C=∠A+∠B D.a:b:c=3:4:5 二、填空题 5.(25-26八年级上黑龙江绥化期中)如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=15km, BC=9km,AC=12m.己知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB,为了实现村村通公路， 现在要从C村修一条笔直公路CD直达AB,已知公路的造价为10000元/km,则修这条公路的最低造价为 元 D 6.(25-26八年级上江苏常州期中)如图，△ABC中，AC=5,BC=6,点D、E分别是BC、AC的 中点，AD=4,则DE的长为 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 7.(25-26八年级上福建漳州期中)如图，在△ABC中，AB=15,AC=12,BC=9,若CD⊥AB于 D,则CD的长 8.(25-26八年级上广东河源·月考)如图，在△ABC中，BC=25,AC=20,AB=15,∠ABC与 ∠ACB的平分线交于点D,则∠ABD+∠ACD的度数为一. A D 三、解答题 9.(2425八年级下·云南普洱·期末)如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD 的顶点都在格点（网格线的交点）上. B (I)求线段BC和CD的长， (2)∠BAD是直角吗？请说明理由. 10.(25-26八年级上广东揭阳·月考)如图，四边形ABCD中，AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,∠B=90° 10115 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C (I)连接AC,求AC的长. (2)求四边形ABCD的面积. 11.(25-26八年级上陕西汉中期中)如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E, 连接CE,且BE2-EA=AC2 (1)求证：∠A=90° (2)若AC=10,BD=13,求AE的长度. 能力提升 一、单选题 1.(23-24八年级下广西柳州期中)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是() A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,7 2.(25-26八年级下山西大同期中)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题： “问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是： 有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为() A.30平方里B.32.5平方里 C.84平方里 D.65平方里 3.(25-26八年级下河北沧州阶段检测)在正方形网格中画格点三角形，下列是直角三角形的是() 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4.(25-26八年级下·天津南开·期末)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号和“海天” 号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行l6mile，“海天”号每小时航行 12 nmile.它们离开港口0.5h后分别位于点O,R处，且相距10 nmile.如果“远航”号沿北偏东55°方向 航行，则“海天”号航行的方向是() 个N 海天号 .0 R 远航号 P E A.西北方向 B.北偏西40° C.北偏西35 D.北偏西30° 5.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，公园里有一块草坪，已知AB=3米，BC=4米， CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC,这块草坪的面积是() D A.24平方米 B.36平方米 C.48平方米 D.72平方米 二、填空题 6.(25-26八年级下·全国周测)给出下列几组数据：①3,4,5；②1,3,4：③4,4,6：④6,8， 10;⑤5,7,2；⑥13,5,12；⑦7,25,24.以每组数据为三边长，可构成三角形的有 可构成直角三角形的有 (填序号) 7.(25-26八年级上·吉林长春·期中)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天” 号轮船同时离开港口P,各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行 12海里.它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里.已知“远航”号沿东北方向航行， 则“海天”号沿一方向航行. 12/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 R 东 8.(25-26八年级下全国课后作业)如图，已知在△ABC中，D是AB上一点，且AC=20,CD=12, BC=15,DB=9,则△ABC的面积为 B D 9.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测)如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否 变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2m和lm,又测得点A与点C间的 距离为2.5m,则小红家的木门一（填“已变形”或“没有变形”）. 10.(25-26八年级下湖北恩施期中)如图，AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°，则四边 形DABC的面积是 D 三、解答题 11.(25-26八年级下·云南红河期末)如图，在△ABD中，AB=13,BC=5,AC=CD=12,试求线段 AD的长 B D C 12.(25-26八年级下广西钦州期末)如图，校园里有一块三角形花园ABC,其中AB=13m, 13/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=12m,BC=5m. D (I)判断花园ABC的形状，并说明理由： (2)现要扩大花园，在边CB的延长线上找一点D,使边AD的长为l5m,求BD的长. 13.(25-26八年级下·广东广州期末)如图，在△ABC中，AB=13,BC=12,∠ACB=90°，点D为 △ABC外一点，且CD=a,AD=b. A a b B (I)尺规作图：求作点D,并连接AD,CD;(保留作图痕迹，不写作法) (2)若a=4,b=3,求四边形ABCD的面积. 14.(21-22八年级下·贵州黔西南期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4,BC=3, CD=12,AD=13 D ()求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. 15.(25-26七年级下·广东深圳期末)图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架 AC=8dm,AB=6dm,两轮中心的距离BC=l0dm (B4 图1 图2 14/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (1)判断△ABC的形状，并说明理由， (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13dm,AE=5dm,且AE⊥DE,AE和BC都与地面 平行，求购物车上篮子的左边缘D到BC的距离. 15/15